Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 5 - Afgeleide functies oefentoetsen & antwoorden

De formule $\large \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ stelt de gemiddelde verandering van een functie $f$ over een interval $[a, b]$ voor. (Dit wordt ook het differentiequotiënt van $f(x)$ over het interval $[a,b]$ genoemd.) Laat in je schets zien waar $\Delta x$ en $\Delta y$ gevonden kunnen worden! De vorm van je functie $f(x)$ mag je zelf kiezen.$\Delta x$ wordt steeds kleiner als je $b$ naar $a$ laat naderen:Dus $b \rightarrow a$Hoe kleiner je $\Delta x = b-a$ maakt, des te beter benader je de helling van de grafiek in het punt $A$.$\frac{dx}{dy}$ betekent het differentiaalquotiënt: Als je het differentiequotiënt $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ over een steeds kleiner interval $\Delta x = b-a$ uitrekent, gaat $\Delta x \rightarrow 0$Het differentiequotiënt $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ gaat dan over in het differentiaalquotiënt $\frac{dx}{dy}$.Het differentiaalquotiënt $\frac{dx}{dy}$ is de exacte waarde van de helling van de grafiek $f$ in het punt $A$. De raaklijn $l$ aan de grafiek van $f$ in een punt $A$ voldoet aan de volgende twee voorwaarden (bekijk ook de illustratie):(1) lijn $l$ en $f$ gaan beide door het punt $A$(2) in het punt $A$ is de richtingscoëfficiënt van raaklijn $l$ gelijk aan de helling van de grafiek van $f$ in het punt $A$. Gevraagd wordt naar het differentiequotiënt van $f$ op het interval $[10,40]$. Het differentiequotiënt is de gemiddelde verandering van f op dit interval: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(40)-f(10)}{40-10}$Tip: Vind je dit lastig? Plot de grafiek op je GR en maak zelf een schets, zoals in deze uitwerking. We bepalen eerst $f(10)$ en $f(40)$ en daarna het differentiequotiënt.$f(10) = -\frac{1}{25} \cdot 10^2 + 4 \cdot 10 - 60 = -4 + 40 - 60 = -24$  $f(40) = -\frac{1}{25} \cdot 40^2 + 4 \cdot 40 - 60 = -\frac{1600}{25} + 160 - 60 = -64 + 160 - 60 = 36$ Bepaal het differentiequotiënt:$\large \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(40)-f(10)}{40-10} = \frac{36 - \, -24}{40 - 10} = \frac{60}{30} = 2$. Bereken eerst $f(a+\Delta x)$:$f(a+\Delta x)=2\cdot (a+\Delta x)^2=$$2\cdot (a^2+2a\cdot \Delta x+(\Delta x)^2)=$$2a^2+4a\cdot \Delta x+2\cdot (\Delta x)^2$Bereken nu differentiequotiënt $\frac{\Delta y}{\Delta x}$:$\large \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{(a+\Delta x)-a}=$$\large \frac{(2a^2+4a \cdot \Delta x+2(\Delta x)^2)-2a^2}{\Delta x}=$$\large \frac{4a\cdot \Delta x+2(\Delta x)^2}{\Delta x}=$$4a+2\cdot \Delta x$Indien $\Delta x\to 0$, dan $ \frac{\Delta y}{\Delta x} \to 4a$, want $2 \cdot \Delta x \to 0$. De afgeleide van $f(x) = 5x +7 \sqrt 5$ is $f’(x)=5$. Toelichting: Als $f(x) = u(x) + v(x)$ dan is $f’(x) = u’(x) + v’(x)$. (In woorden: De afgeleide van de som van twee functies is gelijk aan de som van de afgeleide van de twee functies (somregel) ).De afgeleide van $u(x)=5x$ is gelijk aan $u’(x)=5$. (De grafiek van $u(x) = 5x$ is een rechte lijn door de oorsprong. De helling hiervan is constant, in dit geval