Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 6 - Periodieke functies oefentoetsen & antwoorden

 Bij het meten van hoeken in radialen, kijken we naar de booglengte. Dat is de lengte van de cirkelboog tussen de benen van de hoek.Een hoek van 1 radiaal is een hoek waarbij de booglengte gelijk is aan de straal van de cirkel.Een hoek van $360 \degree$ komt overeen met een volle hoek. De straal van de cirkel past $2 \pi$ keer op de cirkel, dus $360 \degree$ komt overeen met $2 \pi$ radialen. De evenwichtsstand is $0$ zit midden tussen het hoogste punt ($1$) en het laagste punt ($-1$).De amplitude is $1$. Dit is hoe hoog het maximum ($1$) boven de evenwichtsstand ($0$) zit.De periode is $2 \pi$. Dit is hoe lang het stuk van de grafiek is dat zichzelf steeds herhaalt.De grafiek gaat stijgend door de evenwichtstand in $(0,0)$.De sinus is de $y$-coördinaat op de eenheidscirkel.Zodra de hoek $2 \pi$ is, is de cirkel één keer helemaal rond en zitten we weer op hetzelfde punt als bij een hoek van $0$ radialen.De grafiek vanaf $2 \pi$ radialen ziet er dus weer exact hetzelfde uit als vanaf $0$ radialen.De $x$-coördinaat kan elk veelvoud van $2 \pi$ zijn, dus een mogelijk antwoord is $(2 \pi, 0)$. De grafiek van y=coscos⁡(x)y = cos \cos(x)y=cos(x) heeft een maximum bij x=0x = 0x=0.De evenwichtsstand is 000 en de amplitude is 111, dus y=0+1=1y = 0 + 1 = 1y=0+1=1.De evenwichtsstand is 000. De amplitude is 111.De periode is 2π2 \pi2π. Bij optellen en aftrekken is er sprake van verschuivingen. De grafiek verschuift $c$ naar rechts en $d$ naar boven.Bij vermenigvuldigen is er sprake van uitrekken. De grafiek wordt in verticale richting (vanuit de $x$-as) met factor $a$ en op horizontale richting (vanuit de$y$-as) met factor $\frac{1}{b}$ vermenigvuldigd.De waarden van de kenmerken zijn:De evenwichtsstand is $d$.De amplitude is $a$.De periode is $\frac{2 \pi}{b}$.De $x$-coördinaat van het maximum is $c$. Radialen reken je om naar graden door te bepalen welk deel van een hele cirkel je hebt.$2 \pi$ radialen komt overeen met een hele cirkel.Van die $2 \pi$ is $\frac{3}{4} \pi$ doorlopen, dat is $\frac{\frac{3}{4} \pi}{2 \pi} = \frac{3}{8}$ deel.Een hele cirkel komt overeen met $360 \degree$.$\frac{3}{4} \pi$ radialen komt dus overeen met $\frac{3}{8} \cdot 360 \degree = 135 \degree$. Uit de tabel met exacte waarden weet je dat sin⁡sin(16π)=12\sin sin(\frac{1}{6} \pi) = \frac{1}{2}sin(61​π)=21​.  