Moderne Wiskunde AC 12e ed/FLEX deel 2 - Hoofdstuk 7 - Kansen oefentoetsen & antwoorden

a) Bij een toevalsexperiment of kansexperiment staat het resultaat (de uitkomst) niet van tevoren vast, omdat de uitkomst door toeval wordt bepaald. Een uitkomst of een aantal uitkomsten bij elkaar heet een gebeurtenis.b) Een kansboom is een boomdiagram met kansen langs de takken. In een kansboom kun je de kans op een route berekenen door de kansen langs de takken met elkaar te vermenigvuldigen. Soms bestaat een gebeurtenis uit meerdere routes. De kans op die gebeurtenis bereken je door de kansen op die routes bij elkaar op te tellen.c) Bij trekken met terugleggen blijven de kansen bij elke gelijk. Bij trekken zonder teruglegging veranderen de kansen bij elke volgende trekking.  a) Maak een kansboom.b) Bereken de kans door kansen langs de route te vermenigvuldigen. Merk op dat op elke dag de kansen gelijk zijn. Het gaat hier om trekken met teruglegging. De kans op rode lipstick is elke dag $\frac{1}{3}$, dus $P(R) = \frac{1}{3}$.De kans op zwarte mascara is elke dag $\frac{1}{2}$, dus $P(Z) = \frac{1}{2}$.De kans op rode lipstick en zwarte mascara is elke dag $P(R) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$Conclusie: De kans dat Marieke op maandag rode lipstick en zwarte mascara gebruikt is $\frac{1}{6}$. a) Je berekent hier de theoretische kans $P(G)$ op een gebeurtenis $G$. Bij toevalsexperimenten waarbij alle mogelijke $N$ uitkomsten even waarschijnlijk zijn, bereken je de kans op een gebeurtenis $G$ als volgt: $P(G) = \frac{n(G)}{N}$Hierbij is $n(G)$ het aantal gunstige uitkomsten en N het totaal aantal uitkomsten.Er zijn $7+16+5+22 = 50$ mogelijke uitkomsten.Er zijn $7$ gunstige uitkomsten, namelijk $7$ rode auto’s.Het aantal gunstige uitkomsten gedeeld door het aantal mogelijke uitkomsten is $P(1e \, auto \, is \, rood) = \frac{7}{50} = 0.14$.Conclusie: $P(1e \, auto \, is \, rood) = 0.14$.b) Maak een kansboom, dat is een boomdiagram met kansen langs de takken. Het gaat om de gebeurtenissen:1e auto is rood2e auto is geelDe kans dat 1e auto is rood is $\frac{7}{50}$Er zijn nog $49$ auto’s over. De kans dat 2e auto is geel is $\frac{5}{49}$.De kans 1e auto is rood, 2e auto is geel is $P(RG) = \frac{7}{50} \cdot \frac{5}{49} = \frac{35}{2450} = 0.0143$.c) De gebeurtenis waarbij de 1e auto is rood of de 1e auto is geel bestaat uit meerdere routes (zie schets bij b.). De kans op die gebeurtenis bereken je door de kansen op die routes bij elkaar op te tellen.De kans dat 1e auto is rood is $\frac{7}{50}$De kans dat 1e auto is blauw is $\frac{16}{50}$De kans dat 1e auto is rood of 1e auto is blauw $\frac{7}{50} + \frac{16}{50} = \frac{23}{50} = 0.46$.d) Hier bereken je de kans op een complementaire gebeurtenis. Je gebruikt de complementregel: $P(A) = 1 - P(niet \, A)$.Vijf van de vijftig auto’s zijn geel. De kans dat 1e auto is geel is $\frac{5}{50}$, dus $P(G) = 0.1$.De kans dat 1e auto is niet geel: $P(niet \, G) = 1 - P(G) = 1 - 0.1 = 0.9$Conclusie: $P(niet \, G) = 0.9$ a) Pas de complementregel toe:$P(naar \, rechts) = 1 - P(omhoog) =$$= 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$Conclusie: De kans dat je naar rechts gaat, is $P(naar \, rechts) = \frac{2}{3}$b) Aantal mogelijke routes dat past bij de gebeurtenis:Indien de gebeurtenis optreedt, worden $5$ stappen naar rechts gemaakt en $3$ omhoog. Totaal $5 + 3 = 8$ stappen/Er zijn $\binom{8}{5} = 56$ mogelijke routesConclusie: de route kan op $56$ mogelijke manieren worden doorlopenc) Bereken