Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 1 - Hoofdstuk 4 - Vergelijkingen en herleidingen oefentoetsen & antwoorden

$x=\sqrt[n]{p}$  $x=5 \vee x=-5$. $AB=0$ geeft $A=0 \vee B=0$$A^2 = B^2$ geeft $A=B \vee A=-B$ (let dus op de negatieve oplossing!)Bij een gebroken vergelijking moet je opletten dat de noemer niet gelijk kan zijn aan 0 (dus $B\neq 0$) omdat je niet kunt delen door 0. DIt kan op twee manieren.Methode I: Tel beide vergelijkingen bij elkaar op. Een vergelijking met alleen de variabele $y$ is het resultaat. De gevonden waarde van $y$ substitueren we in één van de vergelijkingen om de waarde van $x$ te bepalen:$-\frac{1}{2}y=1$ (Het optellen van de twee vergelijkingen in het stelsel elimineert de variabele $x$).$y=-2$.Substitueer het resultaat $y=-2$ in één van de vergelijkingen van het stelsel, bijvoorbeeld in de vergelijking $2x-y=4$. Dit levert op:$2x--2=4$$2x+2=4$$2x=2$$x=1$De oplossing is $x=1$ en $y=-2$.Tip: Substitueer het resultaat $y=-2$ in de andere vergelijking van het stelsel en ga na dat je hetzelfde resultaat vindt. Methode II: Herleid een vergelijking zodanig dat deze in de tweede vergelijking kan worden gesubstitueerd:Herschrijven van de eerste vergelijking geeft:$2x-y=4$$-y=-2x+4$$y=2x-4$Substitueer de gevonden uitdrukking voor $y$ in de tweede vergelijking. Dit geeft:$-2x +\frac{1}{2} \cdot (2x-4) = -3$$-2x+x-2=-3$$-x-2=-3$$-x=-1$$x=1$Substitueer $x=1$ in de uitdrukking $y=2x-4$. Dit geeft:$y=2\cdot 1 -4 =-2$.De oplossing is $x=1$ en $y=-2$.  Links en rechts $25$ aftrekken.$x^4 = 81$De macht is $4$, een even getal, dus er zijn twee oplossingen. $x = -\sqrt[4]{81} \vee x = \sqrt[4][{81}$$x=-3 \vee x=3$Dus twee oplossingen:  $x=-3 \vee x=3$.Werk eerst de absoluutstrepen weg: noteer de negatieve en positieve oplossing.$2x^3= 128 \vee 2x^3 = -128$Links en rechts delen door $2$.$x^3=64 \vee x^3=-64$De macht is oneven, dus beide vergelijkingen één oplossing.$x=\sqrt[3]{64} = 4 \vee x=-\sqrt[3]{64}=-4$.Herschrijf de formule:$x^3 - 9x^2 + 8x = 0$We kunnen hier een factor $x$ buiten haakjes halen:$x \cdot (x^2 - 9x + 8$) = 0$Deze formule heeft de vorm $A \cdot B = 0$. Dit betekent dat oplossingen volgen uit $A = 0$ of $B = 0$. Oplossingen volgen dus uit:$x = 0$ v $x^2 - 9x + 8 = 0$De kwadratische vergelijking kunnen we oplossen met ontbinden in factoren (of de ABC-formule):$(x-8)(x-1)=0$$x=8 \vee x=1$Dus drie oplossingen:$x=0 \vee x=1 \vee x=8$. Isoleer de wortel in de vergelijking:$\sqrt{-x^2 + 4} - x = 0$$\sqrt{-x^2 + 4} = x$Kwadrateer beide kanten van de vergelijking om de wortel weg te werken:$(\sqrt{-x^2 + 4})^2 = x^2$$-x^2 + 4 = x^2$ Los de verkregen vergelijking op:$-x^2 + 4 = x^2$$2x^2 = 4$$x^2 = 2$$x = -\sqrt{2} \vee x = \sqrt{2}$Controleer of de oplossingen voldoen door de gevonden oplossingen in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking:$x = - \sqrt{2}$ geeft: $\sqrt{- (-2\sqrt{2})^2 + 4} - (- \sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \neq 0$ (klopt niet)$x = \sqrt{2}$ geeft: $\sqrt{- (\sqrt{2})^2 + 4} - \sqrt{2} = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ (klopt)De oplossing is: $x = \sqrt{2}$Hier is sprake van een gebroken vergelijking. De variabele komt voor in de noemer van de breuk. Om de variabele uit de