Newton LRN-line - Hoofdstuk 10 - Zonnestelsel oefentoetsen & antwoorden

Wanneer je een bocht maakt, oefenen je banden een kracht uit op de ondergrond. De ondergrond oefent een even grote, maar tegengestelde kracht uit op de banden, waardoor je in de bocht blijft. Dit is de wrijvingskracht op de banden. De wrijvingskracht zorgt in deze situatie dus voor de middelpuntzoekende kracht. Wanneer een satelliet rond de aarde draait, zorgt de gravitatiekracht voor de middelpuntzoekende kracht. Bij kogelslingeren zit de kogel vast aan een touw en wordt hij rondgedraaid. De spankracht in het touw zorgt dus voor de middelpuntzoekende kracht. Gegeven: $m = 0,750 \ kg$$r = 5,7 \ m$ $T = 4,13 \ s$Gevraagd: $F_{mpz}$ = ? (N)Formule: De formule voor middelpuntzoekende kracht is $F_{mpz} = \frac{m \cdot v^2}{r}$. Hiervan zijn $m$ en $r$ gegeven, $v$ zullen we eerst op een andere manier moeten uitrekenen. Namelijk met de formule: $v = \frac{2\pi r}{T}$ Berekening: $v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi \cdot 5,7}{4,13} = 8,67 m/s$$F_{mpz} = \frac{m \cdot v^2}{r} = \frac{0,750 \cdot 8,67^2}{5,7} = 9,89 N$Conclusie: $F_{mpz} = 9,9 N$. Als je naar de gegevens kijkt, is de straal het gegeven met het minste aantal significante cijfers, namelijk 2. Dus je geeft antwoord in 2 significante cijfers. Bedenk eerst welke formules er in deze situatie gelden.De $3^{de}$ wet van Kepler geldt voor situaties waarin planeten (of satellieten) om andere planeten / sterren heen draaien. Hierbij geldt dus dat de middelpuntzoekende kracht gelijk is aan de gravitatiekracht. Daarbij horen de formules:$F_g = F_{mpz}$, dus$G\frac{mM}{r^2} = \frac{m \cdot v^2}{r}$Nu gaan we de formules eenvoudiger schrijven. De massa kan aan beide kanten worden weggestreept. Daarna kan je de formule anders opschrijven, zodat alleen $v^2$ aan de rechterkant van het = - teken staat. $\frac{GMr}{r^2} = v^2$ $\frac{GM}{r) = v^2$De snelheid $v$ zien we in de uiteindelijke afleiding niet meer terug. Deze zullen we dus moeten substitueren met een andere formule.Dat is $v = \frac{2\pi r}{T}$: de formule voor de baansnelheid. Deze vullen we in bij onze eerdere formules. Hieruit volgt:$\frac{GM}{r} = (\frac{2\pi \cdot r}{T})^2$$\frac{GM}{r} = \frac{4\pi^2 \cdot r^2}{T^2}$Omschrijven geeft dan inderdaad: $\frac{r^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4\pi^2}$. Een satelliet in de geostationaire baan moet dezelfde omlooptijd hebben als die van de aarde. Hij hangt namelijk altijd boven hetzelfde punt boven de aarde. De omlooptijd van een geostationaire satelliet is dus 24 uur (86400 s).Deze opgave gaat over een satelliet die om de aarde heen draait. Hiervoor geldt $F_g = F_{mpz}$ of de $3^{de}$ wet van Kepler. Je mag zelf beslissen welke manier je het beste vindt werken. In deze uitwerking wordt gebruik gemaakt van de $3^{de}$ wet van Kepler. Gegeven: $T = 24 \ uur = 86400 \ s$ $G = 6,674 \cdot 10^{-11} \ Nm^2kg^{-2}$ (zie binas T7A) $M = 5,972 \cdot 10 ^{24} \ kg$ (zie voor massa aarde binas T31)$R_{aarde} = 6,371 \cdot 10^6 \ m$ (zie Binas T31 bij straal (equator))Gevraagd: $h$ = ? (m) Let op: uit de $3^{de}$ wet van Kepler bereken je de baanstraal. De baanstraal bestaat in dit geval uit de straal van de aarde + de hoogte boven het aardoppervlak. Formule: $\frac{r^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4\pi^2}$Berekening:$\frac{r^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4\pi^2} eerst omschrijven naar $r = …$$r^3 = \frac{G \cdot M \cdot T^2}{4\pi^2}$$r^3 = \frac{6,674 \cdot 10^{-11} \cdot 5,972 \cdot 10 ^{24} \cdot 86400^2}{4\pi^2}$$r^3 = 7,537 \cdot 10^{22}$$r = \sqrt[3]{7,537 \cdot 10^{22}}$$r = 4,224 \cdot 10^7 \ m$Dus $h = r - R_{aarde} = 4,224 \cdot 10^7 - 6,371 \cdot 10^6 = 3,6 \cdot 10^7 \ m$Conclusie: De geostationaire baan heeft inderdaad een hoogte van $3,6 \cdot 10^7 \ m$ boven het aardoppervlak. Bij een ‘toon aan’ vraag kan je er vrij zeker van zijn dat je in de volgende opdracht dat gegeven nodig hebt (en je mag het gegeven, of de aangetoonde formule, ook gebruiken als de opgave niet was gelukt!). Zo ook bij deze opgave. Gegeven:$T = 24 \ uur = 86400 \ s$ $h = 3,6 \cdot 10^7 \ m$$R_{aarde} = 6,371 \cdot 10^6 \ m$ (zie Binas T31 bij straal (equator))Gevraagd: $v$ = ? (m/s) Formule: $v = \frac{2\pi r}{T}$, waarbij geldt: $r = R_{aarde} + h$Berekening: De baanstraal $r$ hebben we in de vorige opgave al uitgerekend, namelijk $r = 4,224 \cdot 10^7 \ m$. Als dit niet was gelukt, kan je hem ook nog uitrekenen: $r = R_{aarde} + h = 6,371 \cdot 10^6 +  3,6 \cdot 10^7 = 4,224 \cdot 10^7 \ m$ $v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi \cdot 4,224 \cdot 10^7}{86400} = 3,1 \cdot 10^3 \ m/s$ Conclusie. De baansnelheid van de satelliet is $3,1 \cdot 10^3 \ m/s$ Voor een satelliet geldt dat de middelpuntzoekende kracht gelijk is aan de gravitatiekracht. Wanneer een satelliet in een hogere baan terecht komt, wordt de baanstraal groter. Uit de formule van gravitatiekracht kan je daardoor afleiden dat de gravitatiekracht kleiner wordt. De middelpuntzoekende kracht is in de kerkhofbaan dus kleiner dan in de geostationaire baan. Voor de gravitatie-energie geldt dat deze altijd negatief is en de 0 nadert wanneer een voorwerp oneindig ver weg beweegt. Wanneer de satelliet naar de kerkhofbaan gaat, wordt de afstand tussen de aarde groter, waardoor de gravitatiekracht meer naar 0 nadert. De gravitatie-energie wordt dus groter.  De formule voor kinetische energie wordt behandeld in H9 en wordt als voorkennis beschouwd. Voor een satelliet geldt dat de middelpuntzoekende kracht gelijk is aan de gravitatiekracht. Daarnaast kan je de formule voor kinetische energie opzoeken in binas T35A4. $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ $F_g = F_{mpz}$$G\frac{mM}{r^2} = \frac{m \cdot v^2}{r}$De massa kan aan beide kanten worden weggestreept. Daarna kan je de formule anders opschrijven, zodat alleen $v^2$ aan de rechterkant van het = - teken staat. $\frac{GMr}{r^2} = v^2$ Dit substitueren we in de formule voor kinetische energie, waaruit volgt:$E_k = \frac{1}{2} \frac{GmM}{r}$.  