Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 2 - Hoofdstuk 10 - Functies bewerken oefentoetsen & antwoorden

De eerste transformatie is een verticale translatie. Als de grafiek van $f(x)$ met een afstand $d$ omhoog wordt geschoven, dan wordt de nieuwe functie $g(x) = f(x) + d$.De tweede transformatie is een horizontale translatie. Als de grafiek over een afstand met $c$ naar rechts wordt verschoven, dan wordt de nieuwe functie $g(x) = f(x-c)$. Dus iedere $x$ in de functie wordt vervangen door $x-c$.De eerste vermenigvuldiging is een vermenigvuldiging ten opzichte van de $x$-as. Als de grafiek wordt vermenigvuldigd met een factor $a$ dan wordt de nieuwe functie $g(x) = a \cdot f(x)$. Let op, als $f(x)$ uit meerdere termen bestaat dan moet deze functie $f(x)$ in zijn geheel tussen haakjes worden geschreven.De tweede vermenigvuldiging is een vermenigvuldiging ten opzichte van de $y$-as. Als de grafiek wordt vermenigvuldigd met een factor $b$ dan wordt de nieuwe functie $g(x) = f (\frac{1}{b} \cdot x)$. Let op, elke $x$ in de functie wordt nu dus vervangen door $\frac{1}{b}x$. De verticale asymptoot krijg je door te kijken voor welke $x$ de noemer gelijk is aan $0$. Dit geldt als $cx + d = 0$. Lossen we dit op, dan krijgen we door $d$ naar de andere kant te halen: $cx = -d$. Delen we nu links en rechts door $c$ dan krijgen we de verticale asymptoot $x = \frac{-d}{c}$.De horizontale asymptoot krijg je door te kijken wat er gebeurt als $x$ heel groot of heel klein wordt, dus bijvoorbeeld als $x = 1000000$ of $x = -1000000$. Merk op dat de $b$ niets meer bijdraagt aan de formule $ax+b$, omdat de eerste term $ax$ veel groter is. Dus $ax + b \approx ax$. Hetzelfde geldt voor $d$ in de noemer: $cx + d \approx cx$. We kunnen nu de functie herschrijven als $f(x) \approx \frac{ax}{cx} = \frac{a}{c}$. De verticale asymptoot is $y = \frac{a}{c}$. $p =-1$ geeft de functie $f_{-1}(x) = -2x^2$. Dit is een bergparabool door de oorsprong, waar ook het maximum zit. Kies een aantal waarden voor $x$ en bereken de bijbehorende $y$.$p=0$ geeft de functie $f_0(x) = 0x^2 = 0$. Dit is een rechte lijn op de $x$-as. $p=1$ geeft de functie $f_1(x) = 2x^2$. Dit is een dalparabool door de oorsprong, waar ook het minimum zit. Kies een aantal waarden voor $x$ en bereken de bijbehorende $y$.$p=2$ geeft de functie $f_2(x) = 4x^2$. Dit is een bergparabool door de oorsprong, waar ook het minimum zit. Kies een aantal waarden voor $x$ en bereken de bijbehorende $y$. Een vermenigvuldiging ten opzichte van de $y$-as met $-2$ betekent $g(x) = f(-\frac{1}{2}x)$ en dit levert op $g(x) = 2\cdot3^{- \frac{1}{2}x + 1}$, immers we vervangen iedere $x$door $-\frac{1}{2}x$. Een verschuiving van $3$ naar links betekent $h(x) = g(x+3)$. We vervangen dus iedere $x$ door $x+3$. Dit geeft $h(x) = 2 \cdot 3^{-\frac{1}{2}(x+3)+1} = 2 \cdot 3^{-\frac{1}{2}x - 1 \frac{1}{2} + 1} = 2 \cdot 3^{-\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}}$Een verschuiving van $4$ omhoog betekent $g(x) = f(x) + 4$. Dit geeft $g(x) = 2 \cdot 3^{x+1} + 4$ Een vermenigvuldiging ten opzichte van de $x$-as met $-3$ betekent:$h(x) = -3 \cdot g(x)$ en dit geeft $h(x) = -3 \cdot (2 \cdot 3^{x+1} + 4) = -6 \cdot 3^{x+1} - 12$ We schrijven $y = ^2\log(\frac{1}{4}x -2)$ om naar $x = 4 \cdot 2^y + 8$.Er geldt dat $y = ^g\log(x)$ dan en slechts dan als $g^y = x$. We kunnen dan $y = ^2\log(\frac{1}{4}x -2)$ omschrijven naar $2^y = \frac{1}{4}x -2$.Tel links en rechts $2$ op: $2^y + 2 = \frac{1}{4}x$Vermenigvuldig nu links en rechts met $4$: $4 \cdot (2^y + 2) = x$Haakjes wegwerken levert $x = 4 \cdot 2^y + 8$We willen de $k$ apart schrijven dus er moet zoveel mogelijk weg aan de rechterkant. Trek links en rechts $9$ af. We krijgen $l - 4 = 2 \sqrt{2k - 5}$We kunnen nu links en rechts kwadrateren: $(l-4)^2 = 4(2k - 5)$ (Tip: Let hierbij op de haakjes)Werk de haakjes weg: $l^2 - 8l + 16 = 8k - 20$Tel nu links en rechts $20$ op: $l^2 - 8l + 36 = 8k$Deel nu beide kanten door $8$: $\frac{1}{8}l^2 - l + 4 \frac{1}{2} = k$ De verticale asymptoot krijg je door te kijken voor welke $x$ de noemer gelijk is aan $0$. Dit geldt als $4x-5 = 0$. Lossen we dit op, dan krijgen we door $-5$ naar de andere kant te halen: $4x = +5$. Delen we nu links en rechts door $x$ dan krijgen we de verticale asymptoot $x = 1.25$.De horizontale asymptoot krijg je door te kijken wat er gebeurt als $x$ heel groot of heel klein wordt, dus bijvoorbeeld als $x = 1000000$ of $x = -1000000$. Merk op dat de $2$ niets meer bijdraagt aan de formule $2 - 8x$. Dus $2 - 8x \approx -8x$. Hetzelfde geldt voor $5$ in de noemer: $4x - 5 \approx 4x$. We kunnen nu de functie herschrijven als $f(x) \approx \frac{-8x}{4x} = \frac{-8}{4} = -2$. De horizontale asymptoot is $y = -2$. Een log-functie heeft geen horizontale asymptoot, wel een of meerdere verticale asymptoten. Om die te berekenen moeten we ons realiseren dat de functie $\log(x)$ niet bestaat voor $x \leq 0$. We moeten dus kijken wanneer het deel tussen haakjes gelijk wordt aan $0$.Er volgt een vergelijking: $x^4 - 16 = 0$. Breng eerst de $-16$ naar de andere kant. We krijgen: $x^4 = 16$. Deze vergelijking heeft $2$ oplossingen: $x = \sqrt[4]{16} = 2$ of $x = - \sqrt[4]{16} = -2$.De verticale asymptoten zijn dus $x=2 \vee x = -2$ De functie $g(x) = (x-2)^2 - 64$ en $f(x) = \sqrt[3]{x}$De functie $g(x) = 2x-1$ en $f(x) = \sin(x)$ Een vermenigvuldiging ten opzichte van de $y$-as met $b$ betekent $h(x) = g(\frac{1}{b}x) = \sqrt{\frac{1}{b}x}$. Dit moet gelijk zijn aan $\sqrt{-0.25x}$. Hieruit volgt dat $b = -4$. Oftewel een vermenigvuldiging ten opzichte van de $y$-as met $-4$.Bij een verschuiving in $x$-richting naar rechts met vervangen we $x$ door $x-c$. Er volgt dan dat $k(x) = h(x-c) = \sqrt{-0.25(x-c)}$ en dit moet gelijk zijn aan $\sqrt{-0.25x + 2}$. Er volgt dan dat $c=8$. Dit is dus een verschuiving met $8$ naar rechts!Een vermenigvuldiging ten opzichte van de $x$-as met $a$ betekent $l(x) = a \cdot k(x) = a \sqrt{-0.25x + 2}$. Hieruit volgt dat $a = 3$, dus een vermenigvuldiging ten opzichte van de $x$-as met $3$. Bij een verschuiving in $x$-richting naar rechts met vervangen we $x$ door $x-c$. Er volgt dan dat $h(x) = g(x-c) = \sqrt{x-c}$ en dit moet gelijk zijn aan $\sqrt{x+2}$. Er volgt dan dat $c = -2$. Dit is dus een verschuiving met $2$ naar links! Een vermenigvuldiging ten opzichte van de $y$-as met $c$ betekent $k(x) = h(\frac{1}{b}x) = \sqrt{\frac{1}{b}x+2}$. Dit moet gelijk zijn aan $\sqrt{-0.25x + 2}$. Hieruit volgt dat $b=-4$. Oftewel een vermenigvuldiging ten opzichte van de $y$-as met $-4$.Een vermenigvuldiging ten opzichte van de $x$-as met $a$ betekent $l(x) = a \cdot k(x) = a \sqrt{-0.25x + 2}$. Hieruit volgt dat $a =3$, dus een vermenigvuldiging ten opzichte van de $x$-as met $3$. We moeten de vergelijking $50 = \frac{100}{1 + 3000 \cdot 0.5^t}$ oplossen. Dat hoeft niet met de hand en kan dus met de GR.Invoer: $y_1 = \frac{100}{1 + 3000 \cdot 0.5^t}$ en $y_2 = 50$Venster: $0 \leq x \leq 20$ en $0 \leq y \leq 60$Optie: snijpunten. Dit geeft $t = 11.5507 \approx 11.6$ jaar“Op den duur” betekent dat $t$ heel groot is. Dan gaat $0.5^t$ naar $0$, want je neemt steeds de helft van de helft. (Of: het is een exponentiële groei met groeifactor tussen $0$ en $1$, dus deze daalt naar $0$).