noemer van de breuk te krijgen, vermenigvuldigen we links en recht met $(x + 4)$ waarmee we verkrijgen:$8 = \frac{1}{2}(x-4)(x+4)$ (en controleer aan het einde of $(x+4) \neq 0$We werken het rechter deel van de vergelijking verder uit:$8 = \frac{1}{2} (x^2 - 4x + 4x - 16)$$8 = \frac{1}{2} (x^2 -16)$$8 = \frac{1}{2} x^2 - 8$$16 = \frac{1}{2}x^2$Links en rechts vermenigvuldigen met $2$ levert:$32 = x^2$ of herschreven$x^2 = 32$De linker- en rechterzijde zijn kwadraten. De gegeven vergelijking heeft de vorm $A^2 = B^2$. Oplossingen zijn $A = B$ of $A = -B$.$x = - \sqrt{32} \, \vee \, x = \sqrt{32}$Dit kunnen we herleiden tot: $x = -\sqrt{16 \cdot 2} \, \vee \, x = \sqrt{ 16 \cdot 2}$$x = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} \, \vee \, x = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2}$ want $\sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$$x = - 4 \sqrt{2} \, \vee \, x = 4 \sqrt{2}$ (beide oplossingen voldoen want de noemer van de oorspronkelijke vergelijking $(x+4) \neq 0$) Links en rechts $2b$ optellen:  $\frac{4b}{a} - b + 2b = 5 - 2b + 2b$$\frac{4b}{a} + b = 5$Links en rechts vermenigvuldigen met $a$:$a \cdot (\frac{4b}{a} + b) = a \cdot 5$ (let op de haakjes!)$4b + ab = 5a$Ontbinden:$b (4 + a) = 5a$Links en rechts delen door $(4+a)$:$\frac{b(4+a)}{4+a} = \frac{5a}{4+a}$$b = \frac{5a}{4 + a}$Substitueer de uitdrukking $q = 5 - 6r$ (tip: denk aan de haakjes) in de uitdrukking $2p + 3 = 3q$:$2p + 3 = 3q$$2p + 3 = 3 \cdot (5 - 6r)$ En herleid:$2p + 3 = 15 - 18r$$2p = 12 - 18r$$p = 6 - 9r$ We hebben het volgende stappenplan: Stap 1: We vervangen in het functievoorschrift $f(x)$ door $y$. Stap 2: Dan vervangen we in de formule $x$ voor $y$ en $y$ voor $x$. Stap 3: Vervolgens drukken we in de nieuwe formule $y$ uit in $x$. Stap 4: Omdat $f^{inv}$ de inverse is van $f(x)$ vervangen we vervolgens $y$ door $f^{inv}$.Stap 1. Begin met $y = \sqrt[3]{(2x - 1)}$Stap 2. $y = \sqrt[3]{(2x-1)}$ wordt als we de $x$ en $y$ omwisselen: $x = \sqrt[3]{(2y -1)}$Stap 3. Druk $y$ uit in $x$:Neem links en rechts de derde macht, dan verdwijnt de wortel aan de rechterkant: $x^3 = 2y - 1$.Tel aan beide kanten $1$ op dan $x^3 + 1 = 2y$. Links en rechts delen door $2$ geeft: $y = \frac{x^3 + 1}{2}$.Stap 4. De inverse is nu $f^{inv} = \frac{x^3 + 1}{2}$. Hans koopt 4 ons cashewnoten en 7 ons hazelnoten. 1 ons cashewnoten kost $p$ euro, dus 4 ons cashewnoten kost $4p$ euro1 ons hazelnoten kost $q$ euro, dus 7 ons hazelnoten kost $7q$ euroHans betaalt hiervoor € 17,45. Dus: $4p+7q=17,45$ Grietje koopt 8 ons cashewnoten en 5 ons hazelnoten. 1 ons cashewnoten kost $p$ euro, dus 8 ons cashewnoten kost $8p$ euro1 ons hazelnoten kost $q$ euro, dus 5 ons hazelnoten kost $5q$ euroGrietje betaalt hiervoor € 19,15. Dus: $8p+5q=19,15$De twee gevonden vergelijkingen vormen een stelsel van twee lineaire vergelijkingen Om de prijs te berekenen, los je dit stelsel op. Methode 1: Herleiden van vergelijkingenHerleid het stelsel van vergelijkingen:$\begin{cases} 4p + 7q = 17,45 \\ 8p+5q = 19,15 \end{cases}$$\begin{cases} 7q = -4p +17,45 \\ 5q = -8p +19,45 \end{cases}$$\large \begin{cases} q=-\frac{4}{7}p+\frac{17,45}{7} \\ q = -\frac{8}{5}p +\frac{19,15}{5} \end{cases}$Stel beide uitdrukkingen voor $q$ aan