Getal en Ruimte wisA 12e ed deel 3 - Hoofdstuk 8 - Differentiaalrekening oefentoetsen & antwoorden

Kettingregel: $k(x)=f\left( g\left( x \right) \right)$ geeft ${k}'(x)={f}'\left( g\left( x \right) \right)\cdot {g}'\left( x \right)$Als $y$ afneemt voor $x=a$, dan is ${{\left[ \frac{dy}{dx} \right]}_{x=a}}<\ 0$.In de grafiek hieronder is sprake van een toenemende stijging.   $x=10$ geeft $y=-0,01{{\left( 10 \right)}^{3}}+0,4{{\left( 10 \right)}^{2}}-1,2\left( 10 \right)+8=26$$x=30$ geeft $y=-0,01{{\left( 30 \right)}^{3}}+0,4{{\left( 30 \right)}^{2}}-1,2\left( 30 \right)+8=62$De gemiddelde verandering op $\left[ 10,30 \right]$is $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{62-26}{30-10}=\frac{36}{20}=1,8$ $x=0$ geeft $y=-0,01{{\left( 0 \right)}^{3}}+0,4{{\left( 0 \right)}^{2}}-1,2\left( 0 \right)+8=8$$x=40$ geeft $y=-0,01{{\left( 40 \right)}^{3}}+0,4{{\left( 40 \right)}^{2}}-1,2\left( 40 \right)+8=-40$Het differentiequotiënt op $\left[ 0,40 \right]$is $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-40-8}{40-0}=\frac{-48}{40}=-1,2$ GR: Invoer:   ${{y}_{1}}=-0,01{{x}^{3}}+0,4{{x}^{2}}-1,2x+8$ Optie: Calc $\to $  ${{\left[ \frac{\text{d}y}{\text{d}x} \right]}_{x=3}}=0,93$Uitkomst: De snelheid is 0,93 Bij de dalende delen van de grafiek $f$ horen negatieve hellingen. De hellinggrafiek ligt daar dus onder de $x$-as. In de toppen van $f$ is de helling nul. De hellinggrafiek snijdt daar de $x$-as. Tussen de beide toppen is de grafiek van $f$ stijgend. Bij een stijging hoort een positieve helling. Oftewel, de hellinggrafiek ligt daar boven de $x$-as.  $f(x)=-4{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+7x+11$ geeft ${f}'(x)=-12{{x}^{2}}-4x+7$$g(t)=2{{t}^{5}}-3({{t}^{3}}+4)=2{{t}^{5}}-3{{t}^{3}}-12$ geeft ${g}'(t)=10{{t}^{4}}-9{{t}^{2}}$ Let op! We differentiëren naar $b$, dus $a$ is een constante (en deze behandelen we alsof het een getal is)$h(b)=2{{b}^{5}}+7a{{b}^{2}}+2{{a}^{2}}+9b$ geeft ${h}'(b)=10{{b}^{4}}+14ab+9$ Manier 1:$j(p)={{(2{{p}^{3}}+4)}^{2}}=4{{p}^{6}}+16{{p}^{3}}+16$ geeft ${j}'(p)=24{{p}^{5}}+48{{p}^{2}}$Manier 2:We kunnen ook gebruik maken van de kettingregel. De functie $j(p)$ is samengesteld uit de schakels $f\left( g \right)$en $g(p)$, met $f\left( g \right)={{g}^{2}}$ en $g(p)=2{{p}^{3}}+4$.We differentiëren de functie op de normale manier en daarna vermenigvuldigen we nog met de afgeleide van wat er tussen de haakjes staat.