Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 2 - Hoofdstuk 11 - Differentiëren oefentoetsen & antwoorden

a) De raaklijn $l$ aan de grafiek van $f$ in een punt $A$ voldoet aan de volgende twee voorwaarden (bekijk ook de illustratie):(1) lijn  $l$ en $f$ gaan beide door het punt $A$(2) in het punt $A$ is de richtingscoëfficiënt van raaklijn $l$ gelijk aan de helling van de grafiek van $f$ in het punt $A$.b) Stel eerst vast dat in het geval van een extreme waarde (een maximum of een minimum) de raaklijn aan de grafiek horizontaal is (zie illustratie).(1) DifferentieerWe bepalen eerst de afgeleide functie door de afgeleide van $f$ te bepalen want de afgeleide $f(x)$ voor een bepaalde $x$ geeft de helling voor die waarde van $x$.(2) Lost exact op: $f(x)=0)$ Als de raaklijn aan de grafiek horizontaal is, dan is de helling van deze raaklijn gelijk aan $0$. De betekent $f(x)=0$  want $f’(x)$ geeft de helling van de raaklijn aan de grafiek voor de waarde van $x$.(3) Plot de grafiek en kijk of er sprake is van een minimum of een maximum.(4) Bereken de extreme waardeIn de vorige stap heb je vastgesteld of er sprake is van een extreme waarde voor een bepaalde waarde van $x$. Door bijbehorende $f(x)$ te bepalen wordt een punt op de grafiek verkregen.  c) Een raaklijn aan een grafiek is een rechte lijn en heeft de algemene vorm  $y=ax+b$ (zie illustratie). De raaklijn gaat door het raakpunt $A(p,f(p))$ aan de grafiek van $f$ en heeft richtingscoëfficiënt $f’(p)$.De afgeleide waarde $f’(p)$ is gelijk aan de helling van de raaklijn aan de grafiek van $f$ ofwel gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in $A$. Er geldt $a = f’(p)$.De raaklijn gaat door het punt $A(p, f(p))$Door het invullen van bovenstaande in de standaardvergelijking van de raaklijn $k$ kan ook het startgetal $b$ worden bepaald:$y=f’(p) \cdot x+b$Deze lijn gaat door $A(p,f(p))$Het invullen van de coördinaten van $A$ levert$f(p)=f’(p)\cdot p+b$Dus b kun je dan berekenen met:  $b=f(p)-f’(p)\cdot p$Vervolgens kun je de raaklijn opstellen $y=f’(p)\cdot x+ f(p)-f’(p)\cdot p$. Tip: Als de grafiek er niet bij staat is het altijd handig deze wel te plotten. Dan heb je een idee hoe de grafiek eruit ziet en kun je ook eenvoudig bepalen of de raaklijn daalt of stijgt (in dit geval stijgt de raaklijn). Ook kun je zien of het snijpunt met de y-as in de goede richting is.De richtingscoëfficiënt van een raaklijn is gelijk aan de afgeleide in dat punt. In formulevorm: $f’(x_A)=a$. We bepalen eerst de afgeleide: $f’(x)=-\frac{2}{25}x+4$Dit geeft $a=f’(4)=-\frac{8}{25}+4=\frac{92}{25}$De raaklijn heeft als formule $y=ax+b$ met $a=\frac{92}{25}$De y-waarde krijg je door $4$ in te vullen in de functie $f$: $y=f(4)=-\frac{16}{25}+16-60=-44\frac{16}{25}$Invullen geeft (met $x=4$): $-44\frac{16}{25}=\frac{92}{25}\cdot 4+b$We berekenen $b$: $b=-\frac{1484}{25}=-59\frac{9}{25}$De formule van de raaklijn is nu $y=\frac{92}{25}\cdot x-59\frac{9}{25}$ a) De afgeleide van $f(x) = 5x + 7 \sqrt{5}$ is $f(x) = 5$. Lees hieronder eventueel de uitgebreide toelichting:Als $f(x) = u(x) + v(x)$ dan is $f’(x) = u’(x) + v’(x)$.In woorden: De afgeleide van de som van twee functies is gelijk aan de som van de afgeleide van de twee functies (somregel).De afgeleide van $u(x) = 5x$ is gelijk aan $u’(x) = 5$.De grafiek van $u(x) = 5x$ is een rechte lijn door de oorsprong. De helling