Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 2 - Hoofdstuk 8 - Goniometrie oefentoetsen & antwoorden

UitwerkingZorg dat je voor de toets de eenheidscirkel zonder moeite in korte tijd kunt tekenen. Oefen ontzettend veel met de verschillende hoeken en waarden op de eenheidscirkel, anders ben je hier teveel tijd aan kwijt tijdens de toets. y=a+bcos⁡(c(x−d))y=a+b\cos(c(x-d))y=a+bcos(c(x−d))f(x)=−2−3cos⁡(3(x−14π)f(x)=-2-3\cos(3(x-\frac{1}{4}\pi)f(x)=−2−3cos(3(x−41​π) (haal de 3 buiten haakjes zodat je de x-coördinaat van het beginpunt kunt aflezen)De evenwichtsstand a=−2a=-2a=−2De amplitude b=3b=3b=3De periode c=2πc=2π3c=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{3}c=c2π​=32π​Het beginpunt d=14πd=\frac{1}{4}\pid=41​π dus (14π,−5)(\frac{1}{4}\pi,-5)(41​π,−5). Let op! Doordat b<0b<0b<0 begint deze grafiek in het laagste punt.Een periode van een sinusoïde start als de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat, een halve periode is voorbij als de sinusoïde vervolgens dalend door de evenwichtsstand gaat, een hele periode is voorbij als de sinusoïde vervolgens de evenwichtsstand weer stijgend snijdt. In andere woorden, als de grafiek drie keer achtereenvolgens dezelfde lijn snijdt is een periode voorbij. Een hele periode is dus van AAA tot CCC. Van BBB tot CCC is een halve periode. c=1c=1c=1 dus een hele periode is 2π2\pi2π, een halve periode is π\piπ. Conclusie: de afstand van BBB tot CCC is π\piπ.  Stap 1: xC=−0,92x_C=-0,92xC​=−0,92 cos⁡(∠α)=−0,92\cos(\angle\alpha)=-0,92cos(∠α)=−0,92 We kiezen cosinus omdat we een hoek bij een x-coördinaat zoeken.We noemen de hoek voor het gemak α\alphaα, zie de figuur hieronder. ∠α=cos⁡−1(−0,92)=2,7389 rad\angle\alpha=\cos^{-1}(-0,92)=2,7389 \ rad∠α=cos−1(−0,92)=2,7389 rad Om ∠α\angle\alpha∠α vrij te maken gebruiken we de inverse van de cosinus.De GR berekend nu automatisch de hoek tussen de positieve x-as en het been van de oorsprong tot C (zie de afbeelding in de stap hierboven). Zorg dat je rekenmachine in radialen staat!Stap 2: yD=−0,62y_D=-0,62yD​=−0,62sin⁡(∠β)=−0,62\sin(\angle\beta)=-0,62sin(∠β)=−0,62We kiezen sinus omdat we een hoek bij een y-coördinaat zoeken.We noemen de hoek voor het gemak β\betaβ, zie de figuur hieronder. ∠β=sin⁡−1(−0,62)=−0,6687rad\angle\beta=\sin^{-1}(-0,62)=-0,6687 rad∠β=sin−1(−0,62)=−0,6687rad Om ∠β\angle\beta∠β vrij te maken gebruiken we de inverse van de sinus.De GR berekend nu automatisch de hoek tussen de positieve x-as en het been van de oorsprong tot D (zie de afbeelding in de stap hierboven). Doordat we met de klok meegaan is dit een negatieve hoek. Stap 3: 2π−∠α−∠β=2π−2,7389−0,6687=2,8755 rad2\pi-\angle\alpha-\angle\beta=2\pi-2,7389-0,6687=2,8755 \ rad2π−∠α−∠β=2π−2,7389−0,6687=2,8755 radWe hebben nu de buitenhoek van ∠COD\angle{COD}∠COD. Omdat de volle hoek 2π2\pi2π is kunnen we de buitenhoek hiervan aftrekken om de juiste hoek te vinden.We kunnen nu de absolute waarde nemen van ∠β\angle\beta∠β omdat in dit geval de richting van de hoek niet uit maakt. Conclusie: 3 rad.  