Getal en Ruimte 13e ed/FLEX deel 2
- Hoofdstuk 7 - Meten
oefentoetsen & antwoorden
13e editie
Klas 1|Havo/vwo
Onderwerpen: Eenheden van lengte, oppervlakte en inhoud, oppervlakte en omtrek van samengestelde vlakke figuren en de cirkel, en Aanzichten.
Toets Wiskunde
Getal en Ruimte 13e ed/FLEX deel 2
Online maken
Toets afdrukken
Hieronder zie je de schema’s die horen bij vraag a), b) en c).Tip: Als je omrekenen lastig vindt, leer dan de schema’s uit je hoofd.Er is ook een ezelsbruggetje: Kan Het DAmetje Met De Cm Meten, daarmee kun je de volgorde van de eenheden makkelijk onthouden.d) Inhoud balk = lengte x breedte x hoogtee) Lengte, oppervlakte en inhoud zijn grootheden a) 15 cm = 0,15 m b) 9,2 km = 92 000 dmc) 58 hm + 0,28 km + 420 000 cm = 5800 + 280 + 4200 = 10 280 md) 2,14 ha = 21 400 m²e) 23 000 cm² = 2,3 m²f) 11 ha + 1100 are + 97000 dm² = 1 100 + 1 100 + 9,7 = 2 209,7 dam²g) 3 km³ = 3 000 000 dam³h) 9 m³ = 9 000 Li) 4 dm³ = 400 cLj) 152 cm³ = 1,52 dLk) 1,1 m³ + 20 000 cm³ +700 000 ml = 11 000 + 200 + 7 000 = 18 200 dL a) Schaal 1 op 30 (zo spreek je dat uit) betekent dat alles in het echt 30 keer zo groot is. Het model is 13 cm lang, dus de echte auto is 13 x 30 = 390 cm lang.390 cm = 39 dmb) Oppervlakte = lengte x breedte = 16 x 10 = 160 cm²c) De lengte in het echt is 16 x 30 = 480 cm = 4,8 mDe breedte in het echt is 10 x 30 = 300 cm = 3 mDe oppervlakte van het echte parkeervak is: Oppervlakte = lengte x breedte = 3 x 4,8 = 14,4 m²Let op!Heb je de oppervlakte in het echt uitgerekend zoals hierna:Oppervlakte = 30 x 160 = 4800 cm² = 0,48 m² dan krijg je een fout antwoord. Want 0,48 m² Is minder dan de helft van 1 m² en daar past de auto natuurlijk nooit op. Wat gaat er hier fout?De berekening moet zijn: 30 x 30 x 160 = 144 000 cm² = 14,4 m²Je moet dus twee keer met 30 vermenigvuldigen, want de lengte wordt 30 keer zo groot, maar de breedte ook. (In leerjaar 2 komt dit nog uitgebreid aan de orde. Voor nu mag je het even vergeten.) a) Op de kaart is de afstand tussen Amsterdam en Berlijn 11 cm. In het echt is het 550 km. De eenheden zijn niet gelijk.Om de schaal te kunnen berekenen moet je de afstanden die je weet in dezelfde eenheid schrijven, in dit geval in cm, dat is het makkelijkst: 550 km = 550 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 55 000 000 cmNu kun je berekenen hoe vaak 11 cm in 55 000 000 cm past en dan heb je de schaal: 55 000 000 : 11 = 5 000 000Alles op de kaart is in het echt dus 5 miljoen keer zo groot.De schaal is dus 1 : 5 000 000b) Alles op de kaart is dus 5 000 000 keer zo klein als in het echt.340 km = 340 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 34 000 000 cmOp de kaart is dat dan 34 000 000 : 5 000 000 = 6,8 cmDat is afgerond 7 cm.c) Ze moet 1,2 x 550 km rijden. Dat is 1,2 x 550 = 660 kmDe gemiddelde snelheid is 110 km per uur.Ze doet er dus 660 : 110 = 6 uur over.Maar ze komt aan na 6 uur en 37 minuten, dus heeft ze 37 minuten stilgestaan. Bij de figuur staan niet alle maten. Die gaan we er eerst bij zetten, en dan krijgen we de figuur hieronder:Er is geen formule waarmee we de oppervlakte in één keer kunnen uitrekenen. Om de oppervlakte te bepalen kunnen we de figuur opdelen in meerdere rechthoeken.Van elke rechthoek kunnen we de oppervlakte wel uitrekenen, want we weten: oppervlakte rechthoek = lengte x breedteEr zijn veel manieren om de figuur in rechthoeken op te delen.Hieronder zie je er twee, alleen voor Figuur 1 rekenen we het uit, met de tweede mag je nog een keertje zelf oefenen, er moet natuurlijk hetzelfde uit komen. Figuur 1 Figuur 2Voor Figuur 1 geldt:Oppervlakte a = lengte x breedte = 2 x 9 = 18Oppervlakte b = 2 x 3 = 6Oppervlakte c = 1 x 7 = 7Oppervlakte d = 1 x 2 = 2Oppervlakte e = 2 x 3 = 6Totale oppervlakte = 18 + 6 + 7 + 2 + 6 = 39 cm²De omtrek krijg je als je alle stukjes lengte van de buitenrand bij elkaar optelt.9 + 2 + 7 + 3 + 5 + 3 + 3 + 2 + 3 + 2 + 1 + 8 = 48 cm. De omtrek is 48 cm.