116π1 \frac{1}{6} \pi161​π ligt precies een halve cirkel verder dan 16π\frac{1}{6} \pi61​π, waardoor de yyy-coördinaten bij 16π\frac{1}{6} \pi61​π en 116π1 \frac{1}{6} \pi161​π tegengesteld zijn aan elkaar.sin⁡sin(116π)=−12\sin sin(1 \frac{1}{6} \pi) = - \frac{1}{2}sin(161​π)=−21​. Uit de tabel met exacte waarden weet je dat cos⁡cos(16π)=123\cos cos(\frac{1}{6} \pi) = \frac{1}{2} \sqrt{3}cos(61​π)=21​3​. 116π1 \frac{1}{6} \pi161​π ligt precies een halve cirkel verder dan 16π\frac{1}{6} \pi61​π, waardoor de xxx-coördinaten bij 16π\frac{1}{6} \pi61​π en 116π1 \frac{1}{6} \pi161​π tegengesteld zijn aan elkaar.cos⁡cos(116π)=−123\cos cos(1 \frac{1}{6} \pi) = - \frac{1}{2} \sqrt{3}cos(161​π)=−21​3​. a) Transformaties vanuit basisfunctie sin⁡sin(x)\sin sin(x)sin(x): werk van binnen naar buiten.De grafiek van f(x)=sin⁡sin(x)f(x) = \sin sin(x)f(x)=sin(x) wordt eerst 13π\frac{1}{3} \pi31​π naar links verschoven.Daarna wordt de periode vermenigvuldigd met 12\frac{1}{2}21​, de periode wordt dus korter. Tenslotte zorgt de min voor het geheel voor een spiegeling in de x-as. De grafiek wordt dus omgeklapt.b) Evenwichtsstand, amplitude, periode en de xxx-coördinaat van het eerste maximum met positieve xxx-coördinaat:De evenwichtsstand blijft y=0y = 0y=0 omdat er geen constant getal bij wordt opgeteld.De amplitude is 111 omdat voor de sinus eigenlijk −1-1−1 staat (en een amplitude is een afstand en is dus altijd positief).De periode is 2π2=π\frac{2 \pi}{2} = \pi22π​=π.De grafiek gaat dalend (door de min voor de sinus) door de evenwichtsstand bij x=−13πx = - \frac{1}{3} \pix=−31​π.Het eerst volgende maximum komt na 34\frac{3}{4}43​ van een periode. Het eerste maximum met positieve x-coördinaat treedt op bij x−13π+34π=512πx - \frac{1}{3} \pi + \frac{3}{4} \pi = \frac{5}{12} \pix−31​π+43​π=125​π. a) Oplossingen van vergelijking sin⁡sin(x)=12\sin sin (x) = \frac{1}{2}sin(x)=21​Gegeven is dan x=16πx = \frac{1}{6} \pix=61​π en x=56πx = \frac{5}{6} \pix=65​π oplossingen zijn van de vergelijking sin⁡sin(x)=12\sin sin(x) = \frac{1}{2}sin(x)=21​.sin⁡sin(x)\sin sin(x)sin(x) heeft een periode van 2π2 \pi2π waarop de grafiek zichzelf herhaalt.De oplossingen zijn dus x=16π+k⋅2π ∨ x=56π+k⋅2πx = \frac{1}{6} \pi + k \cdot 2 \pi \, \vee \, x = \frac{5}{6} \pi + k \cdot 2 \pix=61​π+k⋅2π∨x=65​π+k⋅2πb) Oplossingen van vergelijking cos⁡cos(x)=0\cos cos(x) = 0cos(x)=0In de uitdrukking x=12π+k⋅πx = \frac{1}{2} \pi + k \cdot \pix=21​π+k⋅π mag je volgens afspraak elk geheel getal invullen.Vul je 000 in dan krijg je x=12πx = \frac{1}{2} \pix=21​π.Vul je positieve getallen in, dan krijg je x=112πx = 1 \frac{1}{2} \pix=121​π, x=212πx = 2 \frac{1}{2} \pix=221​π, x=312πx = 3 \frac{1}{2} \pix=321​π, …Vul