$j(p)={{(2{{p}^{3}}+4)}^{2}}$ geeft \[{j}'(p)=\underbrace{2\cdot (2{{p}^{3}}+4)}_{{f}'\left( g\left( p \right) \right)}\cdot \underbrace{6{{p}^{2}}}_{{g}'\left( p \right)}=12{{p}^{2}}(2{{p}^{3}}+4)=24{{p}^{5}}+48{{p}^{2}}\]  Eerst de functie herschrijven naar een vorm die makkelijker te differentiëren is:f(x)=6(3x−1)2,3=6(3x−1)−2,3f(x)=\frac{6}{{{(3x-1)}^{2,3}}}=6{{\left( 3x-1 \right)}^{-2,3}}f(x)=(3x−1)2,36​=6(3x−1)−2,3Vervolgens differentiëren we de functie waarbij we de kettingregel gebruiken. Dus vermenigvuldigen met de afgeleide van wat er tussen haakjes staat:f′(x)=−13,8(3x−1)−3,3⋅3=41,4(3x−1)−3,3=41,4(3x−1)3,3{f}'(x)=-13,8{{\left( 3x-1 \right)}^{-3,3}}\cdot 3=41,4{{\left( 3x-1 \right)}^{-3,3}}=\frac{41,4}{{{\left( 3x-1 \right)}^{3,3}}}f′(x)=−13,8(3x−1)−3,3⋅3=41,4(3x−1)−3,3=(3x−1)3,341,4​Vergeet niet om de afgeleide zonder negatief exponent te schrijven.We zien hier een functie met een wortel. Wanneer we een functie differentiëren, met onder het wortelteken een variabele, dan mogen we gebruiken dat [x]′=12x{{\left[ \sqrt{x} \right]}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}}[x​]′=2x​1​. Wanneer we dit combineren met de kettingregel, dan moeten we nog vermenigvuldigen met de afgeleide van hetgeen onder het wortelteken staat. Het is handig om de volgende regel uit het hoofd te leren: f(x)=g(x)=12g(x)⋅g′(x)f\left( x \right)=\sqrt{g\left( x \right)}=\frac{1}{2\sqrt{g\left( x \right)}}\cdot {g}'\left( x \right)f(x)=g(x)​=2g(x)​1​⋅g′(x)Wanneer je deze regel gebruikt, hoef je de tussenstappen niet te noteren. We krijgen: p(q)=7q5−2p(q)=7\sqrt{{{q}^{5}}-2}p(q)=7q5−2​ geeftp′(q)=7⋅12q5−2⋅5q4=35q42q5−2{p}'(q)=7\cdot \frac{1}{2\sqrt{{{q}^{5}}-2}}\cdot 5{{q}^{4}}=\frac{35{{q}^{4}}}{2\sqrt{{{q}^{5}}-2}}p′(q)=7⋅2q5−2​1​⋅5q4=2q5−2​35q4​ Eerst 5b4\frac{5}{\sqrt[4]{b}}4b​5​ schrijven als 5b−145{{b}^{-\tfrac{1}{4}}}5b−41​ :m(b)=b3−5b4=b3−5b−14m(b)={{b}^{3}}-\frac{5}{\sqrt[4]{b}}={{b}^{3}}-5{{b}^{-\tfrac{1}{4}}}m(b)=b3−4b​5​=b3−5b−41​ geeftm′(b)=3b2+54b−54=3b2+54⋅1b54=3b2+54b54=3b2+54b54{m}'(b)=3{{b}^{2}}+\tfrac{5}{4}{{b}^{-\tfrac{5}{4}}}=3{{b}^{2}}+\tfrac{5}{4}\cdot \frac{1}{{{b}^{\tfrac{5}{4}}}}=3{{b}^{2}}+\frac{5}{4{{b}^{\tfrac{5}{4}}}}=3{{b}^{2}}+\frac{5}{4\sqrt[4]{{{b}^{5}}}}m′(b)=3b2+45​b−45​=3b2+45​⋅b45​1​=3b2+4b45​5​=3b2+44b5​5​Let op dat je het gebroken exponent niet laat staan.Ook hier maken we gebruik van de kettingregel:g(y)=−3(0,4y2+3y)1,6g\left( y \right)=-3{{(0,4{{y}^{2}}+3y)}^{1,6}}g(y)=−3(0,4y2+3y)1,6 geeft g′(y)=−4,8(0,4y2+3y)0,6⋅(0,8y+3)=(−3,84y−14,4)(0,4y2+3y)0,6{g}'\left( y \right)=-4,8{{(0,4{{y}^{2}}+3y)}^{0,6}}\cdot \left( 0,8y+3 \right)=\left( -3,84y-14,4 \right){{(0,4{{y}^{2}}+3y)}^{0,6}}g′(y)=−4,8(0,4y2+3y)0,6⋅(0,8y+3)=(−3,84y−14,4)(0,4y2+3y)0,6. 