gelijk aan 5.)De afgeleide van $v(x)= \sqrt 5$ is gelijk aan $v’(x)=0$. (In dit geval is $v(x)$ een constante functie. In een grafiek stelt dit een horizontale lijn voor. De helling daarvan en dus de afgeleide is 0.)De afgeleide van $f(x) = 5x +7 \sqrt 5$ is dus gelijk aan $f’(x) = 5 +0 = 5$. De afgeleide van $g(x)=3x^5-3x^3-7$ is $g'(x)=15x^4-9x^2$.Toelichting: Als $g(x)=u(x)+v(x)+w(x)$ dan is $g'(x)=u'(x)+v'(x)+w'(x)$ (de somregel: je telt de afgeleides op).De afgeleide van $u(x)=3x^5$ is gelijk aan $u'(x)=3\cdot 5x^{5-1}=15x^4$. De afgeleide van de standaard machtsfunctie $x^n$ met $x>0$ en $n$ geheel is $nx^{n-1}$De afgeleide van $v(x)=-3x^3$ is gelijk aan $v'(x)=-3\cdot 3x^{3-1}=-9x^2$.De afgeleide van $w(x)=-7$ is $w'(x)=0$, want $-7$ is een constante functie. De afgeleide is $0$. Herschrijf de functie: werk de haakjes uit $h(x)=4x(x^2-6x+9)+2=4x^3-24x^2+36x+2$Bepaal nu $h'(x)$ door gebruik te maken van de regel voor het bepalen van de afgeleide van een machtsfunctie en de regels voor het differentiëren:$h'(x)=4 \cdot 3 \cdot x^2-24 \cdot 2 \cdot x^1+36\cdot x^0+0$$h'(x)=12x^2-48x+36$. Om de afgeleide van $I(q)=π(2q)^3$ te bepalen, herschrijf je de functie:$I(q)=π(2q)^3$$=π \cdot 2^3q^3 $ (toelichting: er geldt $(pq)n=p^nq^n$)$=π \cdot 8 \cdot q3$$=8π q^3$Bepaal nu $I'(q)$:$I'(q)=8π \cdot 3 \cdot q^2$$=24π q^2$Toelichting: het getal $\pi$ is een constante, dus dat laat je gewoon voor de functie staan bij het nemen van de afgeleide (net als het getal $8$) We zetten de volgende stappen: (1) Differentieer, (2) Lost exact op $f'(x)=0$, (3) Plot de grafiek en kijk of er sprake is van een minimum of een maximum, (4) Bereken de extreme waarde.(1) Differentieer $f$$f'(x)=3x^4+81x$(2) Lost exact op $f'(x)=0$$f'(x)=0$ geeft:  $3x^4+81x=0$$3x(x^3+27)=0$$x=0 \vee x=-3$(3) Plot de grafiek en kijk of er sprake is van een minimum of een maximum.Hieronder is de grafiek geplot. Aan de vorm van de grafiek is te zien dat bij x=0 een minimum is en bij x=-3 een maximum.(4) Bereken de extreme waardenVoor $x=-3$ is er een maximum $f(-3)$: invullen geeft $f(-3)=\frac{3}{5}(-3)^5+40\frac{1}{2}\cdot (-3)^2=218\frac{7}{10}$ (in de vraag stond exact, dus niet afronden!)Voor $x=0$ is er een minimum $f(0)$: invullen geeft $f(0)=\frac{3}{5}(0)^5+40\frac{1}{2} \cdot (0)^2 = 0$. Bepaal de afstand die is afgelegd in 10 seconden. Bereken vervolgens de gemiddelde snelheid.De afstand die is afgelegd in 10 seconden is:$s(10)=-\frac{1}{15}10^3+2 \cdot 10^2$$=-\frac{1000}{15}+200=133,3$ mDe gemiddelde snelheid gedurende de eerste 10 seconden is $\frac{133,33}{10}=13,33$ m/s. (Gebruik dat snelheid = afstand / tijd).Bepaal de afstand die is afgelegd na 6 seconden. Bereken vervolgens de gemiddelde snelheid.De afstand die is afgelegd in de eerste 10 seconden is 133,3 m (onderdeel a).De afstand die is afgelegd in de eerste 6 seconden is $s(6)=-\frac{1}{15}6^3+2\cdot 6^2$$=-\frac{216}{15}+72=57,6$ mDe gemiddelde snelheid gedurende op het interval [6, 10] is $v_{gem}=\frac{\Delta s }{\Delta t} =\frac{133,3-57,6}{10-6}=18,9$ m/sDe snelheidsfunctie $v(t)$ is de afgeleide functie van de afstandsfunctie $s(t)$.Bepaal de afgeleide functie: $v(t)=s'(t)=-\frac{1}{5}t^2+4t$.Bepaal de snelheid op $t=6$:$v(6)=-\frac{1}{5}6^2+4 \cdot 6=16\frac{4}{5}$Conclusie: De snelheid van de auto op $t=6$ is $16,8$ m/s. Werkwijze: (1) stel een vergelijking op van lijn $k$ door $A$, (2) bepaal y-coördinaat van $B$ en (3) bepaal $p$.