Je ziet 2 grijze driehoeken, en links nog 2 andere grijze figuren.Hier is inzicht nodig. Kijk maar eens wat er gebeurt als je er precies een vierkant omheen trekt. Dan zie je opeens dat er 4 driehoeken ontstaan.Je kunt de oppervlakte van het grijze deel dan uitrekenen door de oppervlakte van het grote rode vierkant te berekenen en daar de oppervlaktes van de driehoeken 1, 2, en twee keer 3 van af te doen.De oppervlakte van een driehoek krijg je door de driehoek precies doormidden te delen. Als je dat doet kun je er weer een rechthoek van maken en daar kun je eenvoudig met l x b de oppervlakte van berekenen.Opp. Grote vierkant = lengte x breedte = 12 x 12 = 144 cm²Opp. Driehoek 1 = 2 x 4 = 8 cm²Opp. Driehoek 2 = 2 x 6 = 12 cm²Opp. Driehoek 3 = 6 x 6 = 36 cm²De oppervlakte van de grijze figuur is dus: 144 – 8 – 12 – 36 – 36 = 52 cm². Voor het berekenen van de omtrek van de cirkel gebruiken we de formule: Omtrek = π $\cdot$ diameterDaarvoor hebben we dus de diameter van de cirkel nodig.De diameter van de cirkel is $2\cdot$ straal, dus: De diameter = 2 $\cdot$ 6 = 12 mDe omtrek van het grote grasveld = π $\cdot$ 12 = 37,699… mVoor de omtrek van de 6 kleine halve cirkels geldt, dat dat evenveel is als de omtrek van 3 hele cirkels. De diameter van zo’n kleine cirkel is 12 : 6 = 2 mDe omtrek van 3 kleine hele cirkels = 3 $\cdot$ π $\cdot$ 2 = 18,849… mDe helft van de omtrek van de grote cirkel = 37,699 : 2 = 18,849… m.Zo zie je, dat de totale omtrek in de nieuwe situatie precies hetzelfde is als in de oude situatie. Meneer Hermans heeft dus precies genoeg paaltjes. Voor het berekenen van de oppervlakte van een cirkel gebruiken we de formule: Oppervlakte = π $\cdot$ straal²De oppervlakte van het grote grasveld is: π $\cdot$ 6² = 113,097 m²En de oppervlakte van de helft van het grote grasveld: 113,097 : 2 = 56,548… m²Een kleine cirkel heeft een diameter van 2 meter, en de straal is dus 1 meter.De oppervlakte van 6 kleine halve cirkels is gelijk aan de oppervlakte van 3 kleine hele cirkels3 $\cdot$ π $\cdot$ 1² = 9,424… m²De oppervlakte in de nieuwe situatie is dus: 56,548 + 9,424 = 65,972 m².Dat is 113,097 – 65,972 = 47,125. Dat is dus 47,1 m² minder.Tip: je ziet dat we steeds rekenen met 3 cijfers achter de komma. Pas helemaal aan het eind mag je dan afronden zoals wordt gevraagd, dus op 1 cijfer achter de komma. In de tussenberekeningen mag je nog niet afronden! Om de oppervlakte te kunnen uitrekenen verdelen we de figuur in een halve cirkel, een rechthoek, en een driehoek (die ook een halve rechthoek is). De diameter van de cirkel = 5 cmDe straal van de cirkel = 5 : 2 = 2,5 cmOpp 1 = 0,5 ⋅\cdot⋅ π ⋅\cdot⋅ 2,5² =9,817…opp 2 = 6opp 3 = 0,5 ⋅\cdot⋅ 2 ⋅\cdot⋅ 4 = 4De totale oppervlakte is dus: 9,8 + 6 + 4 = 19,8 cm².Tip: Leer jezelf aan om de hele berekening in één keer op te schrijven: 0,5 ⋅\cdot⋅ π ⋅\cdot⋅ 2,5² + 6 + 0,5 ⋅\cdot⋅ 2 ⋅\cdot⋅ 4 = 19,817… De totale oppervlakte is dus 19,8 cm². Zo maak je geen afrondingsfouten. De omtrek van de halve cirkel is: 0,5 ⋅\cdot⋅ π ⋅\cdot⋅ 5 = 7,853…De lengte