De valversnelling geeft aan hoe groot de aantrekkingskracht op een voorwerp is aan het oppervlakte van een planeet. Hiervoor geldt dat aan het oppervlakte van een planeet de zwaartekracht gelijk is aan de gravitatiekracht. $F_z = F_g$$m \cdot g = G\frac{mM}{r^2}$ Aan beide kanten kan je nu de massa wegstrepen, waardoor je krijgt:$g = \frac{GM}{r^2}$. Gegeven: $m = 1,345 \cdot 10^{23} \ kg$diameter = 5150 km = $5,150 \cdot 10^6 \ m$$T$  = 15 dagen, 22 uur, 41 minuten = $1,3777 \cdot 10^6 \ s$$G = 6,674 \cdot 10^{-11} \ Nm^2kg^{-2}$ (zie binas T7A)Gevraagd: $g$ = ? ($m/s^2$)Formule: $g = \frac{GM}{r^2}$Berekening:$r = \frac{1}{2} \cdot 5,150 \cdot 10^6 = 2,575 \cdot 10^6 m$$g = \frac{6,674 \cdot 10^{-11} \cdot 1,345 \cdot 10^{23}}{(2,575 \cdot 10^6)^2}$g = 1,35 $m/s^2$Conclusie: De valversnelling op Titan is 1,35 $m/s^2$Deze opgave gaat over een maan die om een planeet heen draait. Hiervoor geldt $F_g = F_{mpz}$ of de $3^{de}$ wet van Kepler. Je mag zelf beslissen welke manier je het beste vindt werken. In deze uitwerking wordt gebruik gemaakt van de $3^{de}$ wet van Kepler. Gegeven: $T = 15 dagen, 22 uur, 41 minuten = $1,3777 \cdot 10^6 s$ $G = 6,674 \cdot 10^{-11} \ Nm^2kg^{-2}$ (zie binas T7A) $M = 568 \cdot 10 ^{24} \ kg$ (zie voor massa Saturnus binas T31. Omdat Titan om Saturnus heen draait, hebben we hier de massa van Saturnus nodig)Gevraagd: $r$ = ? (m)Formule: $\frac{r^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4\pi^2}$Berekening:$\frac{r^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4\pi^2} $r^3 = \frac{G \cdot M \cdot T^2}{4\pi^2}$$r^3 = \frac{6,674 \cdot 10^{-11} \cdot 568 \cdot 10 ^{24} \cdot (1,3777 \cdot 10^6)^2}{4\pi^2}$$r^3 = 1,82 \cdot 10^{27}$$r = \sqrt[3]{1,82 \cdot 10^{27}}$$r = 1,22 \cdot 10^9 \ m$Conclusie: De afstand tussen de middelpunten van Titan en Saturnus is $1,22 \cdot 10^9 \ m$. Voor de ontsnappingssnelheid geldt dat een voorwerp minimaal een kinetische energie moet krijgen om de gravitatie-energie van de planeet te overwinnen. Op de planeet zelf heeft de drone een gravitatie-energie en kinetische energie. Oneindig ver weg zijn beide energiesoorten 0. Bij deze opgave gaan we dus een energievergelijking opstellen, zoals je dat ook in H9 hebt gedaan. Gegeven: $G = 6,674 \cdot 10^{-11} \ Nm^2kg^{-2}$ (zie binas T7A) $M = 5,972 \cdot 10 ^{24} \ kg$ (zie voor massa aarde binas T31)$r = 6,371 \cdot 10^6 \ m$ (zie Binas T31 bij straal (equator))Gevraagd:$ v$ = ? (m/s) Formule: $E_g + E_k = 0$ geeft $- \frac{GmM}{r} + \frac{1}{2} mv^2 = 0$De massa kunnen we aan beide kanten wegstrepen en vervolgens schrijven we de formule anders op. $v^2 = \frac{2GM}{r}$$v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$Berekening:$v = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,674 \cdot 10^{-11} \cdot 5,972 \cdot 10 ^{24}}{6,371 \cdot 10^6}}$ $v = 1,12 \cdot 10^4 \ m/s$ Conclusie: De drone moet minimaal een snelheid krijgen van $1,12 \cdot 10^4 \ m/s$  Voor een satelliet die om de aarde draait geldt dat de gravitatiekracht gelijk is aan de middelpuntzoekende kracht. Gegeven:h = 598 km = $5,98 \cdot 10^5 \ m$ $G = 6,674 \cdot 10^{-11} \ Nm^2kg^{-2}$ (zie