Getal en Ruimte 13e ed/FLEX deel 2 - Hoofdstuk 8 - Herleiden en machten oefentoetsen & antwoorden

Herleiden betekent zo kort mogelijk schrijven.In $5^4$ noemen we de 5 het grondtal en de 4 de exponent.$–3a + 4a = a$$–3a$ en $4a$ zijn de termen, en het antwoord $a$ is de som.$–2a \cdot 5a = –10a^2$$–2a$ en $5a$ zijn de termen, en het antwoord $–10a^2$ is het product.Haakjes, machtsverheffen, delen en als laatste optellen en aftrekken. In som a) mag je de twee termen niet van elkaar aftrekken. a² Is niet hetzelfde als a³. En je mag al helemaal niet de exponenten bij elkaar optellen, dat doe je alleen bij een vermenigvuldiging. Het goede antwoord is dus: kan niet.In som b) zijn de exponenten (5 en 3) met elkaar vermenigvuldigd. Maar je moet ze juist bij elkaar optellen. Het goede antwoord is dus: –8a8–8a^8–8a8Het moet dus zo:–2a2– 4a3=–2a^2 – \, 4a^3 =–2a2–4a3= kan niet–2a5⋅4a3=–8a8–2a^5 \cdot{4a^3} = –8a^{8}–2a5⋅4a3=–8a8 9(x–2)=9x – 18=9(x – 2) = 9x\ –\ 18=9(x–2)=9x – 18=9(x– 2)9(x –\ 2)9(x– 2) betekent eigenlijk 9⋅(x – 2)9 \cdot (x\ –\ 2)9⋅(x – 2)Om de haakjes weg te krijgen moet je dus alles binnen de haakjes keer 9 doen.–9(x\ – 2)=–9(x\  –\ 2)=–9(x – 2)=–9x+18–9x + 18–9x+18–(x+2)=–(x + 2)=–(x+2)=–x – 2–x\ –\ 2–x – 2De – die voor de haakjes staat betekent eigenlijk –1, er staat dus eigenlijk –1⋅ (x+2)–1 \cdot  (x + 2)–1⋅ (x+2) maar die 1 laten we in de wiskunde weg en het keer-teken ook2(x – 7) – (x – 9)=2(x\ –\ 7)\ –\ (x\ –\ 9) =2(x – 7) – (x – 9)=2x – 14 – x+9=2x\ –\ 14\ –\ x + 9 =2x – 14 – x+9= x – 5x\ –\ 5x – 53y(2x – 5)=3y(2x\ –\ 5) =3y(2x – 5)=6xy – 15y6xy\ –\ 15y6xy – 15y1½(4a+2b) – (4b – 2)=1½(4a + 2b)\ –\ (4b\ –\ 2) =1½(4a+2b) – (4b – 2)=6a+3b – 4b+2=6a + 3b\ –\ 4b + 2 =6a+3b – 4b+2= 6a – b+26a\ –\ b + 26a – b+2–(–3k – 9)+5(k – 2)=–(–3k\ –\ 9) + 5(k\ –\ 2) =–(–3k – 9)+5(k – 2)=3k+9+5k – 10=3k + 9 + 5k\ –\ 10 = 3k+9+5k – 10=8k – 18k\ –\ 18k – 1 $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2  \cdot 2 = 32$$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$Dus $5^3$ is groter dan $3^4$$–2^4 = –2 \cdot 2 \cdot  2 \cdot  2 = –16$$(–2)^4 = –2 \cdot –2 \cdot  –2 \cdot  –2 = 16$Want het aantal minnen is 4, en dan is het antwoord positief. $3x\cdot x^2 = 3x^3$$9x^5\ –\ 7x^3 = kan\ niet$$x^4\ –\ x^2 = kan\ niet$$–7y^9\ +\ 6y^9 = –y^9$$–y^2\cdot 6y^3 \cdot y = –6y^6$$19a^5 \cdot 2a^5 = 38a^{10}$ $7ab − 5ac = $ kan nietAftrekken kan niet, de letters in de termen zijn niet gelijk$–2 \cdot 7p + 3 \cdot 2p =$ $–14p + 6p = –8p$In de opgave moet je vermenigvuldigen en optellen, dus de rekenvolgorde is hier belangrijk: je gaat eerst vermenigvuldigen en dan pas optellen.$5a\ –\ 3b\ –\ 4a +b = a\ – 2b $Eerst neem je de a’tjes samen, en dan de b’tjes. Dus $5a\ –\ 4a = a$ en dan $–3b + b = –2b$$–2x \cdot 4y\ –\ 2y \cdot –3x=$$–8xy + 6xy = –2xy$$3x \cdot –2y\ –\ 7 \cdot –2x=$$–6xy + 14x$xy en x kun je niet meer bij elkaar optellen, maar je hebt het wel korter geschreven (herleid) dus je moet hier niet: “kan niet” opschrijven!