van de schuine zijde is dus: 19,33 – 2 – 1 – 7,853 – 1 – 3 = 4,477De lengte van de schuine zijde is 4,5 cm. Het zwembad heeft de vorm van een balk: Inhoud Balk = lengte x breedte x hoogte.Om de inhoud te kunnen berekenen moeten alle maten dezelfde eenheid hebben.We moeten hier rekenen met liters, en dan is het het handigst om de maten te nemen in decimeters, want een liter is 1 dm³. (Maar alles in cm of m mag ook, maar dan moet je wel omrekenen.)Dus:Lengte = 12 m = 120 dmBreedte = 600 cm = 60 dmHoogte = 16 dmInhoud zwembad = lengte x breedte x hoogte = 120 x 60 x 16 = 115 200 dm³ = 115 200 liter. ( Want 1 dm³ = 1 liter.)Maar het zwembad wordt maar 2/3 gevuld.Dus er gaat 2/3 x 115 200 = 76 800 liter in. (Dat kun je op je rekenmachine doen met de breukentoets, of je doet eerst x 2 en daarna :3)76 800 : 25,6 = 3000 min = 50 uurHet vullen duurt 50 uurEr valt 11 mm regen op elke m². We rekenen weer met liters, en dus gebruiken we de maten weer in dm.Er valt 11 mm op 1 vierkante meter: 11 mm = 11 : 10 : 10 = 0,11 dm.1 m = 1 x 10 = 10 dmDe hoeveelheid regen past dus in een balk van 0,11 x 10 x 10 = 11 L. (We gebruiken weer: lengte x breedte x hoogte.)De oppervlakte van de bodem van het zwembad is: lengte x breedte = 12 x 6 = 72 m²Op elke vierkante meter valt 11 liter regen, er komt dus: 72 x 11 = 792 liter water bij in het zwembad.Na de regenbui zit er dus 76 800 + 792 = 77 592 L in het zwembad.
De oppervlakte die moet worden schoongemaakt is:Opp. lange zijwanden: 2 x lengte x hoogte = 2 x 12 x 1,6 = 38,4 m²Opp. korte zijwanden2 x breedte x hoogte = 2 x 6 x 1,6 = 19,2 m²Oppervlakte bodem = lengte x breedte = 12 x 6 = 72 m²Dus er moet 38, 4 + 19,2 + 72 = 129,6 m² worden schoongemaakt. De bloembak heeft de vorm van een balk.Inhoud Balk = lengte x breedte x hoogteOm de inhoud te kunnen berekenen moeten alle maten dezelfde eenheid hebben. We gebruiken weer decimeters en liters.lengte is 6 dmbreedte is 400 mm = 4 dmhoogte is 46 cm = 4,6 dmDe inhoud van een bloembak = lengte x breedte x hoogte = 6 x 4 x 4,6 = 110,4 dm³ = 110,4 literMaar je hebt 3 bloembakken om te vullen, dus heb je nodig: 3 x 110,4 = 331,2 liter25 liter per zak, dus 331,2 : 25 = 13,248 zakken nodig.Maar je kunt alleen hele zakken kopen, dus heb je er 14 nodig.De nieuwe hoogte in de bloembakken wordt: 46 – 10 = 36 cm = 3,6 dmDe nieuwe inhoud wordt: 6 x 4 x 3,6 = 86,4 liter3 x 86,4 = 259,2 liter259,2 : 25 = 10,368 literDus dan heb je 11 zakken nodig.Je hebt dus 14 – 11 = 3 zakken te veel gekocht. Hier zie je blokjes die moeten blijven staan. Haal je er daar eentje van weg, dan veranderen de aanzichten. Tel maar na: je kunt er 16 weghalen. (Op de lege vakjes staan dan geen blokjes meer.) Eerst rekenen we de maten om:3,0 m = 300 cm 300 : 200 = 1,5 in de tekening7,6 m = 760 cm 760 : 200 = 3,8 cm in de tekeningZo ook:960 : 200 = 4,8 cm340 : 200 = 1,7 cm1600 : 200 = 8,0 cm
Nu kunnen we de aanzichten tekenen:
Deze toets bestellen?
Voordeligst
Lidmaatschap ToetsMij
€ 12,99/mnd
Snel nog even wat toetsen oefenen? Kies dan onze meest flexibele optie.