binas T7A) $M = 5,972 \cdot 10 ^{24} \ kg$ (zie voor massa aarde binas T31)$R_{aarde} = 6,371 \cdot 10^6 \ m$ (zie Binas T31 bij straal (equator)Gevraagd: $v$ = ? (m/s) Formule:$F_g = F_{mpz}$ geeft $G\frac{mM}{r^2} = \frac{m \cdot v^2}{r}$De massa kan aan beide kanten worden weggestreept. Daarna kan je de formule anders opschrijven, zodat alleen $v^2$ aan de linkerkant van het = - teken staat. $v^2 = \frac{GMr}{r^2}$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$Berekening:$r = R_{aarde} + h = 6,371 \cdot 10^6 + 5,98 \cdot 10^5 = 6,969 \cdot 10^6 \ m$ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{6,674 \cdot 10^{-11} \cdot 5,972 \cdot 10 ^{24}}{6,969 \cdot 10^6}}$v = 7,56 \cdot 10^3 \ m/s$ Conclusie: De Hubble telescoop heeft een baansnelheid van $7,56 \cdot 10^3 \ m/s$ Voor materie die aan de rand van het sterrenstelsel circuleert, geldt dat de gravitatiekracht gelijk is aan de middelpuntzoekende kracht. Gegeven:$v = 7,5 \cdot 10^5 \ m/s$$ r = 5,7 \cdot 10^{17} \ m$ $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \ Nm^2kg^{-2}$ Gevraagd: M = ? (kg)Formule:$F_g = F_{mpz}$, dus $\frac{GmM}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$ Aan beide kanten kan je de massa van de materie wegstrepen en vervolgens kan je de formule vereenvoudigen. $\frac{GM}{r^2} = \frac{v^2}{r}$ $M = \frac{v^2 \cdot r^2}{Gr} = \frac{v^2 \cdot r}{G}$Berekening:$M = \frac{v^2 \cdot r}{G} = \frac{(7,5 \cdot 10^5)^2 \cdot 5,7 \cdot 10^{17}}{6,67 \cdot 10^{-11}} = 4,8 \cdot 10^{39} \ kg$Conclusie: De massa van het zwarte gat is $4,8 \cdot 10^{39} \ kg$, dus het klopt. Voor de ontsnappingssnelheid geldt dat een voorwerp minimaal een kinetische energie moet krijgen om de gravitatie-energie van de planeet te overwinnen. In dit geval gaat het over licht, maar je kan nog steeds dezelfde energievergelijking opstellen als wanneer het om een voorwerp gaat. Gegeven: $G = 6,674 \cdot 10^{-11} \ Nm^2kg^{-2}$ (zie binas T7A) $M = 4,8 \cdot 10^{39} \ kg$ (zie antwoord bij b)$r = 1 \ m$. Je mag hier zelf een waarde kiezen voor $r$. We weten uit de opgave dat materie met een straal van $5,7 \cdot 10^{17} \ m$ nog wel zichtbaar is. We moeten dus kijken naar een veel kleinere straal en bekijken wat daar de ontsnappingssnelheid van is. Alles kleiner dan een straal van $1 \cdot 10^{12}$ is een goede schatting. Gevraagd: $v$ = ? (m/s) Formule: $E_g + E_k = 0$ dus $- \frac{GmM}{r} + \frac{1}{2} mv^2 = 0$De massa kunnen we aan beide kanten wegstrepen en vervolgens schrijven we de formule anders op. $v^2 = \frac{2GM}{r}$$v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$Berekening:$v = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,674 \cdot 10^{-11} \cdot 4,8 \cdot 10^{39}}{1}}$ $v = 7,9 \cdot 10^{14} \ m/s$ (of een andere waarde, als jouw schatting voor $r$ anders was. Wel moet jouw antwoord ook een grotere ontsnappingssnelheid dan de lichtsnelheid geven)Conclusie: De ontsnappingssnelheid van $7,9 \cdot 10^{14} \ m/s$ is veel groter dan de lichtsnelheid (die is namelijk $2,998 \cdot 10^8 m/s$), dus is er sprake van een zwart gat.