$c\ –\ a\ –\ b + c\ –\ 1 + a + 2=$$–b + 2c + 1$Eerst de a’tjes samennemen, dan de b’tjes, maar daar is er maar eentje van, dan de c’tjes, en als laatste de gewone getallen, maar die mag je ook wel eerst doen. $2c\ –\ b + 1$ is goed, maar $1\ –\ b + 2c$ ook.$–2\ –\ x\ –\ y\ +2 + x\ –  y= –2y $Tip: Onthoud dat je cijfers en letters altijd met elkaar kunt vermenigvuldigen, maar alleen kunt optellen en aftrekken als de termen gelijk zijn.Dus:  $2a \cdot 3b = 6ab$, maar $2a + 3b =$ kan niet. De rechthoek links:Omtrek = $a\ –\ 4 + 7 + a\ –\ 4\ + 7 = 2a + 6$Oppervlakte = $(a\ –\ 4) \cdot 7 = 7a\ –\ 28$De rechthoek rechts:Omtrek = $q\ –\ a\ + 2a + q\ –\ a + 2a = 2q + 2a$Oppervlakte = $2a (q\ –\ a) = 2aq\ –\ 2a^2$ Noem de leeftijd van Valerie x.De leeftijd van Wim is dan x + 4Samen zijn ze x + x + 4 = 2x + 4Klaas is 2 keer zo oud als Valerie en Wim samen, dus 2(2x + 4) = 4x + 8Klaas is 32 jaar oud, dus 4x + 8 = 32Er staat dus eigenlijk, dat je 32 krijgt als je 4x neemt, en daar 8 bij optelt.4x is dus 32 – 8 = 24Als 4 keer x hetzelfde is als 24, dan is x dus 24 : 4 = 6Valerie is dus 6 jaar oud, haar broer Wim is 6 + 4 = 10, en Klaas is 32. $7 + 3 \cdot 4^2 : 8 =$$7 + 3\cdot16 : 8 =$$7 + 48 : 8 =$ (deze tussenstap mag je overslaan)$7 + 6 = 13$ $–3^4\ –\ 5^2 \cdot (–2)^3\ =$$–81\ –\ 25\cdot–8=$$–81\ +\ 200\ =119$${(–1)}^{220}\ –\ {1}^{33} =$$1\ –\ 1\ =\ 0$$(–1)^{220} = 1$ want –1 staat tussen haakjes. De exponent is 220. Dat is een even getal, en daarom is het antwoord positief. $–1^{33}$ betekent:  $ –1 \cdot 1 \cdot 1\cdot 1……$ en dat 33 keer, dat is dus een 1 met een min ervoor. 41 500 = 4,15⋅10441\ 500\ =\ 4,15\cdot10^441 500 = 4,15⋅104Toelichting: Om een getal in de wetenschappelijke notatie te schrijven zet je in gedachten altijd een komma achter het eerste getal en dan schrijf je dat eerst op, dus eerst krijg je 4,15. (Denk er om dat er altijd maar één getal voor de komma mag staan.) De nullen achter het laatste cijfer laten we weg.Dan tel je hoeveel cijfers er nog achter het eerste getal staan, dat zijn er hier 4.Nu kun je het antwoord opschrijven: 4,15⋅1044,15\cdot10^44,15⋅1043,85⋅106 =3 850 0003,85 \cdot 10^6\ = 3\ 850\ 0003,85⋅106 =3 850 000Toelichting: Als je van de wetenschappelijke notatie weer een gewoon getal wilt maken, dan schrijf je eerst de getallen even op zonder komma, dus 385.De exponent is 6. Dus dan weet je dat er achter de 3 nog 6 cijfers moeten komen. (Je kunt ook zeggen dat de komma die achter de 3 stond 6 plekjes naar rechts moet.) Achter de 3 staan al 2 getallen, de 8 en 5, er moeten dus nog 4 nullen achter.Je krijgt dan 3 850 000.350 000 000 = 3,5⋅108350\ 000\ 000\ =\ 3,5 \cdot 10^8350 000 000 = 3,5⋅1087,14⋅103 = 7 1407,14 \cdot 10^3\ =\ 7\ 1407,14⋅103 = 7 140 $–8a^3 = a^3\cdot–8$$8p^6 = –4p^2\cdot–2p^4$$–8a^3 = a^3\ –\ 9a^3$$5x^{21} = 7x^{21}\ –\ 2x^{21}$ $4x\ –\ 2y\ –\ 3y\ \cdot\ –x\ +3\ \cdot\ –2x=$$4x\ –\ 2y\ +\ 3xy\ –\ 6x=$$–2x\ –\ 2y\ +\ 3xy$$2b(5a + ½b)=$$10ab + b^2$$4x^4 (x\ –\ 1)\ –\ 3x(x^4\ –\ x^3)=$$4x^5\ –\ 4x^4\ –\ 3x^5 + 3x^4=$$x^5\ –\ x^4$$x^3\cdot–2x^7=$$–2x^{10}$$(3x^3)^2=$$3x^3\cdot 3x^3=$$9x^6$$(2a^5 + 2)\cdot4a^3\ – \ (– a^3\cdot a^5)=$$8a^8 + 8a^3\ – \ –\ a^8=$$8a^8 + 8a^3\ +\ a^8=$$9a^8 + 8a^3$