hiervan is constant, in dit geval gelijk aan $5$.De afgeleide van $v(x) = 7 \sqrt{5}$ is gelijk aan $v’(x) = 0$.In dit geval is $v(x)$ een constante functie. In een grafiek stelt dit een horizontale lijn voor. De helling daarvan en dus de afgeleide is $0$.De afgeleide van $f(x) = 5x + 7 \sqrt{5}$ is gelijk aan $f’(x) = 5 + 0 = 5$.b) De afgeleide van $g(x) = 3x^5 - 3x^3 - 7$ is $g’(x) = 15x^4 - 9x^2$. Hieronder vind je een toelichting die je kunt doornemen.Als $g(x) = u(x) + v(x) + w(x)$ dan is $g’(x) = u’(x) + v’(x) + w’(x)$.De afgeleide van $u(x) = 3x^5$ is gelijk aan $u’(x) = 3 \cdot 5x^{5-1} = 15x^4$.De afgeleide van de standaard machtsfunctie $x^n$ met $x>0$ en geheel is $nx^{n-1}$De afgeleide van $v(x) = -3x^3$ is gelijk aan $v’(x) = -3 \cdot 3x^{3-1} = -9x^2$.De afgeleide van $w(x) = -7$ is $w’(x) = 0$$-7$ is een constante functie. De afgeleide is $0$.c) Om de afgeleide van $h(x) = 4x(x-3)^2 + 2$ te bepalen herschrijf je de functie:$h(x) = 4x(x-3)^2 +2$Kwadraat wegwerken: $4x(x^2 - 6x + 9) +2$Haakjes wegwerken: $4x^3 - 24x^2 + 36x + 2$Bepaal nu $h’(x)$ door gebruik te maken van de regel voor het bepalen van de afgeleide van een machtsfunctie (§5.3) en de regels voor het differentiëren (§5.4): $h’(x) = 4 \cdot 3 \cdot x^2 - 24 \cdot 2 \cdot x^1 + 36 \cdot x^0 + 0$Dit kan worden geschreven als: $12x^2 - 48x + 36$d) Om de afgeleide van  $i(x)=3\sqrt(5x+7)$ te bepalen moet je de kettingregel gebruiken. Het is immers een kettingfunctie (een lineaire functie binnen een wortelfunctie). Eerst herschrijf je de functie:$i(x)=3\sqrt{(5x+7)}=3\cdot(5x+7)^{0.5}$De afgeleide is $3 \cdot 0.5 \cdot (5x+7)^{-0.5}\cdot 5$ Dit kan worden herleid tot $\frac{7.5}{(5x+7)^{0.5}}=\frac{7.5}{\sqrt{5x+7}}$, waarbij we gebruikmaken van de regel $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.e) Om de afgeleide van $j(x)=\frac{1} {(7x^2+2x)^4}$  te bepalen (een kettingfunctie want een kwadratische functie binnen een vierdemachtsfunctie) herschrijf je de functie:$j(x)=(7x^2+2x)^{-4}$De afgeleide wordt met de kettingregel: $j’(x)=-4\cdot (7x^2+2x)^{-5}\cdot (14x+2)$Dit kan worden herschreven als $j’(x) = \frac{-4 \cdot (14x+2)}{(7x^2+2x)^{5}} = \frac{(-56x-8)}{(7x^2+2x)^{5}}$ $f(x) = \frac{3}{5}x^5 + 40 \frac{1}{2} \cdot x^2$In opgave 2 is het stappenplan uitgebreid beschreven en toegelicht. Hier worden de stappen voor de functie $f(x)$ uitgewerkt.(1) Differentieer $f$$f’(x) = 3x^4 + 81x =$$3x (x^3 + 27)$(2) Lost exact op $f’(x) = 0$$f’(x) = 0$ $3x (x^3 + 27) = 0$$x = 0 \vee x = -3$(3) Plot de grafiek en kijk of er sprake is van een minimum of een maximum.Hieronder is de grafiek geplot. Aan de vorm van de grafiek is te zien dat bij $x = 0$ een minimum is en bij $x = -3$ een maximum.(4) Bereken de extreme waardenVoor $x = -3$ is er een maximum $f(-3)$$f(-3) = \frac{3}{5}(-3)^5 + 40 \frac{1}{2} \cdot (-3)^2 =$$218 \frac{7}{10}$Voor $x = 0$ is er een minimum $f(0)$$f(-3) = \frac{3}{5}(0)^5 + 40 \frac{1}{2} \cdot (0)^2 = 0$ a) De grafiek van de roofdieren is dalend $f’(x)<0$ op het interval $< 3.5; 8.5>$ en verderop weer van $<13.5; 18.5>$.In het begin van die daling neemt die daling toe ($f’(x)<0$ en $f’(x)$ neemt af), na de helft neemt de daling weer af ($f’(x)<0$ en $f’(x)$ neemt toe)De grafiek van de roofdieren is toenemend dalend op het interval $< 3.5; 6>$ en verderop weer van $<13.5; 16>$.Tip: om te zien of $f’(x)<0$ of $f’(x)>0$ of dat $f’(x)$ toe of afneemt, kun je op een paar plekken in je hoofd de raaklijn schetsen. Het gaat dan om de rc van die raaklijn. Is deze kleiner dan $0$ of groter dan $0$ en neemt die toe of af als je een stukje naar links of rechts gaat,b) Bekijk eerst de toppen van de oorspronkelijke grafieken. Bij die $t$-waarden is de hellinggrafiek gelijk aan $0$ en zet je een punt op de $t$-as. Bijvoorbeeld bij de prooidieren op $t=1$Waar de grafieken omslaan van toenemend dalend naar afnemend dalend, daar, bij die $t$-waarde heeft de hellinggrafiek een minimum (bijvoorbeeld bij roofdieren op $t=6$)Waar de grafieken omslaan van toenemend stijgend naar afnemend stijgend, daar, bij die $t$-waarde heeft de hellinggrafiek een maximum (bijvoorbeeld bij roofdieren bij $t=11$)Maak nu een schets (de grafiek mag ook hoger of lager liggen dan de schets hieronder). Als de raaklijn aan de oorspronkelijke grafiek een positieve rc heeft, dan ligt de hellinggrafiek bij die $t$-waarde boven de $t$-as (en andersom). a) De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een punt is gelijk aan de afgeleide in dat punt. We moeten dus de afgeleide bepalen en die gelijkstellen aan $+1$De afgeleide is $f’(x)=x^2+2x-14$Deze stellen we gelijk aan $-1$:  $f’(x)=x^2+2x-14=1$Dit kunnen we schrijven als $x^2+2x-15=0$We kunnen dit ontbinden in factoren: $(x-3)(x+5)=0$.Oplossingen zijn $x=3$ of $x=-5$. Conclusie: er zijn inderdaad 2 punten waarop de rc van de raaklijn gelijk is aan $1$.b) We bepalen eerst de raaklijn in $x=3$. $f(3)= -26$We hebben $y=ax+b$ met $a=1$Vullen we $x$ en $y$ ook in dan krijgen we de vergelijking $-26=1\cdot 3+b$$b$ is dan gelijk aan $-29$. De vergelijking wordt $y=x-29$. Nu bepalen we de raaklijn in $x=-5$: $f(5)= 53\frac{1}{3}$We hebben $y=ax+b$ met $a=1$Vullen we $x$ en $y$ ook in dan krijgen we de vergelijking $ 53\frac{1}{3}=1\cdot -5+b$$b$ is dan gelijk aan $58\frac{1}{3}$. De vergelijking wordt $y=x+58\frac{1}{3}$. c) Schets eerst de grafiek van $g’(x)$ in je schrift. Dit mag met behulp van de grafische rekenmachine.Als de grafiek van $g’(x)$ de x-as snijdt en van onder naar boven de x-as komt zit er bij die waarde van $x$ een minimum.Andersom is er sprake van een maximumVerder geldt: bij een maximum van $g’(x)$ gaat de helling van $g(x)$ van toenemend stijgend naar afnemend stijgend. Bij een minimum van $g’(x)$ gaat de helling van $g(x)$ van toenemend dalend naar afnemend dalend.Schets nu de grafiek. Qua vorm moet die er ongeveer uitzien als de grafiek hieronder. (Het maximum mag wel hoger of lager liggen, net als het minimum.)Tip: Nu je $g(x)$ hebt geschetst, kun je je antwoord ‘controleren’ door te kijken of de hellinggrafiek van deze grafiek van $g(x)$ de grafiek van $g’(x)$ oplevert. De extreme waarde kunnen we aan de hand van het volgende stappenplan berekenen.Stap 1: Bepaal de afgeleideStap 2: Stel deze gelijk aan 0 en los deze vergelijking op. We hebben nu de x-coördinaat van de top.Stap 3: Maak een schets en bepaal of het een minumum of een maximum is.Stap 4: Bepaal de y-coördinaat door $x$ in te vullen in $f(x)$. Stap 1: Om de afgeleide te bepalen herschrijven we eerst de functie:  $f(x)=x+(3x+4)^{-3}$.Nu kunnen we differentiëren: $f’(x)=1-3(3x+4)^{-4}\cdot 3=1-\frac{9}{(3x+4)^{4}}$.Stap 2: $1-\frac{9}{(3x+4)^{4}}=0$. Oplossen geeft: $(3x+4)^4=9$ geeft $3x+4=\sqrt{3}$ of $3x+4=-\sqrt{3}$. Dit geeft $x=-1\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{3}$ of $x=-1\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{3}$Stap 3: Stap 4: Bij  $x=-1\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{3}$ is er een maximum. Bij $x=-1\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{3}$ is er een minimum (zie figuur).De y-waarde bij  $x=-1\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{3}$ is gelijk aan $-1 \frac{1}{3} + \frac{1}{3}  \sqrt{3} + \frac{1}{(\sqrt{3})^3}=-1 \frac{1}{3} +\frac{4}{9} \sqrt{3}$. De y-waarde bij  $x = -1 \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \sqrt{3}$ is gelijk aan $-1 \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \sqrt{3} - \frac{1}{(\sqrt{3})^3} = -1 \frac{1}{3} - \frac{4}{9} \sqrt{3}$.  Stappenplan: (1) Bepaal afgeleide, (2) bepaal $p$ en (3) noteer de conclusie.(1) De afgeleide $f_p(x)$:$f_p(x) = - \frac{1}{3}x^3 + px^2 - 4x -2$$f’_p(x) = -x^2 + 2px - 4$(2) Een functie $f(x)$ heeft een extreme waarde in een punt als de afgeleide functie in voor dat punt (wat gelijk is aan de rc van de raaklijn) nog negatief is en daarna positief, of andersom. Zie plaatje. De grafiek van de afgeleide ligt dan (in het geval van dit plaatje) eerst boven de $x$-as en na de extreme waarde onder de $x$-as, of andersom in het geval van een minimum (ga zelf na).De grafiek van $f’_p$ is een bergparabool (want het is een kwadratische functie met $a < 0$). Deze moet volledig onder de $x$-as liggen of de top mag op de $x$-as liggen: immers als de grafiek van $f’_p$ een snijpunt zou hebben (van boven naar onder de $x$-as of andersom) dan heeft $f_p$ daar in dat snijpunt een extreme waarde. Er moet dus gelden dat $f’_p(x) \leq 0$ voor elke waarde van $x$, de hellinggrafiek ligt dan immers geheel onder de $x$-as. Er geldt dan dat, omdat we hier te maken hebben met een kwadratische functie als afgeleide, dat de discriminant kleiner dan of gelijk moet zijn aan $0$: $D \leq 0$.$D=4p^2 -4\cdot -1\cdot -4= 4p^2 -16$$D=4p^2 -16<0$ geeft $p^2-4<0$Om dit op te lossen lossen we eerst de gelijkheid op: $p^2-4=0$Dit geeft $p^2=4$Dus $p=-2 \vee p=2$ Voor $p=0$ geldt dat $4p^2 -16<0$ dus $p=0$ ligt in het gewenste gebied (neem een willekeurige waarde voor $p$), dus de oplossing is $-2 \leq p \leq 2$ (3) Conclusie: voor $-2 \leq p \leq 2$ geldt dat $f_p$ geen extreme waarden heeft.Tip: De $abc$-formuleIndien $ax^2 + bx + c = 0$, dan zijn oplossingen volgens $abc$-formule: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ a) In een top van de grafiek van $f_1$ is de raaklijn evenwijdig aan de $x$-as. De afgeleide is dan gelijk aan nul. Stappen: (1) Werk de haakjes weg, (2) Bepaal de afgeleide functie, (3) Los op $f’(x) = 0$, (4) Bepaal bij welke oplossing een maximum hoort, (5) Bereken de coördinaten van de top en (6) formuleer het eindantwoord.(1) Herschrijf $f$ en werk de haakjes weg:$f_1(x) = (x+1)(x^2 - 16)$$= x^3 + x^2 - 16x - 16$(2) Bepaal de afgeleide functie$f’_1(x) = 3x^2 + 2x - 16$(3) Los op $f’(x) = 0$$f’_1(x) = 0$$3x^2 + 2x - 16 = 0$Met behulp van de abc-formule volgt:$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 - 16}}{2 \cdot 3}$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{6}$$x = \frac{-2 \pm 14}{6}$Oplossingen: $x = -2 \frac{2}{3} \vee x = 2$(4) Bepaal welke oplossing bij een maximum hoort.Uit de gegeven grafiek volgt dat we op zoek zijn naar de coördinaten behorende bij $x =2$.Indien de grafiek niet gegeven is, kun je de grafiek plotten met behulp van je GR. (5) Bereken de coördinaten van de top.