Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 3 - Hoofdstuk 9 - Exponentiële en logaritmische functies oefentoetsen & antwoorden

$e$$\ln(\sqrt{e})=\ln(e^\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$ Stap 1: Vermenigvuldig $g$ met $3$ ten opzichte van de $y$-as: $c=3$ dus $x$ vervangen voor $\frac{1}{c}x$ geeft: $g(x)=^3\log(2\frac{1}{3}x+5)$.Stap 2: Haal de vermenigvuldiging met de $y$-as buiten haakjes zodat we de functie kunnen schrijven als $g(x)=^3\log(2(x-p)+5)+q$, en we de translatie kunnen aflezen.$g(x)=^3\log(\frac{1}{3}(2x+15))$.$g(x)=^3\log(\frac{1}{3})+^3\log(2x+15)$. (gebruik $^g\log(AB)=^g\log(A)+^g\log(B)$)$g(x)=^3\log(3^{-1})+^3\log(2x+15)$.$g(x)=-1+^3\log(2(x+5)+5)$. (Let op de invloed van de $2$ voor de $x$. Als we $(x+10)$ zouden nemen, wat voor de hand ligt, wordt die nog vermenigvuldigd met $2$ en doen we $10$ teveel)Conclusie: Translatie $(-5,-1)$. Schrijf beide leden naar één logaritme met hetzelfde grondtal zodat we kunnen gebruiken: $^g\log(A)=^g\log(B)$ geeft $A=B$. $^4\log(x+3)+^4\log(2)=2-^4\log(x-4)$$^4\log(2(x+3))=^4\log(4^2)-^4\log(x-4)$ (gebruik $^g\log(AB)=^g\log(A)+^g\log(B)$)$^4\log(2(x+3))=^4\log(\frac{16}{x-4})$ (gebruik $^g\log(\frac{A}{B})=^g\log(A)-^g\log(B)$)$2(x+3)=\frac{16}{x-4}$$2(x+3)(x-4)=16$$2(x^2-x-12)-16=0$$2x^2-2x-24-16=0$$2x^2-2x-40=0$$x^2-x-20=0$$(x-5)(x+4)=0$$x=5 \vee x=-4$$x=-4$ is geen oplossing omdat we dan een negatief getal in de logaritme hebben staan en deze bestaat niet. De oplossing is $x=5$Omdat we hier te maken hebben met een logaritme in het kwadraat moeten we substitutie gebruiken.Breng alles naar dezelfde kant van de x$-2-3\cdot ^2\log^2(x+1)-5\cdot ^{\frac{1}{2}}\log(x+1)=0$Voordat we substitueren moet elke logaritme in de vergelijking hetzelfde grondtal hebben. We schrijven $^{\frac{1}{2}}\log(x+1)$ naar een logaritme met grondtal 2. We gebruiken de regel: $^g\log(x)=\frac{^p\log(x)}{^p\log(g)}$ waarbij $p$ het nieuwe grondtal is. $^{\frac{1}{2}} \log(x+1) = \frac{^2 \log(x+1)}{^2 \log(\frac{1}{2})} = \frac{^2 \log(x+1)}{^2 \log(2^{-1})} = \frac{^2 \log(x+1)}{-1} = -^2 \log(x+1)$$-2-3\cdot ^2\log^2(x+1)-5\cdot -^2\log(x+1)=0$$-2-3\cdot ^2\log^2(x+1)+5\cdot ^2\log(x+1)=0$Substitueer $u=^2\log(x+1)$$-2-3u^2+5u=0$$3u^2-5u+2=0$ABC-formule:$u=\frac{5-\sqrt{25-4\cdot 3 \cdot 2}}{2\cdot 3} \vee u=\frac{5+\sqrt{25-4\cdot 3 \cdot 2}}{2\cdot 3}$$u=\frac{5-\sqrt{1}}{6} \vee u=\frac{5+\sqrt{1}}{6}$$u=\frac{2}{3} \vee u=1$Terug substitueren:$^2\log(x+1)=\frac{2}{3} \vee ^2log(x+1)=1$$x+1=2^{\frac{2}{3}} \vee x+1=2$ (gebruik $y=^g\log(x)$ geeft $x=g^y$)$x=2^{\frac{2}{3}}-1 \vee x=1$Conclusie: $x=2^{\frac{2}{3}}-1 \vee x=1$Haal $e^{3x}$ buiten haakjes.$e^{3x}(3x+1)=0$$e^{3x}=0$ (heeft geen oplossingen) $\vee 3x+1=0$$3x=-1$$x=-\frac{1}{3}$Schrijf naar de vorm $e^a=e^b$ zodat je kunt gebruikten $g^a=g^b$ geeft $a=b$.$\sqrt{e^x}=e^{\frac{1}{3}x+1}$$(e^x)^{\frac{1}{2}}=e^{\frac{1}{3}x+1}$$e^\frac{1}{2}x=e^{\frac{1}{3}x+1}$$\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}x+1$$\frac{1}{6}x=1$$x=6$Schrijf beide leden naar één term $\ln()$ zodat je de regel $\ln(A)=\ln(B)$ geeft $A=B$ kunt gebruiken.