12:00 uur, dus $t=5$, want $t=0$ is 7:00 uur.Van $t=0$ naar $t=5$ is de temperatuur  $1+3+1,5-0,5-1=4{}^{\circ }C$ gestegen. De temperatuur die is gemeten om 7:00 uur bij de eerste meting is $18-4={{14}^{{}^\circ }}C$Op $\left[ 0,3 \right]$ is de gemiddelde verandering $[\frac{\Delta C}{\Delta t}=\frac{1+3+1,5}{3}=1,83\cdots]$ De gemiddelde snelheid waarmee de temperatuur toenam is ongeveer 1,83 graden Celsius per uur.We maken eerst een tabel waarbij we gebruik maken van het gegeven dat de temperatuur om 12:00 uur $18 {{}^{\circ }}C$ was. Dus  $t=5$ geeft $C=18$. Vervolgens gebruiken we de toe- en afnames die we uit het toenamediagram kunnen halen. $t$$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$$9$$C$$14$$15$$18$$19,5$$19$$18$$18,5$$20$$19$$18$De punten zetten we in een assenstelsel en vervolgens verbinden we de punten. Elke grafiek die door de tien punten gaat, is een grafiek die bij het toenamediagram past. Een voorbeeld van een grafiek zie je hieronder. 50000 stuks geeft  $p=50$.80000 stuks geeft  $p=80$.De procentuele toename van de winst is $\frac{W(80)-W(50)}{W(50)}\times 100%\approx 164,3%$Op $\left[ 60,80 \right]$is de gemiddelde verandering van de winst $\frac{W(80)-W(60)}{80-60}=13,7$ euro per stukWe moeten iets aantonen met de afgeleide. We beginnen met het berekenen van de afgeleide functie.$W\left( p \right)=-0,01{{p}^{3}}+1,32{{p}^{2}}-23,1p-539$ geeft ${W}'\left( p \right)=-0,03{{p}^{2}}+2,64p-23,1$Om aan te tonen dat de winst toeneemt voor $p=45$, moeten we laten zien dat $W'(45)>0$.$W'\left( 45 \right)=-0,03{{\left( 45 \right)}^{2}}+2,64\left( 45 \right)-23,1=34,95$ $W'(45)=34,95>0$, dus de winst neemt toeMaximale winst, dus ${W}'\left( p \right)=0$${W}'\left( p \right)=0$ geeft $-0,03{{p}^{2}}+2,64p-23,1=0$GR: Invoer: ${{y}_{1}}=-0,03{{p}^{2}}+2,64p-23,1=0$ Optie: Calc $\to $  Zero geeft $x=9,85…$ en $x=78,14\cdots $.Plot nu de originele grafiek ( ${{y}_{2}}=-0,01{{p}^{3}}+1,32{{p}^{2}}-23,1p-539$) en controleer waar het maximum ligt. Dat is bij $x=78,14…$ en $y=944,58\cdots $Uitkomst: De winst is maximaal bij een productie van 78147 en de winst is € 944582. Ook nu moeten we iets aantonen met behulp van de afgeleide, dus berekenen we eerst de afgeleide.$\frac{dT}{dp}=-0,3{{p}^{2}}+3c\cdot p$$\frac{dT}{dp}=0$geeft                        $-0,3{{p}^{2}}+3c\cdot p=0$$p\left( -0,3p+3c \right)=0$$p=0\vee -0,3p+3c=0$$p=0\vee 0,3p=3c$$p=0\vee p=10c$Uit de schets volgt dat de winst maximaal is voor $p=10c$.Invullen van $p=10c$ in de formule van $T$ geeft:${{T}_{\text{MAX}}}=-0,1{{\left( 10c \right)}^{3}}+1,5c\cdot {{\left( 10c \right)}^{2}}=-0,1\cdot 1000{{c}^{3}}+1,5c\cdot 100{{c}^{2}}=-100{{c}^{3}}+150{{c}^{3}}=50{{c}^{3}}$