Toets Wiskunde

Getal en Ruimte wisA 12e ed deel 3 - Hoofdstuk 8 - Differentiaalrekening oefentoetsen & antwoorden

12e editie

Deze oefentoets behandelt o.m. de volgende onderwerpen: Toenamediagrammen en differentiequotiënten, hellinggrafieken, differentiëren, notaties en regels voor de afgeleide, extreme waarden en de afgeleide.

Examendomein: A (Vaardigheden), D2 (Helling) en D3 (Afgeleide)

Getal en Ruimte wisA 12e ed deel 3
Toets Wiskunde
Getal en Ruimte wisA 12e ed deel 3
Online maken
Toets afdrukken
Kettingregel: $k(x)=f\left( g\left( x \right) \right)$ geeft ${k}'(x)={f}'\left( g\left( x \right) \right)\cdot {g}'\left( x \right)$Als $y$ afneemt voor $x=a$, dan is ${{\left[ \frac{dy}{dx} \right]}_{x=a}}<\ 0$.In de grafiek hieronder is sprake van een toenemende stijging.   $x=10$ geeft $y=-0,01{{\left( 10 \right)}^{3}}+0,4{{\left( 10 \right)}^{2}}-1,2\left( 10 \right)+8=26$$x=30$ geeft $y=-0,01{{\left( 30 \right)}^{3}}+0,4{{\left( 30 \right)}^{2}}-1,2\left( 30 \right)+8=62$De gemiddelde verandering op $\left[ 10,30 \right]$is $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{62-26}{30-10}=\frac{36}{20}=1,8$ $x=0$ geeft $y=-0,01{{\left( 0 \right)}^{3}}+0,4{{\left( 0 \right)}^{2}}-1,2\left( 0 \right)+8=8$$x=40$ geeft $y=-0,01{{\left( 40 \right)}^{3}}+0,4{{\left( 40 \right)}^{2}}-1,2\left( 40 \right)+8=-40$Het differentiequotiënt op $\left[ 0,40 \right]$is $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-40-8}{40-0}=\frac{-48}{40}=-1,2$ GR: Invoer:   ${{y}_{1}}=-0,01{{x}^{3}}+0,4{{x}^{2}}-1,2x+8$ Optie: Calc $\to $  ${{\left[ \frac{\text{d}y}{\text{d}x} \right]}_{x=3}}=0,93$Uitkomst: De snelheid is 0,93 Bij de dalende delen van de grafiek $f$ horen negatieve hellingen. De hellinggrafiek ligt daar dus onder de $x$-as. In de toppen van $f$ is de helling nul. De hellinggrafiek snijdt daar de $x$-as. Tussen de beide toppen is de grafiek van $f$ stijgend. Bij een stijging hoort een positieve helling. Oftewel, de hellinggrafiek ligt daar boven de $x$-as.  $f(x)=-4{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+7x+11$ geeft ${f}'(x)=-12{{x}^{2}}-4x+7$$g(t)=2{{t}^{5}}-3({{t}^{3}}+4)=2{{t}^{5}}-3{{t}^{3}}-12$ geeft ${g}'(t)=10{{t}^{4}}-9{{t}^{2}}$ Let op! We differentiëren naar $b$, dus $a$ is een constante (en deze behandelen we alsof het een getal is)$h(b)=2{{b}^{5}}+7a{{b}^{2}}+2{{a}^{2}}+9b$ geeft ${h}'(b)=10{{b}^{4}}+14ab+9$ Manier 1:$j(p)={{(2{{p}^{3}}+4)}^{2}}=4{{p}^{6}}+16{{p}^{3}}+16$ geeft ${j}'(p)=24{{p}^{5}}+48{{p}^{2}}$Manier 2:We kunnen ook gebruik maken van de kettingregel. De functie $j(p)$ is samengesteld uit de schakels $f\left( g \right)$en $g(p)$, met $f\left( g \right)={{g}^{2}}$ en $g(p)=2{{p}^{3}}+4$.We differentiëren de functie op de normale manier en daarna vermenigvuldigen we nog met de afgeleide van wat er tussen de haakjes staat.