Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 2 - Hoofdstuk 8 - Logaritmische functies oefentoetsen & antwoorden

$^{g}\log(a) +^{g}\log(b)= ^{g}\log(a \cdot b)$$^{g}\log(a) - ^{g}\log(b)=^{g}\log(\frac{a}{b})$$p \cdot ^{g}\log(a)=^{g}\log(a^p)$ $g^{^{g}\log(a)}=a$$^{g}\log(m)=\frac{^{n}\log(m)}{^{n}\log(g)}$Als $g^y=x$ dan $^{g}\log(x)=y$ Het snijpunt met de x-as krijgen we door $y=0$ te nemen. Dit geeft $0=^{g}\log(ax+b)$. Er geldt dat als $^{g}\log(x)=y$ dan $g^y=x$ In dit geval levert dat $g^0=1=ax+b$.Halen we $b$ naar links en delen we daarna door $a$: $x=\frac{1-b}{a}$.   De functie $f(x)=^{g}\log(ax+b)$ is niet gedefinieerd voor $ax+b\leq 0$.We onderzoeken wanneer $ax+b$ gelijk is aan $0$: $ax+b=0$.Dit geeft $ax=-b$ en dus $x=\frac{-b}{a}$.De verticale asymptoot is dus $x=\frac{-b}{a}$. Exact uitrekenen betekent dat je logaritmen niet mag benaderen met je GR. Een logaritme zonder grondtal heeft altijd grondtal 10.Grondtal is 10 en bij allebei de logaritmen gelijkRekenregels voor logaritmen $^{g}\log(a) + ^{g}\log(b)=^{g}\log(a\cdot b)$Dus $\log(2)+\log(3)=$\log(6) $    Rekenregels voor logaritmen $g^{^{g}\log(a)}=a$Dus $10^{ log(6)}=10^{^{10}\log(6)}=6$Er geldt dat als $^{g}\log(x)=y$ dan $g^y=x$ $^{2}\log(8)=3$ want $2^3=8$$^{2}\log(32)=5$ want $2^5=32$$^{2}\log(8)+^{2}\log(32)=3+5=8$   Er geldt $^{g}\log(m)=\frac{^{n}\log(m)}{^{n}\log(g)}$ (dit geldt twee kanten op)In deze opgave geldt dus dat $b=5$, $a=3$ en $g=7$. Dus 7log(3) $\frac{^{5}\log(3)}{^{5}\log(7)}=^{7}\log(3)$.       Er geldt dat als $^{g}\log(x)=y$ dan $g^y=x$$^{0,5}\log(32)=y$ kan dus worden geschreven worden als $\left ( \frac{1}{2} \right )^y=32$. Het getal $32$ kan worden geschreven als macht van $\frac{1}{2}$: $32=\left ( \frac{1}{2} \right )^{-5}$.De vergelijking die we moeten oplossen is: $\left ( \frac{1}{2} \right )^y=\left ( \frac{1}{2} \right )^{-5}$Hieruit volgt dat $y=-5$ Er geldt dat als $^{g}\log(x)=y$ dan $g^y=x$$^{3}\log(\frac{1}{27})=y$ kan worden geschreven als  geschreven worden als $ 3^y=27$. Het getal $\frac{1}{27}$ kan worden geschreven als macht van $3$: $\frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3}$.De vergelijking die we moeten oplossen is: $3^y=3^{-3}$Hieruit volgt dat $y=-3$ Er geldt dat $p \cdot ^{g}\log(a)=^{g}\log(a^p)$$2 \cdot ^{4}\log(8)=^{4}\log(8^2)=^{4}\log(64)$$^{4}\log(64)=y$ kan worden omschreven tot $4^y=64=4^3$Er geldt dus dat $y=3$. Zorg er eerst voor dat de grondtallen gelijk zijn: $^{16}\log(8)=\frac{^{4}\log(8)}{^{4}\log(16)}=\frac{^{4}\log(8)}{2}$.Dit geeft $^{4}\log(a)+\frac{^{4}\log(8)}{2}=^{4}\log(a)+0.5\cdot ^{4}\log(a)=R$.Herleiden geeft $ 1.5 \cdot ^{4}\log(a)=R$. Links