je negatieve getallen in, dan krijg je x=−12πx = - \frac{1}{2} \pix=−21​π, x=−112πx = -1 \frac{1}{2} \pix=−121​π, x=−212πx = -2 \frac{1}{2} \pix=−221​π, …Andere antwoorden krijg je door steeds π\piπ bij de andere antwoorden op te tellen of het er vanaf te trekken.c) Oplossingen van vergelijking sin⁡sin(x)=−123\sin sin(x) = - \frac{1}{2} \sqrt{3}sin(x)=−21​3​ op [0,2π][0, 2 \pi][0,2π]Omdat sin⁡sin(x)\sin sin(x)sin(x) een negatieve uitkomst moet hebben, zoek je antwoorden op [π,2π][ \pi, 2 \pi][π,2π]. Kijk hiervoor bij de grafiek van de functie sin⁡sin(x)\sin sin(x)sin(x).Uit de tabel volgt sin⁡sin(x)=123\sin sin(x) = \frac{1}{2} \sqrt{3}sin(x)=21​3​ bij x=13πx = \frac{1}{3} \pix=31​π. Vanwege symmetrie geldt dus sin⁡sin(13π)=sin⁡sin(23π)=123\sin sin(\frac{1}{3} \pi) = \sin sin(\frac{2}{3} \pi) = \frac{1}{2} \sqrt{3}sin(31​π)=sin(32​π)=21​3​ (zie tabel en grafiek) grafiek).Voor de negatieve waarden moeten we een halve periode, dus π\piπ, opschuiven.sin⁡sin(113π)=sin⁡sin(113π)=−123\sin sin(1 \frac{1}{3} \pi) = \sin sin(1 \frac{1}{3} \pi) = - \frac{1}{2} \sqrt{3}sin(131​π)=sin(131​π)=−21​3​  (zie grafiek)Conclusie: Oplossingen sin⁡sin(x)=−123\sin sin(x) = - \frac{1}{2} \sqrt{3}sin(x)=−21​3​ op [0,2π][0, 2 \pi][0,2π] zijn x=113π ∨ x=123πx = 1 \frac{1}{3} \pi \, \vee \, x = 1 \frac{2}{3} \pix=131​π∨x=132​π.d) Oplossingen van vergelijking cos⁡cos(x)=0.3\cos cos(x) = 0.3cos(x)=0.3 op [0,2π][0, 2 \pi][0,2π]:Omdat cos(x)cos(x)cos(x) een positieve uitkomst moet hebben, zoek je in eerste instantie antwoorden op [−12π,12π][- \frac{1}{2} \pi, \frac{1}{2} \pi][−21​π,21​π]. Hier hoort volgens de grafiek een positieve yyy-coördinaat bij.De oplossing kun je niet exact bepalen. De rekenmachine geeft cos(x)=0,3 geeft x ≈1.266.De oplossingen zijn x≈0.305+k⋅2π ∨ x≈−0.305+k⋅2πx \approx 0.305 + k \cdot 2 \pi \, \vee \, x \approx - 0.305 + k \cdot 2 \pix≈1.266+k⋅2π∨x≈−1.255+k⋅2πOp het interval [0,2π][0, 2 \pi][0,2π] zijn de oplossingen x≈0.305 ∨ x≈−0.305+2πx \approx 0.305 \, \vee \, x \approx -0.305 + 2 \pix≈1.266∨x≈−1.266+2πx≈0.305 ∨ x≈5.978x \approx 0.305 \, \vee \, x \approx 5.978x≈1.266∨x≈5.017e) Oplossingen van vergelijking 5−4sin⁡(2x)=15 - 4 \sin (2x) = 15−4sin(2x)=1 op [0,2π][0, 2 \pi][0,2π]:Eerst terugbrengen naar de vorm sin⁡sin(a)=p\sin sin(a) = psin(a)=p.5−2sin⁡sin(2x)=15 -2 \sin sin(2x) = 15−2sin(2x)=1 −4sin⁡sin(2x)=−4- 4 \sin sin(2x) = -4−4sin(2x)=−4 sin(2x)=1sin (2x) = 1sin(2x)=1 Omdat sin⁡sin(12π)=1\sin sin (\frac{1}{2} \pi) = 1sin(21​π)=1, geldt2x=12π+k⋅2π2x = \frac{1}{2} \pi + k \cdot 2 \pi2x=21​π+k⋅2πx=14π+k⋅πx = \frac{1}{4} \pi + k \cdot \pix=41​π+k⋅π (beide kanten zijn gedeeld door 2).De oplossingen op het interval [0,2π][0, 2 \pi][0,2π] zijn x=14π ∨ x=114πx = \frac{1}{4} \pi \, \vee \, x = 1 \frac{1}{4} \pix=41​π∨x=141​π. a) Deel van de cirkel dat is doorlopen:666 minuten is 110\frac{1}{10}101​ van een uur.In 110\frac{1}{10}101​ van een uur wordt 110⋅5=12\frac{1}{10} \cdot 5 = \frac{1}{2}101​⋅5=21​ km afgelegd.De omtrek van deze cirkel is π⋅diameter=π⋅1 km=π km\pi \cdot diameter = \pi \cdot 1 \, km = \pi \, kmπ⋅diameter=π⋅1km=πkmHet deel dat is afgelegd is dus 12 kmπ km=12π\frac{\frac{1}{2} \, km}{\pi \, km} = \frac{1}{2 \pi}πkm21​km​=2π1​b) afstand van punt BBB naar de verbindingslijn tussen AAA en CCC: Een volle hoek (= hele cirkel) bevat 2π2 \pi2π radialen, dus van AAA naar BBB is het 12π⋅2π=1 radiaal\frac{1}{2 \pi} \cdot 2 \pi = 1 \, radiaal2π1​⋅2π=1radiaal.De afgelegde afstand over de cirkel is gelijk aan de straal van de cirkel, dus de hoek is 111 radiaal.De afstand BDBDBD is te berekenen met de sinus.Formule invullen geeft:sin⁡sin(α)=BDMB\sin sin (\alpha) = \frac{BD}{MB}sin(α)=MBBD​sin⁡sin(1)=BD0.5\sin sin(1) = \frac{BD}{0.5}sin(1)=0.5BD​BD=0.5⋅sin⁡sin(1)=0.4207…≈0.421 kmBD = 0.5 \cdot \sin sin(1) = 0.4207… \approx 0.421 \, kmBD=0.5⋅sin(1)=0.4207…≈0.421km a) Opstellen functievoorschrift van g(x)g(x)g(x):Bij een verschuiving van 12π\frac{1}{2} \pi21​π naar links moet xxx vervangen worden door (x+12π)(x + \frac{1}{2} \pi)(x+21​π). De plus wordt gebruikt bij verschuiven naar links.g(x)=sin⁡sin(3(x+12π)−12π)g(x) = \sin sin(3 (x + \frac{1}{2} \pi) - \frac{1}{2} \pi)g(x)=sin(3(x+21​π)−21​π).Haakjes wegwerken geeft g(x)=sin⁡sin(3x+112π−12π)g(x) = \sin sin(3x + 1 \frac{1}{2} \pi - \frac{1}{2} \pi)g(x)=sin(3x+121​π−21​π). Dit is te herleiden tot g(x)=sin⁡sin(3x+π)g(x) = \sin sin(3x + \pi)g(x)=sin(3x+π).b) Opstellen functievoorschrift van h(x)h(x)h(x):Bij een verschuiving van 222 omhoog moet bij de gehele functie 222 opgeteld worden.Dit levert: h1(x)=sin⁡sin(3x−12π)+2h_1 (x) = \sin sin(3x - \frac{1}{2} \pi) + 2h1​(x)=sin(3x−21​π)+2Bij een vermenigvuldiging vanuit de xxx-as met −4-4−4 moet de gehele functie (inclusief de +2+2+2 van de verschuiving die hieraan vooraf ging) met −4-4−4 vermenigvuldigd worden.Dit levert: h2(x)=−4⋅(sin⁡sin(3x−12π)+2)h_2 (x) = -4 \cdot (\sin sin(3x - \frac{1}{2} \pi) + 2)h2​(x)=−4⋅(sin(3x−21​π)+2)h2(x)=−4⋅sin⁡sin(3x−12π)−4⋅2h_2 (x) = -4 \cdot \sin sin(3x - \frac{1}{2} \pi) - 4 \cdot 2h2​(x)=−4⋅sin(3x−21​π)−4⋅2h(x)=−4⋅sin⁡sin(3x−12π)−8h(x) = -4 \cdot \sin sin(3x - \frac{1}{2} \pi) - 