Pulsar Natuurkunde 3e ed - Hoofdstuk 5 - Trillen en golven oefentoetsen & antwoorden

De amplitude is de maximale uitwijking van een trilling.De fase van een trilling geeft aan hoeveel trillingen er op een bepaald tijdstip zijn uitgevoerd. Een fase van 0,5 betekent dat de trilling een halve periode heeft afgelegd. Een fase van 2,5 betekent dat de trilling twee gehele trillingen heeft gemaakt plus nog een halve.De trillingstijd is de tijd die gemeten wordt van één gehele trilling. Dus de tijd die nodig is om vanuit het evenwichtspunt naar de ene kant te slingeren en dan naar de andere kant en weer terug naar de evenwichtsstand.De eigentrilling is de trilling die een voorwerp van “nature” uitvoert als het in beweging wordt gebracht. De eigenfrequentie is de frequentie van het voorwerp.Resonantie is het verschijnsel waarbij een voorwerp gaat meetrillen bij een gedwongen externe trilling met dezelfde frequentie als de eigenfrequentie.Een voorbeeld van een longitudinale golf is geluid. Het geluid beweegt zich voort als drukgolven waarbij de amplitude dezelfde richting heeft als de beweging.Een grondtoon is een toon die voorkomt bij een resonantie in een buis met  open, gesloten of halfopen uiteinden. Deze grondtoon is de laagste toon die mogelijk is en is een ½ golflengte bij de open en gesloten systemen en een ¼ golflengte bij een halfopen systeem. Een harmonische trilling is een trilling die een sinusvormige grafiek heeft. Het hartfilmpje laat zien dat je wel de periode kunt bepalen (door middel van de pieken) maar niet dat de trilling mooi afneemt en weer mooi toeneemt. Het hart pompt bloed door middel van pulsen.De veerconstante staat onderaan een breuk en de trillingstijd staat niet in een breuk. Het verband moet dan wel omgekeerd zijn. Verder staat in de formule een wortel dus is het een omgekeerd wortelverband. Je kunt ook twee cijfers gebruiken om het aan te tonen. Stel dat $C$ vier keer zo groot wordt, wordt $T=\sqrt{\frac{1}{4}}=0,5$, dus twee keer zo klein.Resonantie kun je voorkomen door de trilling te dempen of de eigenfrequentie te veranderen. Rubber heeft als eigenschap dat het dempt. Het vangt schokken (trillingen) op. De trilling wordt daardoor minder heftig. Een transversale golf is een golf waarbij de top van de golf loodrecht staat op de beweging. Je kunt de golf duidelijk waarnemen omdat de eruit ziet als een soort van sinus. In een longitudinale trilling beweegt de top zich in dezelfde richting. Het is slecht waarneembaar waar nu de top en het dal van de trilling zitten.Je weet de snelheid en de frequentie en kunt dus de golflengte berekenen:Gegeven: $v = 1.2$ m/s; $f = 3.0$ HzGevraagd: $\lambda$Formule: $v = \lambda \cdot f \rightarrow \lambda = \frac{v}{f}$Berekening: $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{1.2}{3} = 0.40$Conclusie: $\lambda = 0.40$ mDe trilling is ingeklemd tussen twee vast punten. Dus daar moeten de knopen zitten. Daar tussenin zitten drie buiken en twee knopen. Als er één buik is heb je de grondtoon, met twee buiken spreek je over de eerste boventoon en dus met drie buiken spreek je over de tweede boventoon.Bij de tweede boventoon weet je dat de lengte gelijk is aan anderhalve golflengte. Twee buiken samen vormen altijd 1 golflengte dus drie buiken is 3/2 golflengte.Gegeven: $\lambda = 0.40$ mGevraagd: $l$Formule: $l = \frac{3}{2} \lambda$Berekening: $l = \frac{3}{2} \lambda = 1.5 \cdot 0.40 = 0.60$ m De evenwichtsstand bevindt zich op 1,50 meter hoogte. Dit is de zogenaamde schothoogte van dit paard. De top van de trilling bevindt zich op 1,90 meter en dus is de amplitude 1,90-1,50=0,40 meter. Een andere methode is om het verschil tussen de top en het dal te bepalen en dan te delen door 2 (immers een trilling beweegt van boven naar beneden en weer terug). Het verschil tussen top en dal is 80 cm, dus dan moet de amplitude wel 40 cm zijn.De trillingstijd is de tijd die nodig is om één gehele trilling af te leggen. In deze grafiek kun je dan het beste kijken naar de afstand tussen de toppen (of dalen). De eerste top start op t=0,3 s. De tweede top vindt plaats op t=1,5 s. Dus dan weet je dat de trillingstijd T=1,2 s.Gegeven: $T = 1,2 \ s$Gevraagd: frequentie ($f$)Formule: $f = \frac{1}{T}$Berekening: $f = \frac{1}{T}=\frac{1}{1,2} = 0,83$Conclusie: $f=0,83 \ Hz$ In het diagram zie je dat