en rechts delen door $1.5$ geeft:  $^{4}\log(a)=\frac{R}{1.5}=\frac{2R}{3}$Er geldt dat als $^{g}\log(x)=y$ dan $g^y=x$ dus $4^{\frac{2R}{3}}=a$.We kunnen nog verder herleiden want $4^{\frac{2R}{3}}= \left (  4^{\frac{2}{3}}\right )^R$ en dit is te schrijven als $a=2.52^R$.Conclusie: $a=2.52^R$Beide kanten delen door $2$: $4^{(2x^2-1)}=256$De rechterkant is te schrijven als macht van $4$: $4^{(2x^2-1)}=4^4$,Als $g^a=g^b$ dan $a=b$ dus $2x^2-1=4$De $-1$ naar rechts halen: $2x^2=5$Links en rechts delen door 2: $x^2=2.5$. Conclusie: $x=-\sqrt(2.5)$ of $x=\sqrt(2.5)$Breng eerst de 8 van links naar rechts: $2^{x-3}=9$Er geldt dat als $^{g}\log(x)=y$ dan $g^y=x$ en andersom dus $^{2}\log(9)=x-3$.Links en rechts $3$ optellen: $x=^{2}\log(9)+3$. We weten dat  $^{g}\log(x)$ een stijgende functie is voor $g>1$ en dalend voor $0<g<1$. De functie $f(x)$ is dalend. Dus a ligt op het interval $<0,1>$De verticale asymptoot van $\log(x)$ ligt bij $x=0$ want volgens de basisregel is het getal achter de logaritme altijd groter dan $0$, je kunt dus voor $x$ alleen positieve getallen invullen. $\log(x)$ bestaat dus voor alle $x>0$ en heeft een verticale asymptoot bij $x=0$.Hier staat $\log(x-b)$ dus een verticale asymptoot bij $x-b=0$Voor $b=3$ wordt dit $x-3=0$Formule van de verticale asymptoot is dus $x=3$Het nulpunt van $f$ is het snijpunt van $f$ met de $x$-as. Daar geldt dat $y=0$ dus $f(x)=0$. Omdat hier geldt $a=3$ en $b=-3$ geldt dus $^3 \log(x - -3)+2=0$Deze vergelijking oplossen geeft $^3 \log(x+3)=-2$Volgens de definitie geldt als $^a \log(x) = c$ dan is $x= a^c$, dus hier $x+3= 3^{-2}$$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$, dus wordt $x+3= \frac{1}{9}$Dus dan is de $x$-coördinaat van het nulpunt $x=3- \frac{1}{9}= 2 \frac{8}{9}$Conclusie: de $x$-coördinaat van het nulpunt van f is $2 \frac{8}{9}$De grafieken zijn elkaars spiegelbeeld t.o.v. de lijn $y=x$. Met andere woorden, als het punt $A (p,q)$ op de grafiek van $k$ ligt, dan ligt het punt $B(q,p)$ op de grafiek van $m$.     Voorbeeld: $k(4)= 3^4 = 81$, dus het punt $(4,81)$ ligt op de grafiek van $k$.$m(81)= ^3\log (81)= 4$, dus het punt $(81,4)$ ligt op de grafiek van $m$. De afname is $4 \%$ per uur dus na een uur is er nog $96 \%$ overDus de groeifactor is $\frac{96}{100}=0.96$ per uurDe hoeveelheid na $2$ uur is $0.96 \cdot 0.96=0.96^2$ van de oorspronkelijke waarde en de hoeveelheid na $t$ uur: $0.96 \cdot …\cdot 0.96=0.96^t$.Minder dan $50 \%$ over na $t$ uur: dan geldt: $0.96^t < 0.5$Eerst uitrekenen $0.96^t = 0.5$ (gebruik hierbij de regel $^{g}\log(x)=y$ dan en slechts dan als $g^y=x$.