$3000 \cdot 0.5^t$ wordt dan $300 \cdot 0 = 0$De noemer $1 + 3000 \cdot 0.5^t$ gaat nu naar $1 + 0 = 1$   Omdat $P(t) = \frac{100}{1 + 3000 \cdot 0.5^t}$ krijgen we dat $P(t) = \frac{100}{1} = 100$. Het percentage zal dus $100$ benaderen als $t$ groot wordt.Tip: Als je je antwoord wilt controleren, plot je de grafiek en kijkt wat er gebeurt voor grote waarden voor $t$, of je bekijkt de tabel voor grote waarden voor $t$. De functie $g(x) = (x-2)^2 - 64$ kan verkregen worden uit de standaardfunctie $x^2$ door de grafiek $2$ naar rechts te schuiven en $64$ omlaag. $x^2$ heeft als top $(0,0)$ want het is een dalparabool en alle $y$-waarden zijn positief door het kwadraat. $g(x) = (x-2)^2 - 64$ heeft dus als top $(2,-64)$.We moeten ons een aantal zaken realiseren om de top te vinden van $h(x) = \sqrt[3]{(x-2)^2 - 64}$. Deze worden in een aantal stappen weergegeven.Stap 1: Van deze functie moeten we nu de derdemachtswortel nemen. De derdemachtswortel van een positief getal blijft een positief getal, de derdemachtswortel van een negatief getal is ook een negatief getal. Zie onderstaand figuur.Stap 2: De $y$-waarde van top van $g(x)$ is negatief. De $y$-waarde van de top van $h(x)$ is dus ook negatief.Stap 3: De $x$-waarde van top van $g(x)$ is $x=2$. De $y$-waarde van de top van $h(x)$ is ook $x=2$ omdat de afstand van $g(x)$ tot de $x$-as in $x=2$ het grootst is, geldt dit ook bij $x =2$ voor $h(x)$. Stap 4: De afstand tussen de $y$-waarde van top van $g(x)$ en de $x$-as is $64$. Nemen we hier de derdemachtswortel van dan geeft dit $4$. Immers $4^3 = 64$. Stap 5. Stap 2 in combinatie met stap 4 geeft dat de $y$-waarde van de top van $h(x)$ gelijk is aan $-4$.De coördinaten van de top van grafiek $h(x)$ zijn $(2,-4)$. Zie ook bovenstaande figuur. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is $(32p + 8)$: dat is namelijk de uitdrukking vóór de $x$ in $y = (32p + 8)x - 36p - 8$. (Bedenk dat de formule van een lijn is: $y=ax+b$, waar $a$ de richtingscoëfficiënt is). Er is ook een andere manier om de richtingscoëfficiënt te bepalen. Daarvoor moeten we eerst weten wat de $y$-waarde is bij $x=2$. We vullen daarvoor $x=2$ in in het functievoorschrift van $f_p(x)$: $f_p(2) = 16p + 8$.We tekenen nu het volgende figuur. De raaklijn moet dus gaan door de punten $(2, 16p + 8)$ en $(4,20)$. We noemen deze punten voor het gemak $A$ en $B$.We kunnen het verschil in $x$ richting berekenen (zie figuur): $\Delta x = 4-2 = 2$We kunnen ook het verschil in de $y$-richting berekenen (zie figuur): $\Delta = 20 - (16p + 8) = 12 - 16p$We kunnen nu de richtingscoëfficiënt berekenen met de formule $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{12 - 16p}{2} = 6 - 8p$We hebben nu twee uitdrukkingen voor de richtingscoëfficiënt. Namelijk $6 - 8p$ en $32p + 8$. Deze moeten uiteraard aan elkaar gelijk zijn. We stellen ze dus aan elkaar gelijk en lossen de lineaire vergelijking op. $6-8p = 32p + 8$ geeft $40- = -2$. Links en rechts delen door $40$ geeft $p = \frac{-2}{40} = \frac{-1}{20}$