Getal en Ruimte 13e ed/FLEX deel 2 - Hoofdstuk 6 - Formules en letters oefentoetsen & antwoorden

a)  Nora maakt een fout. 5²  = 5 ∙ 5 = 25b)  Dylan heeft het goed begrepen, zijn berekening klopt. −6²  = −6 ∙ 6 = −36Als je het kwadraat van −6 wilt uitrekenen, dan moet dat tussen haakjes, dus zo:   (−6)²  = −6 ∙ −6 = 36. En omdat min keer min weer plus is, is het antwoord positief. (Tip: Het plusje schrijven we bij positieve getallen niet op.)c)  −10² = −10 ∙ 10 = −100d)  (−10)² = −10 ∙ −10 = 100 a)  9 ∙ 9 = 81. Daarom is 9 de wortel van 81. Zo is 11  ∙ 11 = 121, dus de wortel van 121 is 11.b)  Wiskunde kun je zien als een taal, en in die taal gebruiken we speciale wiskundige tekens zoals het wortelteken. De berekening is dan: 9\sqrt{9}9​ = 3  (want 3 ∙ 3 = 9).c)  De berekening is: 64\sqrt{64}64​ = 8  (want 8 ∙ 8 = 64). Het is heel belangrijk dat je de rekenvolgorde goed kent en gebruikt, want anders krijg je overal verkeerde antwoorden. Dus leer dat uit je hoofd, en ga er mee oefenen.De rekenvolgorde gaat zo:Eerst alles tussen haakjes uitrekenenDan alle kwadraten en wortelsDan vermenigvuldigen en delenEn als laatste optellen en aftrekken, alles van links naar rechts a)  −4  ∙ −3 = 12 want min keer min is plusb)  −4  ∙ −3² = −3 staat niet tussen haakjes dus −3 ∙ 3 doen−4 ∙ −9  = 36 want min keer min is plusc)  −4  − 3² =−4  − 9 = −13 want −3² = −3  ∙ 3 = −9d)  −(7 – 2)² = Eerst de berekening tussen haakjes−5² = −25 De min voor de haakjes blijft gewoon staane)  −(2 – 7)² = De haakjes even laten staan bij een negatief getal−(–5)² = −25 Ook hier blijft de min voor de haakjes gewoon staanf)  50 + (3 – 4)² = Eerst de berekening tussen haakjes50 + (–1)² = De haakjes even laten staan bij een negatief getal50 + 1 = 51g)  6 + 5 ∙ (−3)² = Eerst het kwadraat6 + 5 ∙ 9 = Dan vermenigvuldigen6 + 45 = 51 Dan pas optellenh)  −6² −(7 – 3²) = Eerst het kwadraat tussen de haakjes−6² −(7 – 9) = Dan aftrekken tussen de haakjes−6² − −2 = bij optellen en aftrekken zijn 2 minnen naast elkaar plus−6² + 2 =−36 + 2 = −34i)  −5² ∙ (−2)² + 4 ∙ (−5)² = Eerst alle kwadraten in één keer−25 ∙ 4 + 4 ∙ 25  = Dan vermenigvuldigen−100 + 100  = 0 En dan pas optellenj)  −2  ∙ −4 ∙ (−3)² − 3 ∙ (−5)² = Let goed op het minteken in het midden−2  ∙ −4  ∙ 9 − 3 ∙ 25 = Links alles vermenigvuldigen en rechts ook72 – 75 =  –3 Dan het antwoord gevenk)  10² − 108 : (−3)² = Eerst de kwadraten100 − 108 : 9 = Dan de deling100 − 12 = 88l) ) 12² : 48  ∙ −2² = Eerst de kwadraten144  : 48  ∙ −4 = Dan vermenigvuldigen en delen van links naar rechts3  ∙ −4 = −12 Dit is in 2 stappen, maar het mag ook in één keerTip bij deze sommen: We hebben in hoofdstuk 2 al geleerd dat je soms een som in