8h(x)=−4⋅sin(3x−21​π)−8 a) De sinusfunctie is van de vorm f(x)=d+a⋅sin⁡sin(b(x−c))f(x) = d + a \cdot \sin sin(b(x-c))f(x)=d+a⋅sin(b(x−c))De evenwichtsstand ddd is het gemiddelde van met minimum en het maximum.Het minimum is 222 en het maximum is 888, dus d=8+22=5d = \frac{8+2}{2} = 5d=28+2​=5.De amplitude aaa is het verschil van het maximum en de evenwichtsstand, dus a=8−5=3a = 8 - 5 = 3a=8−5=3.De horizontale afstand tussen een maximum en het daaropvolgende minimum is een halve periode.De periode is dus 2⋅(34π−14π)=π2 \cdot (\frac{3}{4} \pi - \frac{1}{4} \pi) = \pi2⋅(43​π−41​π)=π.periode=2πbperiode = \frac{2 \pi}{b}periode=b2π​ en dus ook b=2πperiodeb = \frac{2 \pi}{periode}b=periode2π​. In dit geval geldt b=2ππ=2b = \frac{2 \pi}{\pi} = 2b=π2π​=2.ccc is de xxx-coördinaat van het punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat.Tussen het punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat en het maximum zit een kwart periode. Dat betekent in dit geval dat de grafiek bij x=14π−14⋅π=0x = \frac{1}{4} \pi - \frac{1}{4} \cdot \pi = 0x=41​π−41​⋅π=0 stijgend door de evenwichtsstand gaat.Conclusie: het functievoorschrift wordt f(x)=5+3⋅sin⁡sin(2x)f(x) = 5 + 3 \cdot \sin sin(2x)f(x)=5+3⋅sinsin(2x).Opmerking: Elke π\piπ naar links of rechts gaat de grafiek ook stijgend door de evenwichtsstand, dus voor ccc kan elk veelvoud van π\piπ gekozen worden.b) De cosinusfunctie is van de vorm f(x)=d+a⋅cos⁡cos(b(x−c))f(x) = d + a \cdot \cos cos(b(x-c))f(x)=d+a⋅cos(b(x−c))Evenwichtsstand, amplitude en periode veranderen niet.ccc is de xxx-coördinaat van het maximum.Het maximum zit bij x=14πx = \frac{1}{4} \pix=41​π, dus c=14πc = \frac{1}{4} \pic=41​π.Conclusie: het functievoorschrift wordt f(x)=5+3⋅cos⁡cos(2(x−14π))f(x) = 5 + 3 \cdot \cos cos(2(x - \frac{1}{4} \pi))f(x)=5+3⋅cos(2(x−41​π)) a) We analyseren eerst de functie $f(x) = 2 + 3 sin(x)$ De evenwichtsstand is $2$.De amplitude is $3$.Het maximum is $2+3=5$.Het minimum is $2-3=-1$.Het gaat om de snijpunten van $f(x)$ en de horizontale lijn $y = p$. Je ziet in het plaatje lijnen getekend bij $p = -2$, $p = -1$, $p = 1$, $p =2$, $p = 4$, $p = 5$ en $p = 6$ als voorbeeld.Als de horizontale lijn boven het maximum of onder het minimum ligt, zijn er 0 snijpunten.$p < -1 \, \vee \, p > 5$.b) Er is 1 oplossing als $y = p$ door het maximum of minimum loopt. Zie het plaatje.$p = -1 \, \vee \, p = 5$c) Er zijn 3 oplossingen als $y = p$ door de evenwichtsstand loopt. Zie het plaatje.$p = 2$d) In alle andere gevallen zijn er 2 oplossingen. Zie het plaatje.$-1< p < 2 \, \vee \, 2 < p < 5$