$j(p)={{(2{{p}^{3}}+4)}^{2}}$ geeft \[{j}'(p)=\underbrace{2\cdot (2{{p}^{3}}+4)}_{{f}'\left( g\left( p \right) \right)}\cdot \underbrace{6{{p}^{2}}}_{{g}'\left( p \right)}=12{{p}^{2}}(2{{p}^{3}}+4)=24{{p}^{5}}+48{{p}^{2}}\]  Eerst de functie herschrijven naar een vorm die makkelijker te differentiëren is:f(x)=6(3x−1)2,3=6(3x−1)−2,3f(x)=\frac{6}{{{(3x-1)}^{2,3}}}=6{{\left( 3x-1 \right)}^{-2,3}}f(x)=(3x−1)2,36​=6(3x−1)−2,3Vervolgens differentiëren we de functie waarbij we de kettingregel gebruiken. Dus vermenigvuldigen met de afgeleide van wat er tussen haakjes staat:f′(x)=−13,8(3x−1)−3,3⋅3=41,4(3x−1)−3,3=41,4(3x−1)3,3{f}'(x)=-13,8{{\left( 3x-1 \right)}^{-3,3}}\cdot 3=41,4{{\left( 3x-1 \right)}^{-3,3}}=\frac{41,4}{{{\left( 3x-1 \right)}^{3,3}}}f′(x)=−13,8(3x−1)−3,3⋅3=41,4(3x−1)−3,3=(3x−1)3,341,4​Vergeet niet om de afgeleide zonder negatief exponent te schrijven.We zien hier een functie met een wortel. Wanneer we een functie differentiëren, met onder het wortelteken een variabele, dan mogen we gebruiken dat [x]′=12x{{\left[ \sqrt{x} \right]}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}}[x​]′=2x​1​. Wanneer we dit combineren met de kettingregel, dan moeten we nog vermenigvuldigen met de afgeleide van hetgeen onder het wortelteken staat. Het is handig om de volgende regel uit het hoofd te leren: f(x)=g(x)=12g(x)⋅g′(x)f\left( x \right)=\sqrt{g\left( x \right)}=\frac{1}{2\sqrt{g\left( x \right)}}\cdot {g}'\left( x \right)f(x)=g(x)​=2g(x)​1​⋅g′(x)Wanneer je deze regel gebruikt, hoef je de tussenstappen niet te noteren. We krijgen: p(q)=7q5−2p(q)=7\sqrt{{{q}^{5}}-2}p(q)=7q5−2​ geeftp′(q)=7⋅12q5−2⋅5q4=35q42q5−2{p}'(q)=7\cdot \frac{1}{2\sqrt{{{q}^{5}}-2}}\cdot 5{{q}^{4}}=\frac{35{{q}^{4}}}{2\sqrt{{{q}^{5}}-2}}p′(q)=7⋅2q5−2​1​⋅5q4=2q5−2​35q4​ Eerst 5b4\frac{5}{\sqrt[4]{b}}4b​5​ schrijven als 5b−145{{b}^{-\tfrac{1}{4}}}5b−41​ :m(b)=b3−5b4=b3−5b−14m(b)={{b}^{3}}-\frac{5}{\sqrt[4]{b}}={{b}^{3}}-5{{b}^{-\tfrac{1}{4}}}m(b)=b3−4b​5​=b3−5b−41​ geeftm′(b)=3b2+54b−54=3b2+54⋅1b54=3b2+54b54=3b2+54b54{m}'(b)=3{{b}^{2}}+\tfrac{5}{4}{{b}^{-\tfrac{5}{4}}}=3{{b}^{2}}+\tfrac{5}{4}\cdot \frac{1}{{{b}^{\tfrac{5}{4}}}}=3{{b}^{2}}+\frac{5}{4{{b}^{\tfrac{5}{4}}}}=3{{b}^{2}}+\frac{5}{4\sqrt[4]{{{b}^{5}}}}m′(b)=3b2+45​b−45​=3b2+45​⋅b45​1​=3b2+4b45​5​=3b2+44b5​5​Let op dat je het gebroken exponent niet laat staan.Ook hier maken we gebruik van de kettingregel:g(y)=−3(0,4y2+3y)1,6g\left( y \right)=-3{{(0,4{{y}^{2}}+3y)}^{1,6}}g(y)=−3(0,4y2+3y)1,6 geeft g′(y)=−4,8(0,4y2+3y)0,6⋅(0,8y+3)=(−3,84y−14,4)(0,4y2+3y)0,6{g}'\left( y \right)=-4,8{{(0,4{{y}^{2}}+3y)}^{0,6}}\cdot \left( 0,8y+3 \right)=\left( -3,84y-14,4 \right){{(0,4{{y}^{2}}+3y)}^{0,6}}g′(y)=−4,8(0,4y2+3y)0,6⋅(0,8y+3)=(−3,84y−14,4)(0,4y2+3y)0,6. 