één gehele trilling vier hokjes duurt. In de tekst wordt de waarde van één zo’n hokje (div) genoemd, 25 µs (dit is $25\cdot 10^{-6} \ s$). Gegeven: Dus één volledige trilling duurt $4\times 25 =100 \ \mu s = 0,1 \ ms = 1,0\cdot 10^{-4} \ s$. Dus je weet dat $T=1,0\cdot 10^{-4} \ s$.Gevraagd: $f$Formule: $f = \frac{1}{T}$Berekening: $f = \frac{1}{T}=\frac{1}{1,0\cdot 10^{-4}}=1,0\cdot 10^4$Conclusie: $f = 1,0\cdot 10^4 \ Hz$  De formule voor de trillingstijd van een massa-veersysteem luidt: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{C}}$. Om de formule om te schrijven naar $C =$ …. neem je de volgende stappen:Stap 1. Alles kwadrateren: $T^2 = 2^2 \pi ^2 \frac{m}{C} = \frac{4 \pi ^2 m}{C}$Stap 2. De $C$ naar de andere kant brengen (balansmethode): $CT^2 = \frac{C 4 \pi ^2 m}{C} = 4 \pi ^2$ (je vermenigvuldigt beide kanten met $C$ waarna je dan de $C$ kunt wegstrepen aan de rechterkant$.Stap 3. De $T^2$ naar de andere kant brengen (balansmethode): $\frac{CT^2}{T^2} = \frac{4 \pi ^2 m}{T^2} \rightarrow C = \frac{4 \pi ^2 m}{T ^2}$ (je deelt beide kanten door $T^2$ waarna je aan de linkerkant de $T^2$ kunt wegstrepen.)Stap 4. Antwoord: $C = \frac{4 \pi ^2 m}{T^2}$Gebruik de formule $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{C}}$ om het antwoord te vinden.Gegeven: $C = 3.3 \cdot 10^2$ N/m, m = $3.50$ kgGevraagd: Trillingstijd $T$Formule: $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{C}}$Berekening: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{3.5}{3.3 \cdot 10^2}} = 0.6471$Conclusie: $T = 0.65$ s Je kiest één punt in de grafiek, gelukkig is ook een tabel gegeven en kun je daar een waarde van overnemen. Verder gebruik je de formule die je in vraag 5a moest opstellen: $C = \frac{4 \pi ^2 m}{T^2}$. Kies bijvoorbeeld een massa van $3.0$ kg.Gegeven: $m = 3.0$ kg; $T = 0.77$ sGevraagd: Veerconstante $C$Formule: $C = \frac{4 \pi ^2 m}{T^2}$Berekening: $C= \frac{4 \pi ^2 \cdot 3.0}{0.77^2} = 199.756$Conclusie: $C = 2.0 \cdot 10^2$ N/m (denk aan significantie, omdat de masse een significantie heeft van 2 heeft je antwoord dat ook!) De drie pijpen staan in verhouding met elkaar als 4:2:1. Dit wil zeggen dat pijp C vier keer langer is dan pijp A. Besef dan ook dat als je in pijp A een grondtoon waarneemt, dezelfde toon in pijp C kunt waarnemen als derde boventoon. Want die hebben alle twee dezelfde golflengte. In pijp A past deze maar één keer (grondtoon), in pijp B past deze twee keer (eerste boventoon) en dus in pijp C vier keer (derde boventoon). Als in pijp B een grondtoon wordt gemaakt, zal deze als eerste boventoon in pijp C te horen zijn en niet in pijp A te horen zijn. Dat wetende weet je dat de golflengte in pijp B twee keer de lengte van de pijp moet zijn. Immers de grondtoon is een $\frac{1}{2} \lambda$. Nu je de golflengte weet en de snelheid van het geluid kun je de frequentie uitrekenen.Gegeven: $\lambda = 1.40$ m; $v = 343$ m/s$Gevraagd: $f$Formule: $v = \lambda \cdot f \rightarrow f = \frac{v}{\lambda}$Berekening: $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{343}{1.40} = 245$ HzConclusie: $f = 245 Hz$De uitleg staat al hierboven maar met een berekening kun je ook bewijzen waarom pijp A stil blijft. De grondtoon voor pijp A bedraagt:Gegeven: $\frac{1}{2} \lambda = 0.35 m \rightarrow \lambda = 0.70$; $v = 343$ m/sGevraagd: $f$Formule: $v = \lambda \cdot f \rightarrow f = \frac{v}{\lambda}$Berekening: $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{343}{0.70} = 490$ HzConclusie: $f = 490$ Hz, deze toon is hoger dan de toon die uit pijp B te horen was en omdat de grondtoon al $490$ Hz kan deze niet lager worden als toon in pijp A.Toepassing van formule: $f = \frac{1}{T}$Gegeven: $f = 245$ HzGevraagd: $T$Formule: $f = \frac{1}{T} \rightarrow T = \frac{1}{f}$Berekening: $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{245} = 0.00408$Conclusie: $T = 4.08 \cdot 10^{-3}$ sAls de lucht warmer (40oC = 313 K) wordt zal de snelheid van het geluid toenemen (Binas, tabel 15A). Je weet de lengte van de pijp.Gegeven: $l = 0.35$ m; $\lambda = 0.5 \cdot l$ (grondtoon); $v = 365$ m/sGevraagd: $f_{grondtoon}$Formule: $v = \lambda \cdot f \rightarrow f = \frac{v}{\lambda} = \frac{v}{0.5 \cdot l}$Berekening: $f = \frac{v}{0.5 \cdot l} = \frac{365}{0.175} = 2085.714$Conclusie: $f = 2.1 \cdot 10^3$ Hz