$f(2) = (2+1)(2^2 - 16)$$= 3 \cdot -12 = -36$(6) Conclusie: de coördinaten van de top zijn $A(2, -36)$b) De algemene vergelijking van een rechte lijn is $y = ax + b$. Voor de raaklijn aan $f_1$ in het snijpunt $P$ met de $y$-as geldt $a = f’_1(0)$(1) Bepaal de helling van raaklijn $k$ in het punt $P$. $f’_1(x) = 3x^2 + 2x - 16$$a = f’(0) = 3 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 - 16 = -16$(2) Stel de vergelijking van raaklijn $k$ op:Er geldt: $y = -16x + b$Lijn $k$ gaat door $P(0, f(0)) = (0, -16)$Er moet gelden: $b = -16$(3) Dus $k: y = -16x - 16$ c) De algemene vergelijking van een rechte lijn is $y = ax + b$. Voor de raaklijn aan $f_1$ in het snijpunt $Q$ met de $x$-as moet eerst het snijpunt met de $x$-as worden bepaald. (1) Bepaal het snijpunt van $f_1$ met de $x$-as. Los op $f(x) = 0$.$f_1(x) = 0$$(x + 1)(x^2 - 16) = 0$$(x + 1)(x + 4)(x - 4) = 0$Snijpunten met de $x$-as voor $x = -4$, $x = -1$ en $x =4$.Uit de gegeven grafiek volgt dat $x = 4$ de $x$-coördinaat is dat hoort bij $Q$Dus $Q(4,0)$(2) Bepaal de helling van raaklijn $l$ in het punt $Q$. $f’(x) = 3x^2 + 2x - 16$$a = f(4) = 3 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 - 16 = 40$(3) Stel de vergelijking van raaklijn $l$ op:Er geldt: $y = 40x + b$Lijn $l$ gaat door $Q(4,0)$Er moet gelden: $0 = 40 \cdot 4 + b$Dus $b = -160$(4) Dus $l: y = 40x - 160$ d) Stappenplan (1) Bepaal de coördinaten van de hoekpunten van $\triangle OQR$. (2) Bepaal een uitdrukking voor het oppervlak van $\triangle OQR$. (3) Bepaal de afgeleide, (4) bepaal voor welke waarde van $p$ het oppervlak maximaal is en (5) Bereken het maximale oppervlak. (1) Bepaal de coördinaten van de hoekpunten van $\triangle OQR$$O(0,0)$$Q(4,0)$$R(p, f_p(p)) = R(p, (p+p) \cdot (p^2 - 16))$$= R(p, 2p^3 - 32p)$(2) Voor de oppervlakte van $\triangle OQR$ geldt:$Opp = \frac{1}{2} \cdot basis \cdot hoogte$Met $basis = 4$ en $hoogte = -f_p(p) = 32p - 2p^3$ volgt$Opp = \frac{1}{2} \cdot basis \cdot hoogte$$= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (32p - 2p^3)$$= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (32p - 2p^3)$$= 64p - 4p^3$(3) Bepaal de afgeleideVoor het oppervlak geldt $Opp(\triangle OQR) = 64p - 4p^3$De afgeleide hiervan is: $\frac{d[Opp( \triangle OQR)]}{dp} = 64 - 12p^2$(4) Het oppervlak is maximaal als geldt: $\frac{d[Opp( \triangle OQR)]}{dp} = 64 - 12p^2 = 0$$\frac{d[Opp( \triangle OQR)]}{dp} = 64 - 12p^2 = 64 - 12p^2 = 0$ Dus $12p^2 = 64$$p^2 = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$$p = \pm \sqrt{\frac{16}{3}}$Dus $p = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3} \sqrt{3}$ (want gegeven is $0 \leq p \leq 4$)(5) Bereken het maximale oppervlakHet oppervlak is: $Opp (\triangle OQR) = 64p - 4p^3$Het maximale oppervlak geldt voor $p = \frac{4}{\sqrt{3}}$, dus $Opp(\triangle OQR) = 64 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} - 4 \cdot (\frac{4}{\sqrt{3}})^3 = $$= \frac{256}{3} \sqrt{3} - \frac{256}{3 \sqrt{3}} = $$= \frac{256}{3} \sqrt{3} - \frac{256}{9} \sqrt{3} = $$= \frac{768}{9} \sqrt{3} - \frac{256}{9} \sqrt{3} = \frac{512}{9} \sqrt{3}$(6) Conclusie: Het maximale oppervlak is $Opp (\triangle OQR) = \frac{512}{9} \sqrt{3}$  en geldt voor $p = \frac{4}{3} \sqrt{3}$.