(1) Stel vergelijking van lijn $k$ op.De grafiek snijdt de y-as in punt $A$, dus $x=0$: dat geeft $f_p(0)=\frac{1}{3}\cdot 0^3+p\cdot 0^2-4\cdot 0-2=-2$, dus $A(0,-2)$.De afgeleide functie is gelijk aan: $f_p'(x)=-x^2+2px-4$Richtingscoëfficiënt $rc_k$ van lijn $k$: $rc_k=f_p'(0)=-0^2+2p\cdot 0-4=-4$Vergelijking lijn $k$: $k:y=-4x+b$ gaat door $A(0,-2)$. Dus geldt: $-2=-4\cdot 0+b$ en volgt $b=-2$.Dus $k:y=-4x-2$.(2) Bepaal y-coördinaat van $B$:Vul $x_B = 9$ in bij lijn $k$: dat geeft $y_B = -4 \cdot 9 -2 = -38$Dus $B(9, 38)$(3) Bepaal $p$:Er geldt: $f_p(9)=-38$, dus $f_p(9)=-\frac{1}{3} 9^3+p\cdot  9^2-4\cdot 9-2=-38$Hieruit volgt dat $p=3$. Er zijn geen extreme waarden indien de grafiek van $f_p$ voor elke $x$ ofwel dalend of gelijk aan nul is, ofwel stijgend of gelijk aan nul is (dus dan zijn er geen toppen). Dat betekent dat de afgeleide functie óf altijd groter dan of gelijk aan 0 is, óf altijd kleiner dan of gelijk aan 0.Uit opgave a. weten we dat de afgeleide functie gelijk is aan $f_p'(x)=-x^2+2px-4$.Dit is een bergparabool (want het getal vóór de $x^2$ is negatief, namelijk $-1$).Daarom moet hier gelden dat $f_p'(x) \leq 0$ voor elke waarde van $x$. (Tip: vind je dit lastig? Schets dan de afgeleide functie (kies zelf een getal voor $p$) en controleer wat er gebeurt!)Dus we moeten oplossen $f_p'(x) \leq 0$. Los eerst op: $f_p'(x)=0$.$f_p'(x)=-x^2+2px-4=0$Met behulp van de abc-formule: $D = b^2 - 4ac$ geeft $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$Hier is $a=-1, b=2p$ en $c=-4$, dus $x=\frac{-2p \pm \sqrt{(2p)^2-4\cdot -1 \cdot -4}}{2\cdot -1}$Dat geeft $x=p\pm\sqrt{p^2-4}$De top van de bergparabool moet gelijk zijn aan 0 of onder 0 liggen, dus er moeten geen oplossingen zijn. Dat betekent dat de term binnen de wortel kleiner dan of gelijk moet zijn aan 0. Los eerst op wanneer deze precies gelijk is aan 0: $p^2-4=0$$p^2 = 4$$p=2 \vee p=-2$De term binnen de wortel is kleiner dan 0 voor waardes hiertussen, dus $-2 \leq p \leq 2$Conclusie: er zijn geen extreme waarden voor $-2 \leq p \leq 2$.  In een top van de grafiek van $f_1$ is de raaklijn evenwijdig aan de x-as. De afgeleide is dan gelijk aan nul. Stappen: (1) Werk de haakjes weg, (2) Bepaal de afgeleide functie, (3) Los op $f'(x)=0$, (4) Bepaal bij welke oplossing een maximum hoort, (5) Bereken de coördinaten van de top en (6) formuleer het eindantwoord.(1) Herschrijf $f$ en werk de haakjes weg$f_1(x)=(x+1)(x^2-16)=x^3+x^2-16x-16$(2) Bepaal de afgeleide functie$f_1'(x)=3x^2+2x-16$(3) Los op $f'(x)=0$$f_1'(x)=0$$3x^2+2x-16=0$Met behulp van de abc-formule volgt:$x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 3\cdot -16}}{2\cdot 3}$$x=\frac{-2\pm \sqrt{196}}{6}$$x=\frac{-2\pm 14}{6}$Oplossingen: $x=-2\frac{2}{3}$ of $x=2$.