12:00 uur, dus $t=5$, want $t=0$ is 7:00 uur.Van $t=0$ naar $t=5$ is de temperatuur  $1+3+1,5-0,5-1=4{}^{\circ }C$ gestegen. De temperatuur die is gemeten om 7:00 uur bij de eerste meting is $18-4={{14}^{{}^\circ }}C$Op $\left[ 0,3 \right]$ is de gemiddelde verandering $[\frac{\Delta C}{\Delta t}=\frac{1+3+1,5}{3}=1,83\cdots]$ De gemiddelde snelheid waarmee de temperatuur toenam is ongeveer 1,83 graden Celsius per uur.We maken eerst een tabel waarbij we gebruik maken van het gegeven dat de temperatuur om 12:00 uur $18 {{}^{\circ }}C$ was. Dus  $t=5$ geeft $C=18$. Vervolgens gebruiken we de toe- en afnames die we uit het toenamediagram kunnen halen. $t$$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$$9$$C$$14$$15$$18$$19,5$$19$$18$$18,5$$20$$19$$18$De punten zetten we in een assenstelsel en vervolgens verbinden we de punten. Elke grafiek die door de tien punten gaat, is een grafiek die bij het toenamediagram past. Een voorbeeld van een grafiek zie je hieronder. 50000 stuks geeft  $p=50$.80000 stuks geeft  $p=80$.De procentuele toename van de winst is $\frac{W(80)-W(50)}{W(50)}\times 100%\approx 164,3%$Op $\left[ 60,80 \right]$is de gemiddelde verandering van de winst $\frac{W(80)-W(60)}{80-60}=13,7$ euro per stukWe moeten iets aantonen met de afgeleide. We beginnen met het berekenen van de afgeleide functie.$W\left( p \right)=-0,01{{p}^{3}}+1,32{{p}^{2}}-23,1p-539$ geeft ${W}'\left( p \right)=-0,03{{p}^{2}}+2,64p-23,1$Om aan te tonen dat de winst toeneemt voor $p=45$, moeten we laten zien dat $W'(45)>0$.$W'\left( 45 \right)=-0,03{{\left( 45 \right)}^{2}}+2,64\left( 45 \right)-23,1=34,95$ $W'(45)=34,95>0$, dus de winst neemt toeMaximale winst, dus ${W}'\left( p \right)=0$${W}'\left( p \right)=0$ geeft $-0,03{{p}^{2}}+2,64p-23,1=0$GR: Invoer: ${{y}_{1}}=-0,03{{p}^{2}}+2,64p-23,1=0$ Optie: Calc $\to $  Zero geeft $x=9,85…$ en $x=78,14\cdots $.Plot nu de originele grafiek ( ${{y}_{2}}=-0,01{{p}^{3}}+1,32{{p}^{2}}-23,1p-539$) en controleer waar het maximum ligt. Dat is bij $x=78,14…$ en $y=944,58\cdots $Uitkomst: De winst is maximaal bij een productie van 78147 en de winst is € 944582. Ook nu moeten we iets aantonen met behulp van de afgeleide, dus berekenen we eerst de afgeleide.$\frac{dT}{dp}=-0,3{{p}^{2}}+3c\cdot p$$\frac{dT}{dp}=0$geeft                        $-0,3{{p}^{2}}+3c\cdot p=0$$p\left( -0,3p+3c \right)=0$$p=0\vee -0,3p+3c=0$$p=0\vee 0,3p=3c$$p=0\vee p=10c$Uit de schets volgt dat de winst maximaal is voor $p=10c$.Invullen van $p=10c$ in de formule van $T$ geeft:${{T}_{\text{MAX}}}=-0,1{{\left( 10c \right)}^{3}}+1,5c\cdot {{\left( 10c \right)}^{2}}=-0,1\cdot 1000{{c}^{3}}+1,5c\cdot 100{{c}^{2}}=-100{{c}^{3}}+150{{c}^{3}}=50{{c}^{3}}$