elkaar gelijk zodat je $p$ kunt bepalen:$-\frac{4}{7}p+\frac{17,45}{7} = -\frac{8}{5}p +\frac{19,15}{5}$$-20p +5 \cdot 17,45 = - 56p + 7\cdot 19,15$ (Het linker- en rechterlid van de eerste vergelijking is vermenigvuldigd met 35 om de vergelijking daarna te verkrijgen, omdat 7 en 5 de noemers van de breuken waren)$36p = 7 \cdot 19,15 - 5\cdot 17,45$$p = \frac{7 \cdot 19,15 - 5\cdot 17,45}{36} = 1,3$Vul de gevonden waarde voor $p$ in een willekeurige andere vergelijking in om de waarde van $q$ te vinden. Neem de gevonden waarde $p=1,3$ en substitueer deze in de vergelijking $4p+7q=17,45$.$4\cdot 1,3+7q=17,45$$7q=17,45-4\cdot 1,3$$q = \frac{17,45 - 4 \cdot 1,3}{7} = 1,75$Conclusie: de prijs voor een ons cashewnoten is  $p=1,30$ euro en de prijs voor een ons hazelnoten is $q=1,75$ euro.Methode 2: Substitutie.Herleid het stelsel van vergelijkingen:$\begin{cases} 4p + 7q = 17,45 \\ 8p+5q = 19,15 \end{cases}$$\begin{cases} 4p = - 7q + 17,45 \\ 8p+5q = 19,15 \end{cases}$De eerste vergelijking kan in de tweede vergelijking worden gesubstitueerd:$8p+5q=19,15$$2 \cdot (4p)+5q=19,15$$2 \cdot 17,45-7q+5q=19,15$$34,90-14q+5q=19,15$$9q=34,90-19,15$$q=\frac{34,90-19,15}{9} = 1,75$Vul de gevonden waarde voor $q$ in een willekeurige andere vergelijking in om de waarde van $p$ te vinden. Neem bijvoorbeeld de vergelijking $8p+5q=19,15$.$8p+5q=19,15$$8p+5 \cdot 1,75=19,15$$8p=19,15-5 \cdot 1,75$$p=\frac{19,15-5\cdot 1,75}{8}=1,3$Conclusie: de prijs voor een ons cashewnoten is  $p=1,30$ euro en de prijs voor een ons hazelnoten is $q=1,75$ euro. Het gaat hier dus om de ongelijkheid D<0,10D < 0,10D<0,10. Om de ongelijkheid op te lossen kijken we eerst waar het energieverbruik precies gelijk is aan 0,10.Dat geeft als vergelijking:D(v)=0,10D(v) = 0,10D(v)=0,106,0v2+0,00050v2−0,033=0,10\large \frac{6,0}{v^2} + 0,00050v^2 - 0,033=0,10v26,0​+0,00050v2−0,033=0,106,0v2+0,00050v2=0,133\large \frac{6,0}{v^2} + 0,00050v^2 =0,133v26,0​+0,00050v2=0,133 Vermenigvuldig nu met v2v^2v2 om de breuk op te lossen, en vereenvoudig:6,0+0,00050v4=0,133v26,0 + 0,00050 v^4 = 0,133v^26,0+0,00050v4=0,133v26,0+0,00050v4−0,133v2=06,0 + 0,00050 v^4 -0,133v^2 = 06,0+0,00050v4−0,133v2=0v4−266v2+12000=0v^4 - 266v^2 +12000 = 0v4−266v2+12000=0Deze vergelijking kunnen we oplossen door er een kwadratische vergelijking van te maken. Dat doen we door te stellen v2=uv^2 = uv2=u:u2−266u+12000=0u^2 - 266u +12000 = 0u2−266u+12000=0 Met de abc-formule: u=266±2662−4⋅1⋅120002=v2u = \frac{266 \pm \sqrt{266^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12000}}{2} = v^2u=2266±2662−4⋅1⋅12000​​=v2Uitwerken geeft:v2≈57,57∨v2≈208,4v^2 \approx 57,57 \vee v^2 \approx 208,4v2≈57,57∨v2≈208,4v≈7,59∨v≈14,4v \approx 7,59 \vee v \approx 14,4v≈7,59∨v≈14,4 (de snelheden kleiner dan 0 voldoen niet!)Los nu op: D(v)<0,10D(v) < 0,10D(v)<0,10Je kunt aflezen uit de gegeven grafiek dat dit is voor waardes tussen v≈7,59v \approx 7,59v≈7,59 en v≈14,4v \approx 14,4v≈14,4, oftewel 7,59<v<14,47,59 < v < 14,47,59<v<14,4. Conclusie: De parkiet kan heel lang blijven vliegen als 7,59<v<14,47,59 < v < 14,47,59<v<14,4.  Snijpunt met de x-as, dus los op $f_1(x) = 0$.