Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 2 - Hoofdstuk 7 - Lijnen en cirkels oefentoetsen & antwoorden

$\frac{a}{p}=\frac{b}{q}\neq \frac{c}{r}$ in de formule $ax+by=c$ bepalen $a$ en $b$ de richtingscoëfficiënt van de lijn. $c$ bepaalt de ligging van de lijn. Aan $\frac{a}{p}=\frac{b}{q}$ kunnen we zien dat de richtingscoëfficiënt van lijn $l$ en $m$ gelijk zijn. Twee lijnen met eenzelfde richtingscoëfficiënt snijden elkaar niet als zij niet op dezelfde hoogte liggen. Aangezien de $\frac{c}{r}$ niet dezelfde verhouding heeft als de richtingscoëfficiënten weten we dat ze niet op dezelfde hoogte liggen en snijden de lijnen elkaar dus niet. De stelling van Pythagoras. Toelichting: Als we de afstand tussen twee punten willen berekenen tekenen we de rechthoekige driehoek met het lijnstuk tussen de twee punten als lange zijde. Vervolgens kunnen we de x-as en y-as gebruiken om de lengte van de korte- en lange rechthoekszijden te bepalen. Zie afbeelding.De lengte van $AB^2=(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2$Dus de lengte van $AB$, ook wel $d(A,B)=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$.  Werkwijze: Vul het punt $(7,2)$ in in het stelsel en los de vergelijkingen op. Stap 1: Vul het punt $(7,2)$ in.$\begin{cases} 7a-2\cdot 2=ab \\ 7b-2=19 \end{cases}$Stap 2: $7b-2=19$$7b=21$$b=3$Omdat in de eerste vergelijking twee onbekenden zijn, $a$ en $b$ kunnen we deze niet oplossen. In de tweede vergelijking ($7b-2=19$) hebben we maar één onbekende namelijk $b$. Een vergelijking met één onbekende kunnen we wel oplossen. Stap 3: vul $b=3$ in in de eerste vergelijking en los deze op voor $a$.$7a-4=3a$$4a=4$$a=1$Stap 4: Dus voor $a=1$ en $b=3$ snijden de lijnen in het punt $(7,2)$.Voor samenvallen geldt $\frac{a}{p}=\frac{b}{q}=\frac{c}{r}$.Stap 1:$\frac{a}{9}=\frac{4}{b}=\frac{b}{ab}$.$\frac{a}{9}=\frac{b}{ab}$. Geeft $\frac{a}{9}=\frac{1}{a}$. ($b$ delen door $b$ is 1, dus we kunnen $b$ het tegen elkaar wegstrepen)Zowel de vergelijking $\frac{a}{9}=\frac{4}{b} als \frac{4}{b}=\frac{b}{ab}$ heeft twee onbekenden. We moeten dus een andere oplossing zoeken. De $b$ die we in de tweede vergelijking tegen elkaar weg kunnen strepen biedt de oplossing. Stap 2:$a^2=9$ (kruislings vermenigvuldigen)$a=3 \vee a=-3$ (worteltrekken)Stap 3: Waardes invullen om $b$ te berekenen:$a=3$: $\frac{3}{9}=\frac{4}{b}$$3b=36$$b=12$$a=-3$$\frac{-3}{9}=\frac{4}{b}$$-3b=36$$b=-12$Stap 4: Dus bij $a=3$ en $b=12$ of $a=-3$ en $b=-12$ vallen de lijnen samen. Werkwijze: Om de hoek tussen twee lijnen te berekenen we eerst de richtingshoek van beide lijnen met behulp van de richtingscoëfficiënt. Vervolgens trekken we de kleinste richtingshoek van de grootste af om de hoek tussen de twee lijnen te berekenen. Stap 1: $m$: $3y+x=9$ (in een functie van deze vorm kunnen we de richtingscoëfficiënt niet aflezen. Daarom herschrijven we hem naar de vorm $y=ax+b$)$3y=-x+9$$y=-\frac{1}{3}x+3$$rc_m=-frac{1}{3}$$tan(\angle\alpha)=rc_m$ (voor het gemak noemen we de richtingshoek van $m$ $\alpha$)$tan(\angle\alpha)=-\frac{1}{3}$$\angle\alpha=tan^-1(-\frac{1}{3})=-18,4/circ$ (we gebruiken de inverse van tangens om $\angle\alpha$ te berekenen)Stap 2: $l$: $y=2x-7$$rc_l=2$$tan(\angle\beta)=rc_l$ (voor het gemak noemen we de richtingshoek van $l \beta$$tan(\angle\beta)=2$$\angle\beta=tan^-1(2)=63,4$Stap 3: Trek de kleinste richtingshoek van de grootste af. $\alpha<\beta$ $63,4 - - 18,4=81,9 \circ$ (reken met je tussenantwoorden op je GR door, anders krijg je hier een afrondfout)Conclusie: De hoek tussen deze twee lijnen is $81,9\circ$. Werkwijze: Bereken $q$ door $y=-1$ in te vullen in lijn $l$. Als lijn $l$ lijn $k$ in dat punt snijdt moet datzelfde punt namelijk ook wel op $l$ liggen. Gebruik voor het bepalen van de richtingscoëfficiënt van lijn $l$ dat de lijnen onderling loodrecht zijn.Stap 1: $-1=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$-2\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}x$$5=x$Het snijpunt van lijn $k$ en $l$ is dus $(5,-1)$. Stap 2: bepaal de richtingscoëfficiënt van lijn $l$. Dit kan op twee manieren:1. Gebruik dat $rc_k \cdot rc_l=-1$ $-\frac{1}{2} \cdot rc_l=-1$$rc_l=2$. 2. Herschrijf de formule van $k$ tot de vorm $ax+by=c$(*) en gebruik dat $bx-ay=d$(**) loodrecht op deze staat. $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$y+\frac{1}{2}x =\frac{3}{2}$ (in deze vorm willen we gehele getallen dus vermenigvuldig met 2)$2y+x =3$(*)Dus $l$: $x-2y=d$(**)Stap 3: Maak de formule af door $(5,-1)$ in te vullen. Verdere uitwerking per manier:1. $l$: $y=2x+b$ door $(5,-1)$$-1=2\cdot 5+b$$-1=10+b$$b=-11$$l$: $y=2x-11$2. $l$: $x-2y=d$ door $(5,-1)$$5-2\cdot -1=d$$5+2=7$$l$: $x-2y=7$ Tip: maak een schets! Zie hieronder.Omdat de straal van de cirkels 4 is en de cirkels de x-as raken moeten de y-waarden van de cirkels wel $y=4$ en $y=-4$ zijn.Met behulp van lijn $k$ kunnen we nu de coördinaten van de middelpunten vinden:$y=-4$ invullen in $k$ geeft:$x+2\cdot-4=6$$x-8=6$$x=14$Dus $M_1(14,-4)$Dat geeft $c_1: (x-14)^2+(y+4)^2=16$$y=4$ invullen geeft:$x+2\cdot 4=6$$x+8=6$$x=-2$Dus $M_2(-2,4)$Dan wordt de vergelijking: $c_2: (x+2)^2+(y-4)^2=16$. Werkwijze: Het middelpunt van de cirkel staat vast in bovenstaande vergelijking. Het enige waar we invloed op uit kunnen oefenen met het veranderen van $p$ is de straal van de cirkel. We gaan de straal dus zo kiezen zodat het punt $A(-1,1)$ binnen de cirkel valt.Stap 1: kwadraat afsplitsen om het middelpunt van de cirkel te vinden.  $x^2+4x+y^2+2y-p=0$$(x+2)^2-4+(y+1)^2-1=p$Om het kwadraat af te splitsen kijken we eerst naar de term voor de losse $x$, voor $4x$ dus, dit is $4$, deze delen we door $2$, dit is $2$. Vervolgens schrijven we $(x+2)^2$. Als we nu de papegaaienbekmethode toepassen krijgen we $(x+2)^2=x^2+4x+4$ Terwijl we alleen $x^2+4x$ in onze originele formule hebben staan. Daarom trekken we er nog $4$ af en wordt het $(x+2)^2-4$. Hetzelfde doen we voor $y^2+2y$. We nemen het getal voor de losse $y$, $2$ dus, delen deze door $2$, maakt $1$. Dit geeft ons $(y+1)^2$, we rekenen nu $+1$ teveel en trekken dit er weer af geeft $(y+1)^2-1$.