$t = ^{0.96} \log (0.5)= 16.98$ uurDus na $16$ uur $+0.98 \cdot 60$ minuten is er precies $50 \%$ over (gebruik een kruistabel)$1$ uur$60$ minuten$0.98$ uur? Conclusie: Na $16$ uur en $59$ minuten is er minder dan $50 \%$ over. Als $N=8$ dan $\log(W)=0.075\cdot 8 +0.4=1$Er staat geen grondtal bij de logaritme dus het grondtal is gelijk aan $10$We hebben dus $^{10}\log(W)=1$Er geldt dat $^{g}\log(x)=y$ dan $g^y=x$ en andersomDus $W=10^1=10$.Als $W=1500$ dan $^{10}\log(1500)=0.075N8 +0.4$$^{10}\log(1500)= 3.17609…=0.075N+0.4$Links en recht $0.4$ afhalen: $2.77609…=0.075N$Links en rechts delen door $0.075$ geeft: $N=37.01$Als er geen grondtal staat is het grondtal $10$ dus $^{10} \log(W) =0.0075N +0.4$Volgens de definitie geldt: $^{10} \log(W)= c$ dan is $W=10^c$Hier dus $W=10^{0.0075N + 0.4}$Volgens de rekenregel voor machten $x^{a+b}=x^a \cdot x^b$ geldt dan $W=10^{0.0075N} \cdot 10^{0.4}$Volgens een andere rekenregel voor machten $x^{ab} = (x^a)^b$ geldt dan $W=(10^{0.0075})^N \cdot 10^{0.4}$Kijkend naar de gewenste vorm van de formule van de opgave draai je de volgorde van de vermenigvuldiging om: $W=10^{0.4}  \cdot (10^{0.0075})^N$Dan geldt $b=10^{0.4}$ en $g=10^{0.0075}$Afronden op 1 decimaal geeft dan $b=2.5$ en $g=1.2$ Het domein van een functie $f(x)$ geeft aan welke mogelijke waarden je in de functie kunt invullen voor $x$. Voor $f(x)= \log(x)$ kun je voor $x$ alleen positieve getallen invullen. In deze functie staat echter niet $\log(x)$ maar $\log(2x-1)$. Dit betekent dat $2x-1$ dus positief moet zijn.Hier geldt dus $2x-1>0$ en deze ongelijkheid moet je oplossen.$2x > 1$, dus beide kanten van de ongelijkheid delen door $2$. Dit geeft $x >0.5$.Dus het domein is $D_f$: $x > 0.5$In de opgave staat dat je exact moet oplossen dus je mag hier niet de ongelijkheid oplossen met behulp van je GR. (Tip: je mag wel je antwoord controleren met de GR)Een ongelijkheid oplossen doen we altijd in drie stappen: Stap 1: Los de vergelijking opStap 2: Maak een schets van de grafiekenStap 3: Lees af. Eerst stap 1:$f(x)=3$ invullen in het functievoorschrift geeft $^3 \log(2x-1) +4= 3$Links en rechts $4$ aftrekken geeft: $^3 \log(2x-1) = -1$Er geldt dat $^{g}\log(x)=y$ dan en slechts dan als $g^y=x$. Je kan bovenstaande dan herschrijven: $2x-1= 3^{-1}$$3^{-1}$ is volgens de definitie $\frac{1}{3^1} =\frac{1}{3}$, dus dan wordt dit $2x-1= \frac{1}{3}$$2x-1= \frac{1}{3}$, want $3^{-1}$ is volgens de definitie $\frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$Beide kanten van de vergelijking plus $1$ wordt dan $2x= 1 \frac{1}{3} =\frac{4}{3}$Beide kanten delen door $2$ geeft dan $x=\frac{2}{3}$Stap 2: Plot $Y_1 = f(x)$ en $Y_2 = 3$ op je GR, Venster: $0 \leq x \leq 10$ en $0\leq