meerdere tussenstappen moet uitrekenen. Dan moet je dus netjes stap voor stap volgens de rekenvolgorde onder elkaar de uitwerking opschrijven steeds met een = erachter, totdat je het eindantwoord hebt zoals in de uitwerkingen hierboven.Nog een hele belangrijke Tip: Hier zie je som f) zoals het niet mag:50 + (3 – 4)² = 3 – 4 = –1(– 1)² = 150 + 1 = 51Het klopt allemaal wel wat er staat, en het antwoord is ook goed, maar de manier waarop het is opgeschreven niet. Als je geluk hebt krijg je één punt voor het goede antwoord, maar je krijgt geen punten voor de berekening helaas. Let dus goed op het verschil, want als je het zo doet krijg je heel moeilijk een voldoende! a)  0 –1\sqrt{0}\ – \sqrt{1}0​ –1​ = Eerst de wortels0  –  1 =  –1 want 0 ∙ 0 = 0 en 1 ∙ 1 = 1b)  4⋅49\sqrt{4} \cdot \sqrt{49}4​⋅49​ = Eerst de wortels2  ∙ 7 = 14 dan vermenigvuldigenc)  100 –81⋅32\sqrt{100}\ – \sqrt{81} \cdot 3^2100​ –81​⋅32 = Eerst wortels en kwadraat10 – 9 ∙ 9 = dan vermenigvuldigen10 – 81 = –71 dan aftrekkend)  (–3)2+ 121⋅81(–3)^2 +  \sqrt{121} \cdot \sqrt{81}(–3)2+ 121​⋅81​ = 9 + 11 ∙ 9 = let op de rekenvolgorde!9 + 99 = 108e)  169\sqrt{169}169​ ∙ 196\sqrt{196}196​ ∙ 0\sqrt{0}0​ =13 ∙ 14 ∙ 0  = 0 iets keer 0 is altijd 0f)  9⋅144 –3⋅4009 \cdot \sqrt{144}\ –3 \cdot \sqrt{400}9⋅144​ –3⋅400​9 ∙ 12  – 3 ∙ 20 = ook hier: let op de rekenvolgorde!108 – 60 = 48g)  64\sqrt{64}64​ : 16\sqrt{16}16​ = 8 : 4 = 2h)  3 ∙ 4\sqrt{4}4​ ∙ 225\sqrt{225}225​ : 9\sqrt{9}9​ Delen en vermenigvuldigen3 ∙ 2  ∙ 15  :  3 = 30 mag allemaal in één keer Tip: dus doe je berekeningen stap voor stap, volgens de rekenvolgorde en schrijf elke stap op. Eerst haakjes, dan wortels en kwadraten, dan vermenigvuldigen en dan optellen en aftrekken van links naar rechts. In elke volgende regel heb je weer een klein stukje uitgerekend totdat je één antwoord hebt. a)  $x = 2$ geeft $y =\ –5 \cdot (2)^2 + 2 =\ –5 \cdot 4 + 2  =\ –20 + 2 =\ –18$b)  $x = –2$ geeft $y =\ –5 \cdot (–2)^2 + 2 =\ –5 \cdot 4 + 2  =\ –20 + 2 =\ –18$c)  $t = 2\frac{1}{2}$ geeft $B =  (2 \cdot 2\frac{1}{2}\ – 7)^2 + 2 = (5\ –\ 7)^2 + 2 = (–2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6$. d)  $p = 15$ geeft $q =\ –2\ .\ (15)^2 + 6=\ –2\  .\ 225 + 6=\ –450 + 6 =\ –444$. a)  $k = 7,19$ geeft $D =0,58 \cdot (7,19)^2 + 2 = 31,98…$. Dus D = 32,0Omdat we moeten afronden op 1 cijfer achter de komma, heb je maar 2 cijfers achter de komma nodig, de rest laat je weg en je zet daarvoor een paar puntjes.Tip: als je op de rekenmachine een getal invult in plaats van een letter, zet dat getal dan altijd tussen haakjes. Voor positieve getallen die je invult mag dat, voor negatieve getallen moet dat!b)  $k = –0,18$ geeft $D =\ 0,58 \cdot (–0,18)^2 + 2 = 2,01…$. Dus D = 2,0c)  Als de uitkomst 60 is, dan is $0,58 k^2$ dus 58, en dan is $k^2$ dus 100, en dan is k dus de wortel van 100 en dat is 10. Geloof je het niet, vul dat dan maar eens in op je rekenmachine. a)  n = 3 geeft A = 32^22 + 1 = 9 + 1 = 10Dus figuur nummer 3 heeft 10 vierkantjes. Controleer maar in de tekening !b)  n = 13 geeft A = 132^22 + 1 = 169 + 1 = 170Dus figuur nummer 13 heeft 170 vierkantjes.c)  Als n2^22 + 1 = 226, dan is n2^22 = 225 en dan is n = 225\sqrt{225}225​ = 15(Want: 15 keer 15 is 225.)Het nummer van de figuur met 226 vierkantjes is dus 15.d)  n = 1 geeft A = 2 ∙  12^22  – 1 = 2 ∙ 1  – 1 = 2 – 1 = 1n = 2 geeft A = 2 ∙  22^22  – 1 = 2 ∙ 4  – 1 = 8 – 1 = 7n = 3 geeft A = 2 ∙  32^22  – 1 = 2 ∙ 9  – 1 = 18 – 1 = 17 a)  Je gaat in de formule voor de letter x nu getallen invullen die boven in de tabel staan.Tip: Let op dat je negatieve getallen altijd tussen haakjes zet, anders gaat je berekening fout. Want uit (–3)2^22 komt 9, maar uit –32^22 komt –9.x = –3 y =  – 0,5 (–3)2^22 + 2 = – 0,5  ∙  9  + 2 = – 4,5  + 2 = – 2,5 x = –2 y =  – 0,5 (–2)2^22 + 2 = – 0,5  ∙  4  + 2 = – 2  + 2 = 0x = –1 y =  – 0,5 (–1)2^22 + 2 = – 0,5  ∙  1  + 2 = – 0,5  + 2 = 1,5x = 0 y =  – 0,5 (0)2^22 + 2 = – 0,5  ∙  0  + 2 = 2,0x = 1 y =  – 0,5 (1)2^22 + 2 = – 0,5  ∙  1  + 2 = – 0,5  + 2 = 1,5x = 2 y =  – 0,5 (2)2^22 + 2 = – 0,5  ∙  4  + 2 = – 2  + 2 = 0x = 3 y =  – 0,5 (3)2^22 + 2 = – 0,5  ∙  9  + 2 = – 4,5  + 2 = – 2,5  Schrijf altijd een paar berekeningen op, dat is handig voor jezelf (maar vraag voor de zekerheid aan je docent of dat altijd moet en hoeveel berekeningen je dan op moet schrijven). Hier zijn in ieder geval als voorbeeld alle berekeningen opgeschreven.De antwoorden zet je in de tabel.Kijk eens goed in de tabel, dan zie je dat de antwoorden bij x =  –1 en x =  +1 hetzelfde zijn. En dat is ook zo voor x =  –2 en x =  +2.Dat komt doordat de kwadraten van –2 en +2 hetzelfde zijn, en dat is ook zo voor x =  –1 en x = +1x-3-2-10123y-2,501,52,01,50-2,5b)  Als je de tabel hebt ingevuld kun je de grafiek gaan tekenen.Tip: vergeet niet dat je altijd moet tekenen met potlood!!! En als dat nodig is gebruik je ook een lineaal of geodriehoek. Doe je dat niet, dan kost dat zeker punten!!!De laagste x-waarde in de tabel is –3, de grootste x-waarde is +3, dus je moet op x-as (horizontaal) in ieder geval van –3 naar +3 kunnen gaan, maar neem liever iets meer ruimte, dus van x = –4 tot x = +4. De laagste waarde op de y-as is –2,5 en de hoogste +2,0.Neem hier ook wat meer ruimte, dus bijvoorbeeld van –5 tot +4, dan past je grafiek er mooi in.Let goed op:Als je een grafiek tekent vanuit een tabel, dan staan altijd boven