Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 2 - Hoofdstuk 6 - De afgeleide functie oefentoetsen & antwoorden

De richtingscoëfficiënt is 0. Daarom lossen we de vergelijking $f’(x)=0$ op. In een top gaat de grafiek namelijk over van stijgen in dalen of vice versa. Als een grafiek aan het stijgen is, hebben we een positieve helling, is een grafiek aan het dalen, hebben we een negatieve helling. In de top is de grafiek noch aan het stijgen, noch aan het dalen, dus is de helling 0.’Als we de richtingscoëfficiënten van twee onderling loodrechte lijnen vermenigvuldigen levert dat $-1$ op. Stel $l$ en $k$ staan loodrecht op elkaar dan geldt: $rc_l\cdot rc_k=-1$. We zoeken raaklijn mmm door punt BBB. Werkwijze: De richtingscoëfficiënt van lijn mmm is hetzelfde als die van lijn lll, want ze zijn evenwijdig, dus (1) bepaal eerst de richtingscoëfficiënt van lijn lll. Verder weten we dat lijn mmm raakt aan fff in punt BBB, dus de afgeleide functie heeft dezelfde richtingscoëfficiënt als lijn mmm. Stap (2) wordt dus om xBx_BxB​ te vinden en dan (3) stellen we de vergelijking van lijn mmm op.Stap 1a:  Bepaal eerst de richtingscoëfficiënt van raaklijn lll. Raaklijn mmm is evenwijdig aan raaklijn lll. Dus de richtingscoëfficiënten van raaklijn lll en mmm zijn gelijk. Met behulp van de richtingscoëfficiënt van lll kunnen we de x-coördinaat van BBB bepalen. Stap 1b: f’(x)=2x2+4xf’(x)=2x^2+4xf’(x)=2x2+4xOm de richtingscoëfficiënt te bepalen nemen we de afgeleide van fff. Stap 4: f’(1)=2(1)2+4⋅1=6f’(1)=2(1)^2+4\cdot 1=6f’(1)=2(1)2+4⋅1=6Door de x-coördinaat van het raakpunt AAA in te vullen in de afgeleide krijgen we de helling in het punt AAA. De helling in het punt AAA is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt AAA.Stap 1c: De richtingscoëfficiënt van raaklijn lll is 666. Omdat lijn lll en mmm evenwijdig zijn is de richtingscoëfficiënt van raaklijn mmm ook 666.Stap 2: Los op: f’(x)=2x2+4x=6f’(x)=2x^2+4x=6f’(x)=2x2+4x=6Door de afgeleide gelijk te stellen aan de richtingscoëfficiënt van mmm kunnen we de tweede x-coördinaat (naast xA=1x_A=1xA​=1) vinden waar de helling van de grafiek 6 is.2x2+4x−6=02x^2+4x-6=02x2+4x−6=0 x2+2x−3=0x^2+2x-3=0x2+2x−3=0 (deel door 2 zodat de vergelijking is te ontbinden in factoren)(x+3)(x−1)=0(x+3)(x-1)=0(x+3)(x−1)=0x=−3∨x=1x=-3 \vee x=1x=−3∨x=1xB=−3x_B=-3xB​=−3Omdat naast xA=1x_A=1xA​=1 het punt x=−3x=-3x=−3 het enige punt is op de grafiek van fff waar de helling gelijk is aan 6, moet dit wel het tweede raakpunt BBB zijn waarvan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk is aan 6. Stap 3: lijn mmm: y=6x+by=6x+by=6x+b door f(−3)=23(−3)3+2(−3)2+2=2f(-3)=\frac{2}{3}(-3)^3+2(-3)^2 +2=2f(−3)=32​(−3)3+2(−3)2+2=2.Om bbb te vinden moeten we een punt op lijn mmm invullen. Lijn mmm raakt de grafiek van fff in BBB en gaat daarom ook door punt BBB. Door het punt x=3x=3x=3 in te vullen in de formule van fff krijgen we ook de y-coördinaat van BBB. Dat geeft 2=6⋅−3+b2=6\cdot-3+b2=6⋅−3+b2=−18+b2=-18+b2=−18+b20=b20=b20=bDus mmm: y=6x+20y=6x+20y=6x+20. Stap 1: Voor een extreme waarde geldt $f’(x)=0$.Stap 2: Herschrijf de functie naar $f(x)=x+2x^{-\frac{1}{2}}$.Deel uit: $f(x)=\frac{3x^2+6\sqrt{x}}{3x}=\frac{3x^2}{3x}+\frac{6\sqrt{x}}{3x}$Schrijf $\sqrt{x}$ als macht van $x$: $\frac{3x^2}{3x}+\frac{6x^{\frac{1}{2}}}{3x}$Deel door 3: $\frac{x^2}{x}+\frac{2x^{\frac{1}{2}}}{x}$Gebruik dat $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}: x^{2-1}+2x^{\frac{1}{2}-1}=x+2x^{-\frac{1}{2}}$Stap 3: Neem de afgeleide: $f’(x)=1-\frac{1}{x\sqrt{x}}$.