Stap 1: We kunnen de y-coördinaten van het hoogste en het laagste punt aflezen. Namelijk y=1y=1 y=1 (hoogste) en y=−5y=-5y=−5 (laagste). Hiermee kunnen we de evenwichtsstand en amplitude berekenen. Evenwichtsstand: a=1+−52=−2a=\frac{1+-5}{2}=-2a=21+−5​=−2De evenwichtsstand ligt precies midden het hoogste en het laagste punt, door deze op te tellen en te delen door twee vinden we dit midden. Amplitude: Manier 1: b=1−−52=3b=\frac{1--5}{2}=3b=21−−5​=3, of Manier 2: 1−−2=31--2=31−−2=3De amplitude is de afstand van het hoogste tot het laagste punt delen door twee. (manier 1)De amplitude is de afstand van de evenwichtsstand tot het hoogste/laagste punt. Daarom trekken we de evenwichtsstand van het hoogste punt af. (manier 2)Stap 2: We hebben de x-coördinaten van het hoogste en het laagste punt. Namelijk x=5x=5x=5 (hoogste) en x=2x=2x=2 (laagste) Hiermee kunnen we de periode berekenen.Periode: 5−2=35-2=35−2=3 is een halve periode. Dus de periode is 3⋅2=63\cdot 2=63⋅2=6 c=2πperiode=2π6=π3c=\frac{2\pi}{periode}=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}c=periode2π​=62π​=3π​.Omdat één periode pas voorbij is wanneer we terug zijn op de hoogte waar we zijn gestart, zijn we als we van het laagste (x=2x=2x=2) naar het hoogste punt (x=5x=5x=5) zijn gegaan nog maar op een halve periode.Door eerst te berekenen hoeveel een halve periode is en dit te vermenigvuldigen met twee krijgen we de lengte van een hele periode. Tot slot wordt de formule voor het berekenen van c=2πperiodec=\frac{2\pi}{periode}c=periode2π​ gebruikt.Stap 3: b<0b<0b<0 dus we beginnen bij het laagste punt. d=2d=2d=2.Conclusie: y=−2−3cos⁡(π3(x−2))y=-2-3\cos(\frac{\pi}{3}(x-2))y=−2−3cos(3π​(x−2)) Stap 1 :sin⁡(..)=−1\sin(..)=-1sin(..)=−1, sinus, dus we zoeken op de y-as naar de waarde −1-1−1.Stap 2: Bij de y-waarde −1-1−1 zijn we de cirkel driekwart rond. Daar hoort een hoek van 112π1\frac{1}{2}\pi121​π radialen bij, elke keer als we vanaf daar de cirkel helemaal rond gaan, de cirkel rond is 2π2\pi2π komen we terug bij y=−1y=-1y=−1, dus alle oplossingen zijn: 112π+k⋅2π1\frac{1}{2}\pi+k\cdot 2\pi121​π+k⋅2πStap 3: 113x+56π=112π+k⋅2π1\frac{1}{3}x+\frac{5}{6}\pi=1\frac{1}{2}\pi+k\cdot 2\pi131​x+65​π=121​π+k⋅2π113x=112π−56π+k⋅2π1\frac{1}{3}x=1\frac{1}{2}\pi-\frac{5}{6}\pi +k\cdot 2\pi131​x=121​π−65​π+k⋅2π (beide kanten −56π-\frac{5}{6}\pi−65​π)113x=23π+k⋅2π1\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}\pi+k\cdot 2\pi131​x=32​π+k⋅2π x=12π+k⋅112πx =\frac{1}{2}\pi +k\cdot 1\frac{1}{2}\pix=21​π+k⋅121​π (beide kanten delen door 1131\frac{1}{3}131​)Stap 4: Kijk voor welke kkk je oplossingen binnen [−π,π][-\pi,\pi][−π,π] vallen. k=0k=0k=0 geeft x=12π+0⋅112π=12πx =\frac{1}{2}\pi +0\cdot 1\frac{1}{2}\pi=\frac{1}{2}\pix=21​π+0⋅121​π=21​πk=1k=1k=1 geeft x=12π+1⋅112π=2πx =\frac{1}{2}\pi +1\cdot 1\frac{1}{2}\pi=2\pix=21​π+1⋅121​π=2π (buiten domein)k=−1k=-1k=−1 geeft x=12π+−1⋅112π=−πx =\frac{1}{2}\pi +-1\cdot 1\frac{1}{2}\pi=-\pix=21​π+−1⋅121​π=−πConclusie: Binnen [−π,π][-\pi,\pi][−π,π] zijn de oplossingen dus x=12π∨x=−πx=\frac{1}{2}\pi \vee x=-\pix=21​π∨x=−π. Opmerking: deze opdracht mag je ook oplossen met de exacte-waarden-tabel en/of de grafiek van sinus.Stap 1: Voordat we op de eenheidscirkel onze oplossingen kunnen zoeken moeten we eerst zorgen dat we cosinus isoleren. 4cos⁡2(2x+16π)=24\cos^2(2x+\frac{1}{6}\pi)=24cos2(2x+61​π)=2cos⁡2(2x+16π)=12\cos^2(2x+\frac{1}{6}\pi)=\frac{1}{2}cos2(2x+61​π)=21​ (delen door 4)cos⁡(2x+16π)=12∨cos⁡(2x+16π)=−12\cos(2x+\frac{1}{6}\pi)=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} \vee \cos(2x+\frac{1}{6}\pi)=-\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}cos(2x+61​π)=2​1​​∨cos(2x+61​π)=−2​1​​ (worteltrekken)cos⁡(2x+16π)=122∨cos⁡(2x+16π)=−122\cos(2x+\frac{1}{6}\pi)=\frac{1}{2}\sqrt{2} \vee \cos(2x+\frac{1}{6}\pi)=-\frac{1}{2}\sqrt{2}cos(2x+61​π)=21​2​∨cos(2x+61​π)=−21​2​ (wortel uit de noemer halen met de worteltruc)Stap 2: cos⁡(…)=122\cos(…)=\frac{1}{2}\sqrt{2}cos(…)=21​2​, cosinus, dus we zoeken 122\frac{1}{2}\sqrt{2}21​2​ op de x-as.Nu op zoek naar de hoek die hierbij hoort:We hebben dus twee oplossingen voor 122\frac{1}{2}\sqrt{2}21​2​ namelijk 14π+k⋅2π\frac{1}{4}\pi+k\cdot 2\pi41​π+k⋅2π en 134π+k⋅2π1\frac{3}{4}\pi+k\cdot 2\pi143​π+k⋅2π.cos⁡(…)=−122\cos(…)=-\frac{1}{2}\sqrt{2}cos(…)=−21​2​ geeft:We hebben dus twee oplossingen voor −122-\frac{1}{2}\sqrt{2}−21​2​ namelijk 34π+k⋅2π\frac{3}{4}\pi+k\cdot 2\pi43​π+k⋅2π en 114π+k⋅2π1\frac{1}{4}\pi+k\cdot 2\pi141​π+k⋅2π.Stap 3:2x+16π=14π+k⋅2π∨2x+16π=134π+k⋅2π∨2x+16π=34π+k⋅2π∨2x+16π=114π+k⋅2π2x+\frac{1}{6}\pi=\frac{1}{4}\pi+k\cdot 2\pi \vee 2x+\frac{1}{6}\pi=1\frac{3}{4}\pi+k\cdot 2\pi \vee 2x+\frac{1}{6}\pi=\frac{3}{4}\pi+k\cdot 2\pi \vee 2x+\frac{1}{6}\pi=1\frac{1}{4}\pi+k\cdot 2\pi2x+61​π=41​π+k⋅2π∨2x+61​π=143​π+k⋅2π∨2x+61​π=43​π+k⋅2π∨2x+61​π=141​π+k⋅2π2x=112π+k⋅2π∨2x=1712π+k⋅2π∨2x=712π+k⋅2π∨2x=1112π+k⋅2π2x=\frac{1}{12}\pi+k\cdot 2\pi \vee 2x=1\frac{7}{12}\pi+k\cdot 2\pi \vee 2x=\frac{7}{12}\pi+k\cdot 2\pi \vee 2x=1\frac{1}{12}\pi+k\cdot 2\pi2x=121​π+k⋅2π∨2x=1127​π+k⋅2π∨2x=127​π+k⋅2π∨2x=1121​π+k⋅2π (beide kanten −16π-\frac{1}{6}\pi−61​π)x=124π+k⋅π∨x=1924π+k⋅π∨x=724+k⋅π∨x=1324+k⋅πx=\frac{1}{24}\pi+k\cdot \pi \vee x=\frac{19}{24}\pi+k\cdot \pi \vee x=\frac{7}{24}+k\cdot \pi \vee x=\frac{13}{24}+k\cdot \pix=241​π+k⋅π∨x=2419​π+k⋅π∨x=247​+k⋅π∨x=2413​+k⋅π (delen door 2)Stap 4: Kijk voor welke kkk je oplossingen binnen [−π,π][-\pi,\pi][−π,π] vallen.k=0k=0k=0 geeft: x=124π+0⋅π=124π∨x=1924π+0⋅π=1924π∨x=724+0⋅π=724π∨x=1324+0⋅π=1324πx=\frac{1}{24}\pi+0\cdot \pi=\frac{1}{24}\pi \vee x=\frac{19}{24}\pi+0\cdot \pi=\frac{19}{24}\pi \vee x=\frac{7}{24}+0\cdot \pi=\frac{7}{24}\pi \vee x=\frac{13}{24}+0\cdot \pi=\frac{13}{24}\pix=241​π+0⋅π=241​π∨x=2419​π+0⋅π=2419​π∨x=247​+0⋅π=247​π∨x=2413​+0⋅π=2413​πk=1k=1k=1 geeft: x=124π+1⋅π=1124π∨x=1924π+1⋅π=11924π∨x=724+1⋅π=1724π∨x=1324+1⋅π=11324πx=\frac{1}{24}\pi+1\cdot \pi=1\frac{1}{24}\pi \vee x=\frac{19}{24}\pi+1\cdot \pi=1\frac{19}{24}\pi \vee x=\frac{7}{24}+1\cdot \pi=1\frac{7}{24}\pi \vee x=\frac{13}{24}+1\cdot \pi=1\frac{13}{24}\pix=241​π+1⋅π=1241​π∨x=2419​π+1⋅π=12419​π∨x=247​+1⋅π=1247​π∨x=2413​+1⋅π=12413​π (vallen buiten het domein [−π,π][-\pi,\pi][−π,π])k=−1k=-1k=−1 geeft: x=124π+−1⋅π=−2324π∨x=1924π+−1⋅π=−524π∨x=724+−1⋅π=−1724π∨x=1324+−1⋅π=−1124πx=\frac{1}{24}\pi+-1\cdot \pi=-\frac{23}{24}\pi \vee x=\frac{19}{24}\pi+-1\cdot \pi=-\frac{5}{24}\pi \vee x=\frac{7}{24}+-1\cdot \pi=-\frac{17}{24}\pi \vee x=\frac{13}{24}+-1\cdot \pi=-\frac{11}{24}\pi x=241​π+−1⋅π=−2423​π∨x=2419​π+−1⋅π=−245​π∨x=247​+−1⋅π=−2417​π∨x=2413​+−1⋅π=−2411​πk=−2k=-2k=−2 geeft: x=124π+−2⋅π=−12324π∨x=1924π+−2⋅π=−1524π∨x=724+−2⋅π=−11724π∨x=1324+−2⋅π=−11124πx=\frac{1}{24}\pi+-2\cdot \pi=-1\frac{23}{24}\pi \vee x=\frac{19}{24}\pi+-2\cdot \pi=-1\frac{5}{24}\pi \vee x=\frac{7}{24}+-2\cdot \pi=-1\frac{17}{24}\pi \vee x=\frac{13}{24}+-2\cdot \pi=-1\frac{11}{24}\pix=241​π+−2⋅π=−12423​π∨x=2419​π+−2⋅π=−1245​π∨x=247​+−2⋅π=−12417​π∨x=2413​+−2⋅π=−12411​π (vallen buiten het domein [−π,π][-\pi,\pi][−π,π])Conclusie: De oplossingen zijn x=124π∨x=1924π∨x=724π∨x=1324π∨x=−2324π∨x=−524π∨x=−1724π∨x=−1124πx=\frac{1}{24}\pi \vee x=\frac{19}{24}\pi \vee x=\frac{7}{24}\pi \vee x=\frac{13}{24}\pi \vee x=-\frac{23}{24}\pi \vee x=-\frac{5}{24}\pi \vee x=-\frac{17}{24}\pi \vee x=-\frac{11}{24}\pi x=241​π∨x=2419​π∨x=247​π∨x=2413​π∨x=−2423​π∨x=−245​π∨x=−2417​π∨x=−2411​π Werkwijze: De nulpunten van een grafiek zijn de snijpunten met de x-as, dan is y gelijk aan 0. We stellen dus fff gelijk aan 0. Let op: omdat er "exact" in de opgave staat, mag je deze opgave niet met je GR oplossen!Stap 1: f(x)=3sin⁡(3x)cos⁡(12x)=0f(x)=3\sin(3x)\cos(\frac{1}{2}x)=0f(x)=3sin(3x)cos(21​x)=0f(x)=sin⁡(3x)cos⁡(12x)=0f(x)=\sin(3x)\cos(\frac{1}{2}x)=0f(x)=sin(3x)cos(21​x)=0 (delen door 3)sin⁡(3x)=0∨cos⁡(12x)=0\sin(3x)=0 \vee \cos(\frac{1}{2}x)=0sin(3x)=0∨cos(21​x)=0 (Als een product van twee factoren 0 moet zijn: A⋅B=0A\cdot B=0A⋅B=0 dan moet wel of A=0A=0A=0 gelden of B=0B=0B=0)Stap 2: sin⁡(3x)=0\sin(3x)=0sin(3x)=0, dus we zoeken naar een y-waarde gelijk aan 0. We