y \leq 10$ Stap 3: Aflezen: In het schets zie je dat $f(x)$ rechts van $x=\frac{2}{3}$ groter is dan $3$, omdat rechts van $\frac{2}{3}$ de grafiek van $f$ boven de lijn $y=3$ ligtConclusie: $f(x) > 3$ als $x> \frac{2}{3}$ Omdat in bak 1 vier keer zoveel larven zitten als bak 2 kun je wiskundig de vergelijking opstellen: $A_1 = 4 \cdot A_2$Verder geldt $B_1=B_2$ omdat we met een gelijk aantal beginnenHet invullen in de formules geeft dan de vergelijking: $B_1\cdot 2^t=4\cdot B_1\cdot ^{2}\log(t)$.Links en rechts delen door $B_1$ geeft: $2^t=4\cdot ^{2}\log(t)$Volgens de rekenregel voor logaritmen $p \cdot ^g\log(a) = ^g\log(a^p)$ geldt hier dan $2^t = ^2\log(t^4)$Omdraaien van de vergelijking geeft $^2\log(t^4)=2^t$Er geldt dat $^{g}\log(x)=y$ dan en slechts dan als $g^y=x$, dus hier: $2^{2^t}=t^4$  Deze vergelijking is niet exact op te lossen. Wel groeit $2^{2^t}$ veel sneller dan $t^4$. Bijvoorbeeld bij $t=4$ geldt dat $2^{2^4}=2^16=2^{2\cdot 8}=(2^2)^8=4^8$ en dit is groter dan $4^4$. Bij $t=8$ is het verschil alleen maar meer gegroeid:   $t=8$ geldt dat $2^{2^8}=2^256=2^{4\cdot 64}=(2^4)^64=16^64$ en dit is groter dan $8^4$   Maak dus een tabel met kleine waarden voor $t$$t$$0$$1$$2$ $2^{2^t}$ $2$$4$$16$$t^4$ $0$$1$$16$Dan geldt dus $t=2$ dagen dus $2 \cdot 24=48$ uur, want in een dag zitten $24$ uur.Conclusie: Na $48$ uur zitten er in bak 1 vier keer zoveel larven als in bak 2.Je bent op zoek naar het moment waarop de hoeveelheid in bak 1 hetzelfde is als de hoeveelheid in bak 2 dus dan moet gelden $A_1 = A_2$.$B_1 = 200$, $t=8$ en $A_1 = A_2$ invullen in de formules geeft $200 \cdot 2^8 = B_2 \cdot ^2\log(8)$$2^8 = 256$ en $^2\log(8)=3$ invullen geeft $200 \cdot 256= B_2 \cdot 3$ en dat is hetzelfde als $B_2 \cdot 3 = 200 \cdot 256$Vervolgens delen door $3$ geeft $B_2=200 \cdot \frac{256}{3}=17067$Conclusie: in bak 2 zaten bij aanvang $17067$ larven. $^{5}\log(x^3) - 4 = 3 \cdot \frac{^5\log(\frac{1}{x^2})}{^5\log(125)}$$^5\log(x^3) - 4 = 3 \cdot \frac{^5\log(\frac{1}{x^2})}{3}$, want $^5\log(125) = $$^5\log(x^3) - 4 = ^5\log(\frac{1}{x^2})$, $^5\log(\frac{1}{x^2})$ werd $\cdot 3$ gedaan en gedeeld door $3$.$^5\log(x^3) - ^5\log(\frac{1}{x^2}) = 4$, logaritmen naar links en beide kanten $4$ optellen.$^5\log(\frac{x^3}{\frac{1}{x^2}}) = 4$, want $\log(a) – \log(b) = \log(\frac{a}{b})$$^5\log(\frac{x^3}{x^{-2}}) = 4$, want $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$$^5\log(x^5)=4$, want machten delen dus exponenten aftrekken.$x^5 = 5^4 = 625$, want volgens de definitie geldt: als $^g\log(a) = c$ dan is $a = g^c$Deze vergelijking heeft maar één oplossing.Conclusie: $x = 5^e$ machtswortel uit $625$.