de kan op een route en vermenigvuldig deze met het aantal mogelijke manieren:Kans op een route $(\frac{1}{3})^3 \cdot (\frac{2}{3})^5$ (Productregel).Aantal mogelijke routes: $\binom{8}{5} = 56$Kans om van linksonder rechtsboven uit te komen: $P(3 \, naar \, boven \, EN \, 5 \, naar \, rechts) = (\frac{8}{3}) \cdot (\frac{1}{3})^3 \cdot (\frac{2}{3})^5 \approx 0.273$.Conclusie: $P(van \, linksonder \, naar \, rechtsboven) = 0.273$. a) Kansverdeling:De kans dat je kop $(K)$ gooit, is $P(K) = \frac{1}{2}$. De kans dat je munt $(M)$ gooit, is $P(M) = \frac{1}{2}$.De kans dat je met twee munten twee keer $K$ krijgt, is dan $P(KK) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.De kans dat je met twee munten twee keer $M$ krijgt, is dan $P(KK) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.De kans dat je met twee munten één keer $M$ krijgt en één keer $K$ krijgt, is $P(KM \, of MK) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. b) Geef bij elke mogelijke gebeurtenis de winst en bereken de verwachtingswaarde.Tabel wordt uitgebreid: De verwachtingswaarde van je winst wordt dan: $E(Winst) = \frac{1}{4} \cdot -2 + \frac{1}{2} \cdot -2 + \frac{1}{4} \cdot 2 =$ $= - \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} = -1$Conclusie: De verwachtingwaarde van de winst is $E(Winst) = -1$ euro. a) Bereken eerst de kans dat een auto niet wordt gecontroleerd, vervolgens dat alle $5$ auto’s niet worden gecontroleerd.$C$ is de gebeurtenis dat een auto wordt gecontroleerd. De kans dat een auto wordt gecontroleerd is $P(C) = \frac{3}{100} = 0.03$.$N$ is de gebeurtenis dat een auto niet wordt gecontroleerd. Een auto wordt òf gecontroleerd òf niet gecontroleerd. Met behulp van de complementregel: $P(N) = 1 - P(C) = 1 - 0.03 = 0.97$$P(NNNNN) = 0.97^5 \approx 0.8587$Conclusie: de kans dat alle $5$ auto’s niet worden gecontroleerd is ongeveer $0.859$.b) Hier moet je de kans dat er $2$ auto’s worden gecontroleerd berekenen. Er zijn een aantal mogelijkheden om $2$ van de $5$ auto’s te controleren.Indien $2$ auto’s worden gecontroleerd van de $5$, dan zijn kun je redeneren met onderstaand rooster.Je begint linksonder. Neem aan dat een stap naar rechts overeenkomt met gebeurtenis ‘Geen controle’ $(N)$ en dat een stap omhoog overeenkomst met gebeurtenis 'Controle' $(C)$.Van totaal te maken aantal van $5$ stappen zijn er $\binom{5}{2} = 10$ manieren om twee stappen omhoog te maken.De kans op een route is $0.03^2 \cdot 0.97^3$.De kans dat precies twee auto’s worden gecontroleerd is $P(2 \, auto’s \, gecontroleerd) = (\frac{5}{2}) \cdot 0.03^2 \cdot 0.97^3 \approx 0.008$.c) Maak een kansverdeling eventueel met behulp van een boomdiagram en bereken de verwachtingswaarde.BoomdiagramStel kansverdeling opBoeteGeen boete500 euroKans$0.03 \cdot 0.93 + 0.97 \cdot 0.93 + 0.97 \cdot 0.07 = 0.03 \cdot 0.093 + 0.97 = 0.9979$$0.03 \cdot 0.07 = 0.0021$Bereken de verwachtingswaarde: $0.9979 \cdot 0.0021 \cdot 500 = 1.05$Conclusie: de verwachtingswaarde van de boete is $1.05$ euro. a) Maak een kansboom. Merk op dat er sprake is van trekken zonder teruglegging. Na elke trekking veranderen de kansen. Op de eerste dag bevatten $10$ van de $20$ pillen een werkzame stof $(W)$: $P(W) = \frac{10}{20}$.Op de eerste dag bevatten $10$ van de $20$ pillen een placebo $(P)$: $P(P) = \frac{10}{20}$.Op de tweede dag zijn er $19$ pillen over en bevatten $9$ van de $19$ pillen een werkzame stof $(W)$: $P(Q) = \frac{9}{19}$.Op de derde dag zijn er $18$ pillen over en bevatten $8$ van de $18$ pillen een werkzame stof $(W)$: $P(W) = \frac{8}{18}$De kans op drie pillen met een werkzame stof is $P(WWW) = \frac{10}{20} \cdot \frac{9}{19} \cdot \frac{8}{18} = \frac{720}{6840} \approx 0.1053$b) Bepaal de mogelijke manieren. Bereken de kans op een manier en bepaal de gevraagde kans.