$\frac{x-1}{1} + \frac{2}{x - 1} - 5 = 0$ $x - 1 + \frac{2}{x - 1} - 5 = 0$   (alle termen keer $x-1$ geeft:)$(x - 1)^2 + 2 - 5(x - 1) = 0$$x^2 - 2x + 1 + 2 - 5x + 5 = 0$$x^2 - 7x + 8 = 0$Dit moet met de ABC-formule. Discriminant: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 17$Oplossingen: $x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{17}}{2} = 3 \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{17}$Conclusie: $P(3 \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{17}, 0)$ en $Q(3 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{17},0)$Voor het snijpunt lossen we op: $f_1(x) = f_{4 \frac{1}{2}} (x)$$\frac{x -1}{1} + \frac{2}{x-1} - 5 = \frac{x-1}{4 \frac{1}{2}} + \frac{9}{x-1} - 5$$x - 1 + \frac{2}{x-1} = \frac{2}{9}(x-1) + \frac{9}{x-1}$Links en rechts vermenigvuldigen met $(x-1)$ levert op:$(x-1)^2 + 2 = \frac{2}{9} \cdot (x-1)^2 + 9$En verder herleiden geeft:$\frac{7}{9} \cdot (x-1)^2 - 7 = 0$$\frac{7}{9} \cdot (x^2 - 2x + 1) - 7 = 0$ (voor een alternatieve oplossing zie ook tip hieronder)$x^2 - 2x + 1 - 9 = 0$$x^2 - 2x + 8 = 0$$(x - 4)(x + 2) = 0$$x = 4 \vee x = -2$Er moet gelden (zie opgave) dat $x > 0$ Dus vervalt $x = -2$ en blijft als oplossing over $x = 4$.Tip: Je kunt $(x-1)^2 + 2 = \frac{2}{9}(x-1)^2 + 9$ ook herleiden tot $(x-1)^2 = 9$ en dit vervolgens verder oplossen: $x-1 = 3$ of $x -1 = -3$. Ga na dat je dan dezelfde oplossing verkrijgt.$y$-coördinaat van $R$ wordt gevonden met:$y = f_1(4) = \frac{4-1}{1} + \frac{2}{4 -1 } - 5 = 3 + \frac{2}{3} - 5 = - 1 \frac{1}{3} = - \frac{4}{3}$Dus $R(3, -2)$. g(x)g(x)g(x) is de inverse van f(x)f(x)f(x). Dat betekent dat je, als je de lijn y=xy = xy=x tekent en je de grafiek van f(x)f(x)f(x) spiegelt in die lijn je de grafiek van g(x)g(x)g(x) krijgt. Dit klopt ook in de figuur.Om de inverse te berekenen hebben we een stappenplan. We vervangen in het functievoorschrift f(x)f(x)f(x) door yyy. Dan vervangen we in de formule xxx voor yyy en yyy voor xxx. Vervolgens drukken we in de nieuwe formule yyy uit in xxx. Omdat g(x)g(x)g(x) de inverse is van f(x)f(x)f(x) vervangen we vervolgens yyy door g(x)g(x)g(x).f(x)=4−4x+1f(x) = 4 - \frac{4}{x + 1}f(x)=4−x+14​ wordt dan y=4−4x+1y = 4 - \frac{4}{x + 1}y=4−x+14​. Vervangen we in de formule xxx voor yyy en yyy voor xxx, dan x=4−4y+1x = 4 - \frac{4}{y+1}x=4−y+14​. Nu gaan we de formule omschrijven naar de vorm y=…y = …y=….Links en rechts 444 ervan afhalen geeft x=4−4y+1x = 4 - \frac{4}{y + 1}x=4−y+14​ geeft x−4=−4y+1x - 4 = - \frac{4}{y + 1}x−4=−y+14​.. Links en rechts keer −1-1−1 geeft 4−x=4y+14 - x = \frac{4}{y+1}4−x=y+14​. De noemer van de breuk kunnen we omwisselen met 4−x4-x4−x: y+1=44−xy + 1 = \frac{4}{4-x}y+1=4−x4​. Brengen we de 111 naar de andere kant dan krijgen we y=44−x−1y = \frac{4}{4-x} - 1y=4−x4​−1. Dit is nog niet dezelfde uitdrukking als g(x)g(x)g(x). De functie g(x)g(x)g(x) bestaat namelijk alleen uit een enkele breuk. We zullen dus nog verder moeten herleiden.Maak de noemers gelijknamig. y=44−x−1=44−x−(4−x)4−xy = \frac{4}{4-x} -1 = \frac{4}{4 - x} - \frac{(4-x)}{4-x}y=4−x4​−1=4−x4​−4−x(4−x)​. Let op de haakjes. Nu is y=4−4+x4−x=x4−xy = \frac{4 - 4 + x}{4-x} = \frac{x}{4-x}y=4−x4−4+x​=4−xx​. Let op de minnetjes en de haakjes.De inverse van f(x)f(x)f(x) krijgen we door yyy te vervangen door g(x)g(x)g(x). Dus: g(x)=x4−xg(x) = \frac{x}{4-x}g(x)=4−xx​. En dit moesten we bewijzen.