in de tabel de getallen die je in de formule hebt ingevuld (x-waarden), en onder in de tabel wat er uit de berekening is gekomen (y-waarden).In de grafiek gaat dat net andersom.Wat boven in de tabel staat zijn de x-waarden, en die horen in de grafiek onder, bij de horizontale as.Wat in de tabel onderin staat zijn de y-waarden, en die horen dus in de grafiek bij de verticale as.In de tabel zie je nu coördinaten van punten op de grafiek.Dat zijn (–3 ; –2,5) , (–2,0) , (–1;1,5) , (0;2,0) , (1;1,5) , (2,0) en (3; –2,5).Let op! Zie je dat er een punt-komma staat in plaats van een komma tussen coördinaten met een komma erin? Dat moet, anders weet je niet meer precies waar de komma’s bij horen. Nu ga je de coördinaten met potlood in de grafiek zetten.En als je dat gedaan hebt, dan teken je de grafiek met een mooie vloeiende lijn door die punten heen. Je krijgt dan een parabool.Vergeet niet om x bij de x-as te zetten, en y bij de y-as.En als laatste zet je de formule bij de grafiek. a)  x = 18 geeft y = –0,01(18)$^2$ + 32 = 28,8 mb) Het hoogste punt van de brug ligt bij x = 0.  Dat gaan we dus invullen in de formule:x = 0 geeft y = –0,01(0)$^2$ + 32 =  32 mc)  Als de afstand tussen de punten A en B, 80 meter is, dan is de x-coördinaat van A = –40, en die van B is dan 40, want x = 0 ligt er precies tussenin.De hoogte van het wegdek kun je daarom uitrekenen bij x = 40:x = 40 geeft y = –0,01(40)$^2$ + 32 = 16 m(Natuurlijk krijg je hetzelfde antwoord als je x = –40 invult.)d)  x = 20 geeft y = –0,01(20)$^2$ + 32 =  28 m.De brug is daar dus 28 meter hoog. Het wegdek ligt op 16 meter hoogte.De staven zijn dus 28 – 16 = 12 meter lang.e)  Waar de brug het water raakt is de hoogte 0 meter. Dus y = 0.Vanuit het midden is de afstand naar C gelijk aan de afstand naar D. En dat is de helft van de afstand tussen C en D.We gaan kijken hoe hoog de brug nog ongeveer is in de buurt van punt D (of C, maar dan moet je dus rekenen met een negatief getal voor x)We delen 112 door 2 en krijgen dan 56.x = 56 geeft y = –0,01(56)$^2$ + 32 =  0,64 mBij een breedte van 112 meter raakt de brug het water dus nog niet.x = 57 geeft y = –0,01(57)$^2$ + 32 =  –0,49 mDan zitten we dus onder water.De afstand van het midden naar punt D is dus meer dan 56 meter, maar minder dan 57 meterHet antwoord op de vraag is: De afstand tussen C en D is meer dan 112 meter. a)  De formule y=12x2−2y = \frac{1}{2}x^2-2y=21​x2−2 noemen we een kwadratische formule. De grafiek die daar bij hoort is de parabool.b)  om deze grafiek goed  te kunnen tekenen hebben we de coördinaten nodig van minimaal 9 punten die op de grafiek liggen. In het midden staat altijd de 0. Bovenin de x, onderin de y.We