$\binom{4}{2} = 6$ mogelijke manieren: $WWPP$, $WPPW$, $PPWW$, $WPWP$, $PWPW$ en $PWWP$Berekening kansen bij een manier:$P(WWPP) = \frac{10}{20} \cdot {9}{19} \cdot \frac{10}{18} \cdot \frac{9}{17} = 0.0697$Kans op twee keer een placebo en twee keer een werkzame stof: $P( 2 \, keer \, P \, en \, 2 \, keer \, W) = (\frac{4}{2}) \cdot \frac{10}{20} \cdot \frac{9}{19} \cdot \frac{10}{18} \cdot \frac{9}{17} = 0.4180$c) Er zijn twee mogelijkheden: $WPWPWPWP$ of $PWPWPWPW$$P(WPWPWPWP) = \frac{10}{20} \cdot \frac{10}{19} \cdot \frac{9}{18} \cdot \frac{9}{17} \cdot \frac{8}{16} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{7}{14} \cdot \frac{7}{13}$$P(PWPWPWPW) = P(WPWPWPWP)$Kans de eerste 8 dagen de ene dag een werkzame pil en de daarop volgende dag een placebo: $P(WPWPWPWP \, of \, PWPWPWPW) = 2 \cdot \frac{10}{20} \cdot \frac{10}{19} \cdot \frac{9}{18} \cdot \frac{9}{17} \cdot \frac{8}{16} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{7}{14} \cdot \frac{7}{13} \approx 0.100$ a) Als er drie vrouwtjes in een nest met vijf puppies zijn…… dan zijn er ook twee mannetjes. De kans op een mannetje is $P(M) - 0.55 = 0.45$De kans op de reeks drie vrouwtjes en twee mannetjes is:$P(VVVMM) = 0.55^3 \cdot 0.45^2$Er zijn $\binom{5}{3} = 10$ mogelijkheden om in een nest drie vrouwtjes en twee mannetjes in een nest te hebben.$P(3 \, keer \, V \, en \, 2 \, keer \, M) = \binom{5}{3} \cdot 0.55^3 \cdot 0.45^2 = 0.337$b) Bereken de kans dan in het tweede nest $0$ of $1$ mannetje zit en gebruik dan de complementregel.De kans op nul mannetjes en dus zes vrouwtjes:$P(0 \, keer \, M) = \binom{6}{0} \cdot 0.45^0 \cdot 0.55^6 (\approx 0.02768)$De kans op één mannetjes en dus vijf vrouwtjes:$P(1 \, keer \, M) = \binom{6}{1} \cdot 0.45^1 \cdot 0.55^5 (\approx 0.13589)$De kans op maximaal één mannetje is geboren:$P(0 \, keer \, M) + P(1 \, keer \, M) = \binom{6}{0} \cdot 0.45^0 \cdot 0.55^6 + \binom{6}{1} \cdot 0.45^1 \cdot 0.55^5$Bereken de kans dan meer dan één mannetje is geboren met behulp van de complementregel:$P(meer \, dan \, 1 \, M) = 1 - \{ \binom{6}{0} \cdot 0.45^0 \cdot 0.55^6 + \binom{6}{1} \cdot 0.45^1 \cdot 0.55^5 \} \approx 1 - (0.02768 + 0.13589) \approx 0.836$Tip: In bovenstaande berekening zijn tussenantwoorden berekend (weergegeven tussen haakjes). Je hoeft de tussenantwoorden niet te berekenen: je kunt ook in een keer de gehele berekening in de rekenmachine ingeven. c) In de kennel zijn totaal $11$ puppies geboren. $11$ mogelijkheden…Hiervan moeten er minimaal $4$ vrouwtjes zijn en dus maximaal $7$ een mannetje.Hiervan moeten er $3$ mannetjes zijn en dus maximaal $8$ een  vrouwtje.AantalManAantalVrouwVoldoetKans$0$$11$Neex$1$$10$Neex$2$$9$Neex$3$$8$Ja$\binom{11}{3} \cdot 0.45^3 \cdot 0.55^8 \approx 0.12590$ $4$$7$Ja$\binom{11}{4} \cdot 0.45^4 \cdot 0.55^7 \approx 0.20602$$5$$6$Ja$\binom{11}{5} \cdot 0.45^5 \cdot 0.55^6 \approx 0.23598$$6$$5$Ja$\binom{11}{6} \cdot 0.45^6 \cdot 0.55^5 \approx 0.19308$ $7$$4$Ja$\binom{11}{7} \cdot 0.45^7 \cdot 0.55^4 \approx 0.11284$$8$$3$Nee$9$$2$Nee$10$$1$Nee$11$$0$NeeTotaal kansen behorende situaties die voldoen$0.87382 \approx 0.874$Kans dat de $11$ wachtenden een puppie naar keuze kunnen krijgen is ongeveer $0.874$.