$f’(x)=1+-\frac{1}{2}\cdot2x^{-\frac{1}{2}-1}$$f’(x)=1-{x^{-1\frac{1}{2}}}$$f’(x)=1-\frac{1}{x^{1\frac{1}{2}}}$$f’(x)=1-\frac{1}{x\sqrt{x}}$.Stap 4: $f’(1)=1-\frac{1}{1\sqrt{1}}=0$, dus $f$ heeft een extreme waarde voor $x=1$. Werkwijze: Los $f’(x)=0$ om het laagste punt dat de grafiek bereikt te vinden. Stap 1: $f’(x)=\frac{2}{5}-\frac{1}{\sqrt{2x-10}}$Gebruik voor het vinden van de afgeleide van $\sqrt{2x-10}$ de kettingregel. Stel $u=2x-10$ en $f(u)=\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}$Neem van beiden de afgeleide: $u’=2$, $f’(u)=\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2u^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{u}}$Vermenigvuldig de afgeleiden met elkaar en zet $u=2x-10$ terug: $2\cdot\frac{1}{2\sqrt{2x-10}}=\frac{1}{\sqrt{2x-10}}$ Neem de afgeleide van de rest van de termen: $f’(x)=\frac{2}{5}-\frac{1}{\sqrt{2x-10}}$Stap 2: $f’(x)=0$ geeft $\frac{2}{5}-\frac{1}{\sqrt{2x-10}}=0$$\frac{1}{\sqrt{2x-10}}=\frac{2}{5}$ $2\sqrt{2x-10}=5$ (kruislings vermenigvuldigen)$\sqrt{2x-10}=\frac{5}{2}$ (beide kanten delen door -2)$2x-10=(\frac{5}{2}^2$ (kwadrateren)$2x-10=\frac{(5)^2}{2^2}$$2x-10=\frac{25}{4}$$2x=\frac{25}{4}+10$$2x=\frac{25}{4}+\frac{40}{4}$$2x=\frac{65}{4}$$x=\frac{65}{8}$Stap 3: Om de y-waarde behorende bij de top te vinden vullen we de x-waarde in in de formule:$f(\frac{65}{8})=\frac{2}{5}\cdot\frac{65}{8}+4-\sqrt{2\cdot\frac{65}{8}-10}=\frac{19}{4}$$B_f:[\frac{19}{4},\rightarrow\rangle$Plot de grafiek om het verloop van de grafiek te bekijken:In de afbeelding is te zien dat de grafiek van $f$ niet onder $\frac{19}{4}$ komt dus is het bereik elke y-waarde vanaf $y=\frac{19}{4}$ en hoger. Daarom is $B_f:[\frac{19}{4},\rightarrow\rangle$.  De omtrek die omheind moet worden met 40 meter gaas kunnen we als volgt schrijven: $omtrek=B+L+L=40$$B+2L=40$ $B=40-2L$ (B vrijmaken door links en rechts 2L af te trekken) De oppervlakte van een rechthoek berekenen we door de lengte te vermenigvuldigen met de breedte. Uit a weten we dat we de breedte kunnen schrijven als $B=40-2L$. Tip: Als a niet is gelukt, mag je toch gewoon de formule gebruiken die daar moest worden aangetoond. Zo kun je toch verder met opgave b.$O=L\cdot B=L\cdot(40-2L)=40L-2L^2$. Stap 1: We vinden de maximale oppervlakte door $O’=0$ op te lossen. Stap 2: $O’=40-4L$Stap 3: $O’=40-4L=0$$4L=40$$L=10$Stap 4: We kunnen het grootste oppervlakte omheinen als we $L=10$ nemen. De oppervlakte is dan: $O=40\cdot 10-2\cdot 10^2=200$ vierkante meter. Stap 1: Stel een formule op voor $d$:$d(x)=f(x)-g(x)=-0.01x^3+0.19x^2-1.06x+6.44-(-0.01x^3+0.15x^2-0.50x+0.44)=0.04x^2-0.56x+6$Stap 2: Neem de afgeleide van $d(x)$ en stel deze gelijk aan $0$ om het minimum te vinden. $d’(x)=0.08x-0.56$$d’(x)=0$ geeft $0.08x-0.56=0$$0.08x=0.56$$x=7$Dus de verticale afstand is het kleinst voor $x=7$.