gaan het ons makkelijk maken, en we rekenen alleen de y-waarden uit voor x = 0, x = 1, x = 2, x = 3 en x = 4. Daarmee kunnen we dan de hele tabel invullen.x = 0 y =   12⋅(0)2–2= –2\frac{1}{2}\cdot(0)^2 –2 =\ –221​⋅(0)2–2= –2x = 1 y =   12⋅(1)2–2= –112\frac{1}{2}\cdot(1)^2 –2 =\ –1\frac{1}{2}21​⋅(1)2–2= –121​x = 2 y =   12⋅(2)2–2= 0\frac{1}{2}\cdot(2)^2 –2 =\ 021​⋅(2)2–2= 0x = 3 y =   12⋅(3)2–2= 212\frac{1}{2}\cdot(3)^2 –2 =\ 2\frac{1}{2}21​⋅(3)2–2= 221​x = 4 y =   12⋅(4)2–2= 6\frac{1}{2}\cdot(4)^2 –2 =\ 621​⋅(4)2–2= 6De y-waarden die we hebben uitgerekend zetten we in de tabel, en dan krijgen we dit:x-4-3-2-101234y-2-1½02½6x-4-3-2-101234y62½0-1½-2-1½02½6Nu kunnen we de tabel afmaken, want de y-waarde onder x = 1 is hetzelfde als de y-waarde onder x = –1 enz…We hebben nu de coördinaten van 9 punten op de grafiek, en die gaan we in het assenstelsel zetten, en daarna tekenen we de parabool.x-24yc)  De formule  y=2x−2y = 2x-2y=2x−2  noemen we een lineaire formule.De grafiek die daarbij hoort is een rechte lijn. En voor elke rechte lijn geldt: als je 2 punten weet, dan kun je die lijn tekenen.Deze tabel is dus voldoende:Kies 2 punten zover mogelijk uit elkaar, waarvan de y-waarden nog wel netjes in het assenstelsel passen.Want:x = –2 geeft y = 2 ∙ –2 – 2 = –4  –2 = –6x = 4 geeft y = 2 ∙  4 – 2 = 6x-24y–66Nu kunnen we de grafiek tekenenDe coördinaten van de snijpunten van de rechte lijn en de parabool zijn nu eenvoudig af te lezen: (0, –2) en (4,6)De grafiek van $y =\ –2$ is ook een rechte lijn. En wel een bijzondere lijn.Om deze lijn te tekenen heb je geen tabel of berekeningen nodig.Het is een horizontale lijn op hoogte –2.We zetten die lijn ook in het assenstelsel en lezen de coördinaten van het snijpunt met de parabool af:  (0, –2)Tot slot nog wat tips bij het tekenen van grafieken:Tekenen doen we altijd met potlood. Het voordeel is dat je fouten makkelijk kunt verbeteren met een gummetje.Alle grafieken kun je gewoon tekenen met potlood want je moet de formule er duidelijk bij zetten. Kleurpotlood mag wel, maar dan moet je nog steeds de formule er wel bij zetten.Zet x en y bij de assen. Vergeet dat niet, want dat kan punten kosten!Is de rechte lijn niet mooi recht? Dan geen punten daarvoor!Gebruik dus je lineaal of geodriehoek voor rechte lijnen. Het recept voor vermenigvuldigen met letters is simpel:Eerst de getallen keer elkaar, rekening houden met de minnen.Zet dat getal vooraan.Dan de letters achter elkaar in alfabetische volgorde.Klaar.a)  –3a ⋅ 4 = –12a–3a\ \cdot\ 4\ =\ –12a –3a ⋅ 4 = –12a één min, dus het antwoord is min b)  –3a ⋅ a = –3a2–3a\ \cdot\ a\ =\ –3a^2 –3a ⋅ a = –3a2 a betekent eigenlijk 1⋅a1\cdot a1⋅a en a ⋅ a = a2a\ \cdot\ a\ =\ a^2a ⋅ a = a2c)  –2b ⋅ –4c = 8bc–2b\ \cdot\ –4c\ =\ 8bc–2b ⋅ –4c = 8bc d)  –2b ⋅ –a ⋅ –3x = –6abx–2b\ \cdot\ –a\ \cdot\ –3x\ =\ –6abx–2b ⋅ –a ⋅ –3x = –6abx 3 keer een min, dus het antwoord is mine)  213x ⋅ 3y = 7xy2\frac{1}{3}x\ \cdot\ 3y\ =\ 7xy231​x ⋅ 3y = 7xy Uitleg:Het recept voor het optellen van termen is ook niet ingewikkeld:Je mag termen alleen bij elkaar optellen en van elkaar aftrekken (we noemen dat ook wel samennemen) als ze gelijknamig zijn. Dus 2ab+ab=3ab2ab + ab = 3ab2ab+ab=3ab, maar ab+ac=ab + ac =ab+ac= kan nietMaar ook: ab2+3ab2=4ab2ab^2 + 3ab^2 = 4ab^2ab2+3ab2=4ab2 maar ab2+ab=ab^2 + ab =ab2+ab= kan nietOf je ze kunt optellen en aftrekken ligt dus niet aan de cijfers die ervoor staan, maar alleen aan de letters. Als die hetzelfde zijn mag je ze samennemen.(O ja, vermenigvuldigen mag altijd, ook als de letters niet hetzelfde zijn.)Kan niet mag je afkorten door in je antwoord k.n. te schrijven.a)  3m+2m=5m3m + 2m = 5m3m+2m=5mb)  –3m+2m= –m–3m + 2m =\ –m–3m+2m= –mc)  5a+5b –3a –7b+a=3a –2b5a + 5b\ – 3a\ – 7b + a = 3a\ –2b5a+5b –3a –7b+a=3a –2bd)  –b –2a –2b+a+2c= –3b –a+2c–b\ –2a\ – 2b + a + 2c =\ –3b\ –a + 2c–b –2a –2b+a+2c= –3b –a+2c maar –a –3b+2c–a\ –3b + 2c–a –3b+2c is ook goede)  ab –c+2ab –2c+12c=3ab –212cab\ – c + 2ab\ – 2c + \frac{1}{2}c = 3ab\ –2\frac{1}{2}cab –c+2ab –2c+21​c=3ab –221​cf)  2p+3q – p – 4q=p – q2p + 3q\ –\ p\ –\ 4q = p\ –\ q2p+3q – p – 4q=p – qg)  4a – –b +\ –a+3b=4a\ – \ –b\ +\  –a + 3b =4a – –b + –a+3b= min naast min wordt plus4a+b –a+3b=3a+4b4a + b\ –a + 3b = 3a + 4b4a+b –a+3b=3a+4b plus naast min wordt min a)  5a –9a= –4a5a\ – 9a =\ –4a5a –9a= –4ab)  3ab –b=k.n.3ab\ – b = k.n.3ab –b=k.n.c)  3ab –b –ab=2ab –b3ab\ – b\ –ab = 2ab\ – b3ab –b –ab=2ab –b het kan korter dus herleiden kand)  p⋅ –a⋅2p=\ –2ap2p\cdot\ –a \cdot 2p =\  –2ap^2p⋅ –a⋅2p= –2ap2e)  –8pq+9pq=pq–8pq + 9pq = pq–8pq+9pq=pqf)  –2ac+4bc=k.n.–2ac + 4bc = k.n.–2ac+4bc=k.n.g)  6p+3q –p=5p+3q6p + 3q\ – p = 5p + 3q6p+3q –p=5p+3qh)  6a⋅4ab⋅ –b= –24a2b26a \cdot 4ab \cdot\ –b =\ –24a^2b^26a⋅4ab⋅ –b= –24a2b2i)  22p⋅12q=11pq22p \cdot \frac{1}{2}q = 11pq22p⋅21​q=11pqj)  2x⋅2y – x⋅3y=4xy – 3xy=xy2x \cdot 2y\ –\ x \cdot 3y = 4xy\ –\ 3xy = xy2x⋅2y – x⋅3y=4xy – 3xy=xyk)  –a⋅ –6a+2a⋅ –4a=6a2 + –8a2=6a2 –8a2= –2a2–a \cdot\ –6a + 2a \cdot\ –4a = 6a^2\ +\ – 8a^2 = 6a^2\ – 8a^2=\ –2a^2–a⋅ –6a+2a⋅ –4a=6a2 + –8a2=6a2 –8a2= –2a2l)  x⋅ –5y  –\ 2y ⋅ –x+4xy= –5xy + 2xy +4xy = xyx \cdot\ –5y\space  –\  2y\ \cdot\ –x + 4xy =\ –5xy\ +\ 2xy\ + 4xy\ =\ xyx⋅ –5y  – 2y ⋅ –x+4xy= –5xy + 2xy +4xy = xym)  5x⋅37y⋅0⋅5=05x \cdot 37y \cdot 0 \cdot 5 = 05x⋅37y⋅0⋅5=0n)  37x⋅0⋅x – 5x2= – 5x2\frac{3}{7}x \cdot 0 \cdot x\ –\ 5x^2 =\ –\ 5x^273​x⋅0⋅x – 5x2= – 5x2