(4) Bepaal welke oplossing bij een maximum hoort.Uit de gegeven grafiek volgt dat we op zoek zijn naar de coördinaten behorende bij $x=2$. (Tip: Indien de grafiek niet gegeven is, kun je de grafiek plotten met behulp van je GR.)(5) Bereken de coördinaten van de top.$f(2)=(2+1)(2^2-16) = 3\cdot -12=-36$(6) Conclusie: de coördinaten van de top zijn $A(2, -36)$.De algemene vergelijking van een rechte lijn is $y=ax+b$. Voor de raaklijn aan $f_1$ in het snijpunt $P$ met de y-as geldt $a=f_1'(0)$.(1) Bepaal de helling van raaklijn $k$ in het punt $P$. $f_1'(x)=3x^2+2x-16$ (uit opgave a)$a=f'(0)=3\cdot 0^2+2\cdot 0-16=-16$(2) Stel de vergelijking van raaklijn $k$ op:Er geldt: $y=-16x+b$Lijn $k$ gaat door $P(0, f(0))=(0, -16)$Er moet gelden: $b=-16$ (dat kun je direct uit de coördinaten van $P$ aflezen, maar je kunt ook het punt invullen in de vergelijking van de lijn en $b$ zo berekenen)(3) Dus $k:y=-16x-16$De algemene vergelijking van een rechte lijn is $y=ax+b$. Voor de raaklijn aan $f_1$ in het snijpunt $Q$ met de x-as moet eerst het snijpunt met de x-as worden bepaald. (1) Bepaal het snijpunt van $f_1$ met de x-as. Los op $f(x)=0$.$f_1(x)=0$$(x+1)(x^2-16)=0$$x+1 = 0 \vee x^2-16 = 0$$x=-1 \vee x=4 \vee x=-4$Dus snijpunten met de x-as voor $x=-4, x=-1$ en $x=4$.Uit de gegeven grafiek volgt dat $x=4$ de x-coördinaat is die hoort bij $Q$. Dus $Q(4, 0)$.(2) Bepaal de helling van raaklijn $l$ in het punt $Q$. $f'(x)=3x^2+2x-16$$a=f'(4)=3\cdot 4^2+2\cdot 4-16=40$(3) Stel de vergelijking van raaklijn $l$ op:Er geldt: $y=40x+b$Lijn $l$ gaat door $Q(4,  0)$Er moet gelden: $0=40\cdot 4+b$, dus $b=-160$(4) Dus $l:y=40x-160$.Stappenplan (1) Bepaal de coördinaten van de hoekpunten van $\triangle OQR$. (2) Bepaal een uitdrukking voor het oppervlak van$\triangle OQR$. (3) Bepaal de afgeleide, (4) bepaal voor welke waarde van p het oppervlak maximaal is en (5) Bereken het maximale oppervlak. (1) Bepaal coördinaten $\triangle OQR$Punten $O(0, 0)$ en $Q(4, 0)$$R(p, f_p(p))=R(p, (p+p)(p^2-16))=R(p, 2p^3-32p)$(2) Voor de oppervlakte van $\triangle OQR$ geldt:$Opp=\frac{1}{2} basis \cdot hoogte$Met $basis=4$ en $hoogte= -f_p(p)=32p-2p^3$ volgt:$Opp=\frac{1}{2} basis \cdot hoogte= \frac{1}{2} \cdot 4\cdot (32p-2p^3)=$ (let op haakjes!)$Opp=64p-4p^3$(3) Bepaal de afgeleideVoor het oppervlak geldt: $Opp \ \triangle OQR=64p-4p^3$De afgeleide hiervan is: $\frac{d[Opp \ \triangle OQR]}{dp}=64-12p^2$(4) Het oppervlak is maximaal als geldt dat de afgeleide ervan gelijk is aan 0.$\frac{d[Opp \ \triangle OQR]}{dp}=64-12p^2=0$, dus:$12p^2=64$$p^2=\frac{64}{12}=\frac{16}{3}$Dat geeft $p=\pm \sqrt{\frac{16}{3}}$Dus $p=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4}{3}\sqrt{3}$ (want gegeven is $0 \leq p \leq 4$)(5) Bereken het maximale oppervlakHet oppervlak is:$Opp \ \triangle OQR=64p-4p^3$Het maximale oppervlak geldt voor $p=\frac{4}{3}\sqrt{3}$, dus$Opp \triangle OQR=64\cdot \frac{4}{3}\sqrt{3} -4\cdot (\frac{4}{3}\sqrt{3})^3=$$=\frac{256}{3}\sqrt{3}-\frac{256}{3}\sqrt{3}=$$=\frac{256}{3}\sqrt{3}-\frac{256}{9}\sqrt{3}=$$=\frac{768}{9}\sqrt{3}-\frac{256}{9}\sqrt{3}=\frac{512}{9}\sqrt{3}$(6) Conclusie: Het maximale oppervlak is $Opp \ \triangle OQR=\frac{512}{9}\sqrt{3}$ en geldt voor $p=\frac{4}{3}\sqrt{3}$.