zien, als y=0y=0y=0 dan is de cirkel bij 000, π\piπ, 2π2\pi2π enzovoort. Oftewel k⋅πk \cdot \pik⋅π3x=k⋅π3x=k \cdot \pi3x=k⋅πx=k⋅13πx=k \cdot \frac{1}{3}\pix=k⋅31​π (delen door 3)cos⁡(12x)=0\cos(\frac{1}{2}x)=0cos(21​x)=0, dus we zoeken naar een x-waarde gelijk aan 0.We zien, als x=0x=0x=0 dan is de cirkel bij 12π\frac{1}{2}\pi21​π, 112π1\frac{1}{2}\pi121​π, 212π2\frac{1}{2}\pi221​π enzovoort. Oftewel 12π+k⋅π\frac{1}{2}\pi+k \cdot \pi21​π+k⋅π12x=12π+k⋅π\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}\pi+k \cdot \pi21​x=21​π+k⋅π x=π+k⋅2πx=\pi+k \cdot 2\pix=π+k⋅2π (delen door 12\frac{1}{2}21​)Stap 3: Alle nulpunten zijn x=k⋅13π∨x=π+k⋅2πx=k \cdot \frac{1}{3}\pi \vee x=\pi+k \cdot 2\pix=k⋅31​π∨x=π+k⋅2πWe zoeken de nulpunten binnen het domein [0,4][0,4][0,4]k=0k=0k=0 geeft: x=0∨x=πx=0 \vee x=\pix=0∨x=πk=1k=1k=1 geeft: x=13π∨x=3πx=\frac{1}{3}\pi \vee x=3\pix=31​π∨x=3π (ligt buiten het het domein)k=2k=2k=2 geeft x=23πx=\frac{2}{3}\pix=32​πAls we nog andere waarden voor kkk invullen krijgen we nulpunten buiten ons domein.Conclusie: De nulpunten zijn (0,0),(13π,0),(23π,0)(0,0), (\frac{1}{3}\pi,0), (\frac{2}{3}\pi,0)(0,0),(31​π,0),(32​π,0) en (π,0)(\pi,0)(π,0). Tip: Kijk als er een plaatje erbij hebt gekregen ter controle naar het plaatje. Hierop kun je zien hoeveel nulpunten je zou moeten hebben (vier in dit geval). Als je geen plaatje hebt gekregen kun je hem altijd ter controle plotten in je GR.  Werkwijze: De standaardformule van een sinusoïde is y=a+bsin⁡(c(x−d)y=a+b\sin(c(x-d)y=a+bsin(c(x−d). We zoeken a,b,ca, b, ca,b,c en ddd. Stap 1: We hebben de y-coördinaten van het hoogste en het laagste punt. Namelijk y=15,35y=15,35y=15,35 (hoogste) en y=9,02y=9,02y=9,02 (laagste). Hiermee kunnen we de evenwichtsstand en amplitude berekenen. Evenwichtsstand: a=9,02+15,352=12,185a=\frac{9,02+15,35}{2}=12,185a=29,02+15,35​=12,185De evenwichtsstand ligt precies midden het hoogste en het laagste punt, door deze op te tellen en te delen door twee vinden we dit midden. Amplitude: Manier 1: b=15,35−9,022=3,165b=\frac{15,35-9,02}{2}=3,165b=215,35−9,02​=3,165, of Manier 2: 15,35−12,185=3,16515,35-12,185=3,16515,35−12,185=3,165De amplitude is de afstand van het hoogste tot het laagste punt delen door twee. (manier 1)De amplitude is de afstand van de evenwichtsstand tot het hoogste/laagste punt. Daarom trekken we de evenwichtsstand van het hoogste punt af. (manier 2)Stap 2: We hebben de t-coördinaten van het hoogste en het laagste punt. Namelijk t=172t=172t=172 (hoogste) en t=355t=355t=355 (laagste) Hiermee kunnen we de periode en het beginpunt berekenen.Periode: 355−172=183355-172=183355−172=183 is een halve periode. Dus de periode is 183⋅2=366183\cdot 2=366183⋅2=366 c=2πperiode=2π366=π183c=\frac{2\pi}{periode}=\frac{2\pi}{366}=\frac{\pi}{183}c=periode2π​=3662π​=183π​.Omdat