$(x+2)^2+(y+1)^2=p+5$ De losse $4$, $1$ en $p$ verplaatsen we naar de rechterkant van de $=$. Deze bepalen onze straal.Het middelpunt van de cirkel is dus (-2,-1).Stap 2: De straal van de cirkel moet groter zijn dan de afstand van het middelpunt van de cirkel tot het punt $A(-1,1)$ om $A$ binnen de cirkel te laten liggen.De straal van de cirkel is $r=\sqrt{p+5}$.De afstand van het middelpunt tot $A$: $d(A,M)=\sqrt{(-1- -2)^2+(1- -1)^2}=\sqrt{(1)^2+(2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$.Punt $A$ ligt op de cirkel als $r=\sqrt{5} oftewel $\sqrt{p+5}=\sqrt{5}$.$p+5=5$ (kwadrateren)$p=0$Punt $A$ ligt binnen de cirkel als $r\geq\sqrt{5}. Als de straal groter is dan de afstand van het punt $A$ tot het middelpunt van de cirkel moet de rand van de cirkel wel verder weg liggen dan $A$.Conclusie: dus $p>0$. Werkwijze: Eerst stellen we de cirkelvergelijking van $c$ op door de middellijn $BD$ te gebruiken. Vervolgens substitueren we lijn $m$ in de cirkelvergelijking om na te gaan wanneer de lijn de cirkel raakt. Stap 1: We stellen de cirkelvergelijking van $c$ op.Het midden $M$ van het lijnstuk $BD$ is $M(\frac{1}{2}(2+10),\frac{1}{2}(3+3))=M(6,3)$.Aangezien $BD$ de middellijn van de cirkel is kunnen we het middelpunt $M$ van de cirkel vinden door het midden van lijnstuk $BD$ te berekenen.$r=d(B,M)=\sqrt{(2-6)^2+(3-3)^2}=\sqrt{(4)^2+(0)^2}=\sqrt{16}=4$. De straal van de cirkel is de afstand van het middelpunt van de cirkel tot de een punt op de cirkel. Daarom berekenen we de afstand tussen $B$ en $M$.$c: (x-6)^2+(y-3)^2=16$$c: x^2-12x+36+y^2-6y+9=16$ (cirkelvergelijking herschrijven zodat we het snijpunt van de cirkel met de lijn kunnen vinden met behulp van substitutie)Dus $c: x^2-12x+y^2-6y+29=0$Stap 2: We substitueren lijn $m$ in de cirkel om te bepalen wanneer de lijn de cirkel raakt.$m: y=ax+7$Aangezien lijn $m$ door het punt $(0,7)$ gaat en dit het snijpunt met de y-as is ($x=0$), weten we dat $b=7$. Substitutie van $y=ax+7$ in $c: x^2-12x+y^2-6y+29=0$:Omdat we weten dat lijn $m$ de cirkel raakt, moeten lijn $m$ en de cirkel wel een snijpunt hebben, namelijk het raakpunt. Als we de y-waarde van $m$ invullen, namelijk $y=ax+7$, kunnen we het snijpunt vinden van de lijn en de cirkel.$x^2-12x+(ax+7)^2-6(ax+7)+29=0$$x^2-12x+a^2x^2+14ax+49-6ax-42+29=0$ (haakjes uitwerken)$ a^2x^2+x^2+14ax-6ax-12x+49-42+29=0$$(a^2+1)x^2+(8a-12)x+36=0$$D=0$ geeft $(8a-12)^2-4\cdot(a^2+1)\cdot 36=0$Een raaklijn en een cirkel hebben altijd maar één snijpunt (het raakpunt) dus de discriminant van deze vergelijking moet gelijk zijn aan $0$. Als de discriminant gelijk is aan nul hebben we namelijk één oplossing. $(8a-12)^2-4\cdot(a^2+1)\cdot 36=0$$64a^2-192a+144-(4a^2+4)\cdot 36=0$$64a^2-192a+144-144a^2-144=0$$-80a^2-192a=0$ (delen door -16)$5a^2+12a=0$$a(5a+12)=0$$a=0 \vee 5a+12=0$$a=o \vee 5a=-12$$a=0 \vee a=-\frac{12}{5}$De raaklijn is niet horizontaal (zie afbeelding) dus moet $a=-\frac{12}{5}$ wel de oplossing zijn die we zoeken.Dus $m: y=-\frac{12}{5}x+7$.