Deze toets bestellen?

Voordeligst
Lidmaatschap ToetsMij
€ 12,99/mnd
  • Snel nog even wat toetsen oefenen? Kies dan onze meest flexibele optie.
  • Je kunt maandelijks opzeggen.
  • Toegang tot alle vakken bij ToetsMij.
Kies dit abonnement

Wat krijg je bij een abonnement?

  • Toegang tot alle vakken
  • 20 kwalitatieve oefentoetsen per maand
  • Antwoorden, uitwerkingen en toelichtingen
  • Geen stress voor het maken van toetsen
Eenvoudig en veilig betalen met iDEAL of creditcard
3 maanden ToetsMij
€ 12,99
€ 10,99/mnd
  • Voordelig en flexibel. Ideaal als je maar een paar maanden toetsen hoeft te gebruiken.
  • Betaal per kwartaal en bespaar hiermee 2 euro per maand.
  • Toegang tot alle vakken bij ToetsMij.
Kies dit abonnement

Wat krijg je bij een abonnement?

  • Toegang tot alle vakken
  • 20 kwalitatieve oefentoetsen per maand
  • Antwoorden, uitwerkingen en toelichtingen
  • Geen stress voor het maken van toetsen
Eenvoudig en veilig betalen met iDEAL of creditcard
1 jaar ToetsMij
€ 12,99
€ 7,50/mnd
  • Favoriete keuze van meer dan 70% van de gebruikers.
  • Betaal slechts 90 euro per jaar en bespaar hiermee 65 euro.
  • Geniet van een volledig jaar toegang tot alle vakken bij ToetsMij.
Kies dit abonnement

Wat krijg je bij een abonnement?

  • Toegang tot alle vakken
  • 20 kwalitatieve oefentoetsen per maand
  • Antwoorden, uitwerkingen en toelichtingen
  • Geen stress voor het maken van toetsen
Eenvoudig en veilig betalen met iDEAL of creditcard

Dit zeggen leerlingen en ouders

10

Cijfers omhoog

Onze zoon had in februari zeker 12 minpunten. Hij is gestart met oefenen via Toets mij en heeft een geweldige eindsprint getrokken en afgelopen week bijna het onmogelijke waargemaakt. Er zijn nog maar 2 minpunten over en nog niet alle toetsen zijn terug. Het heeft onze zoon enorm geholpen, omdat er breed getoetst wordt en de vraagstelling, zoals van hem begrepen, overeenkomt met de toets. Als je de oefentoetsen goed kunt maken, beheers je de stof echt goed!

AP
9.0

Fijn dat leerlingen alvast een keer een toets kunnen oefenen die eruit ziet zoals op school.

Wij hebben sinds kort Toetsmij, omdat onze dochter het erg lastig heeft met Wiskunde. Op deze manier kan ze het hoofdstuk oefenen met een toets die qua vraagstelling overeenkomt met de toetsen op school. Nu kan ze dit dus eerst oefenen voordat ze de echte toets moet doen. Als docent Engels die werkt met Of Course en All Right kan ik bevestigen dat de toetsen grotendeels overeenkomen met de vraagwijze van de methode zelf. Dat is dus heel fijn voor leerlingen om te oefenen. We hadden heel even een dingetje met het nakijken, want de uitwerkingen werden niet goed weergegeven. Even een mailtje en binnen een dag reactie en ICT ging meteen aan de slag met het herstellen van de uitwerkingen. Super contact, goede dienstverlening! Aanrader!

Lelani van den Berg
10

Zéér tevreden!!

Lid geworden voor mijn zoon in leerjaar 1 van (toen 13) inmiddels 15. Hij zit nu in leerjaar 3 HAVO. Elk boek is makkelijk te vinden en alsmede mailt met een probleem omdat hij Duits krijgt uit een boek van leerjaar 2 word dit zelfs op zondag binnen een half uur opgelost en toegevoegd aan ons account! Zo’n toffe service zie je niet vaak meer! Dus wij zijn zéér tevreden. Sinds we het nu weer gebruiken (tijdje niet gebruikt) scoort hij weer voldoendes en zelf voor wiskunde een 8.8!

Linda Ockers

Zoek in meer dan 10.000 toetsen

Echte toetsvragen, precies aansluitend op jouw lesmethode en leerjaar. Voor klas 1 t/m 6 van vmbo-t t/m gymnasium.

Ik zit in het
en doe
ik wil beter worden in