één periode pas voorbij is wanneer we terug zijn op de hoogte waar we zijn gestart, zijn we als we van het hoogste naar het laagste punt zijn gegaan nog maar op een halve periode.Door eerst te kijken hoeveel dagen een halve periode is en dit te vermenigvuldigen met twee krijgen we de lengte van een hele periode. Tot slot wordt de formule voor het berekenen van c=2πperiodec=\frac{2\pi}{periode}c=periode2π​ gebruikt.Beginpunt: Manier 1: Gezien we de coördinaten van het hoogste punt hebben is het het handigst om hier een cosinusoïde op te stellen, dit geeft: d=172d=172d=172. Een cosinusoïde begint in het hoogste punt. Manier 2: Staat in de opdracht gegeven dat je formule van de vorm y=a+bsin⁡(c(x−d))y=a+b\sin(c(x-d))y=a+bsin(c(x−d)) moet zijn, kun je het beginpunt als volgt vinden. Het snijpunt met de evenwichtsstand ligt een kwart periode voor het hoogste punt: 14⋅366=91,5\frac{1}{4}\cdot 366=91,541​⋅366=91,5 dit geeft d=172−91,5=80,5d=172-91,5=80,5d=172−91,5=80,5.Het beginpunt van de sinusoïde is als deze stijgend door de evenwichtsstand gaat. Conclusie: y=12,185+3,165cos⁡(π183(t−172)y=12,185+3,165\cos(\frac{\pi}{183}(t-172)y=12,185+3,165cos(183π​(t−172) of y=12,185+3,165sin⁡(π183(t−80,5))y=12,185+3,165\sin(\frac{\pi}{183}(t-80,5))y=12,185+3,165sin(183π​(t−80,5)). Tip: Vul het hoogste en het laagste punt in om te kijken of er inderdaad de juiste y-waarde uitkomt. Werkwijze: Vul t=69t=69t=69 in in de formule. Stap 1: 31+28+10=6931+28+10=6931+28+10=69We hebben in januari 31 dagen, in februari 28 en daar komen de 10 dagen in maart nog bij bovenop.  Stap 2: y=12,185+3,165cos⁡(π183(69−172)=11,56y=12,185+3,165\cos(\frac{\pi}{183}(69-172)=11,56y=12,185+3,165cos(183π​(69−172)=11,56 of y=12,185+3,165sin⁡(π183(69−80,5)=11,56y=12,185+3,165\sin(\frac{\pi}{183}(69-80,5)=11,56y=12,185+3,165sin(183π​(69−80,5)=11,56Conclusie: Dus op 10 maart 2015 waren er 11,56 uren daglicht. Werkwijze: Zoek de snijpunten van grafiek met de lijn y=13y=13y=13 met behulp van je GR. Stap 1: Vul in in je GR: y1=12,185+3,165sin⁡(π183(x−80,5)=11,56y_1=12,185+3,165\sin(\frac{\pi}{183}(x-80,5)=11,56y1​=12,185+3,165sin(183π​(x−80,5)=11,56 en y2=13y_2=13y2​=13 (de formule met cosinus bij y1y_1y1​ geeft hetzelfde antwoord)Omdat we een periode hebben van 366 dagen zetten we onze window voor de x-as op 0 tot en met 366. Voor de keuze van de y-as kijken we naar het hoogste en het laagste punt. We zetten de y-as op 9 tot en met 16. Stap 2: Gebruik de optie intersect om beide snijpunten te berekenen. x=95,670…x=95,670…x=95,670… en x=248,329…x=248,329…x=248,329… Stap 3: 248,329−95,671=153dagen248,329-95,671=153 dagen248,329−95,671=153dagenConclusie: Op 153 dagen waren er 13 of meer uren daglicht in het jaar 2015.