$\ln((2x)^2)=\ln(\frac{2x^2-7}{x^2-9})$ (gebruik voor het linkerlid $b\cdot \ln(a)=\ln(a^b)$ en voor het rechterlid $\ln(a)-\ln(b)=\ln(\frac{a}{b})$)$4x^2=\frac{2x^2-7}{x^2-9}$$4x^2(x^2-9)=2x^2-7$$4x^4-36x^2-2x^2+7=0$$4x^4 - 38x^2+7=0$Substitueer $p=x^2$:$4p^2-38p+7=0$ABC-formule:$p=\frac{38-\sqrt{(-38)^2-4\cdot 4 \cdot 7)}}{2\cdot 4} \vee p=\frac{38+\sqrt{(-38)^2-4\cdot 4 \cdot 7)}}{2\cdot 4}$$p=\frac{38-\sqrt{1444-112}}{8} \vee p=\frac{38+\sqrt{1444-112}}{8}$$p=\frac{38-\sqrt{1332}}{8} \vee p=\frac{38+\sqrt{1332}}{8}$$p=\frac{38-6\sqrt{37}}{8} \vee p=\frac{38+6\sqrt{37}}{8}$$p=4\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\sqrt{37} \vee p=4\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\sqrt{37}$Terug substitueren:$x^2=4\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\sqrt{37} \vee x^2=4\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\sqrt{37}$$x=\sqrt{4\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\sqrt{37}}$ (dit is geen oplossing want dan krijgen we in de originele formule vergelijking een negatief getal in de $\ln$ en die heeft geen oplossing) $\vee x=\sqrt{4\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\sqrt{37}}$Conclusie: $x=\sqrt{4\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\sqrt{37}}$Isoleer eerst de e-macht. Vervolgens kunnen we $e^x=y$ geeft $x=ln(y)$ gebruiken om de vergelijking op te lossen.$\frac{1}{2}e^{x-4}=10$$e^{x-4}=20$$x-4=\ln(20)$$x=\ln(20)+4$ Werkwijze: We moeten $t$ vrijmaken en vervolgens herschrijven naar de juiste vorm.Isoleer eerst de macht voordat je de logaritme kunt gebruiken om $t$ vrij te maken uit de macht.$\frac{N}{7}=2.5^{-3t+8}$$-3t+8=^{2.5}\log(\frac{N}{7})$Herschrijf $^{2.5}\log(\frac{N}{7})$ naar de logaritme met grondtal 10, gebruik: $^g\log(x)=\frac{\log(x)}{\log(g)}$.$^{2.5}\log(\frac{N}{7})=\frac{\log(\frac{N}{7})}{\log(2.5)}= \log(\frac{N}{7})\cdot \frac{1}{\log(2.5)}=2.512…\cdot \log(\frac{N}{7})$.$-3t+8=2.512…\cdot \log(\frac{N}{7})$We moeten uiteindelijk naar een logaritme met alleen nog $N$ erin. De rest moet eruit.$-3t+8=2.512…(\log(N)-\log(7))$ (gebruik $^g\log(\frac{A}{B})=^g\log(A)-^g\log(B)$)$-3t+8=2.512…(\log(N)-0.845…)$ (reken $\log(7)$, rond nog niet af!)$-3t+8=2.512\cdot \log(N)-2.123…$ (haakjes uitwerken)$-3t=2.512\cdot \log(N)-10.123…$ $t=2.512\cdot \log(N)-10.123…$ $t=-0.837…\cdot \log(N) +3.374…$ (deel door 3)Nu we niet meer hoeven te rekenen kunnen we afronden op twee decimalen.$t=3.37-0.84\cdot \log(N)$ We gebruiken de kettingregel en de quotiëntregel.$f’(x)=\frac{(e^{2x}+3)e^{x+1}-e^{x+1}\cdot 2e^{2x}}{(e^{2x}+3)^2}$$f’(x)=\frac{e^{3x+1}+3e^{x+1}-2e^{3x+1}}{(e^{2x}+3)^2}$$f’(x)=\frac{-e^{3x+1}+3e^{x+1}}{(e^{2x}+3)^2}$We gebruiken de kettingregel:$g’(x)=5\cdot 4^{8x-2}\cdot \ln(4)\cdot 8$$g’(x)=40\cdot 4^{8x-2}\cdot \ln(4)$ De groeifactor in 75 jaar is gelijk aan $g_{75 jaar}=\frac{nieuw}{oud} = \frac{180}{1900} = 0.947…$ (rond nog niet af)Terugrekenen naar één jaar: $g_{jaar}=0.947…^{\frac{1}{75}}=0.969…$Antwoord moet in procenten: $0.969…\cdot 100=96.9\%$$100-96.9=3.1\%$Een percentage ronden we af op één decimaal als er niet in de opdracht staat op hoeveel decimalen je moet afronden.Conclusie: Jaarlijks neemt de warmteafgifte $3.1\%$ af. De warmteafgifte in procenten is $3.5\%$, dus de groeifactor is $\frac{100-3.5}{100}=0.965$ dus $g_{jaar}=0.965$We moeten de warmteafgifte in 5 jaar berekenen: $g_{5 jaar}=0.965^5=0.837$Weer terug rekenen naar procenten: $100\cdot 0.837=83.7\%$ dus de afname is $100-83.7=16.3\%$$g_{jaar}=0.965$ (zie b), we zoeken de halveringstijd dus we moeten $g^t = \frac{1}{2}$ oplossen.$0.965^t=\frac{1}{2}$$t=^{0.965}\log(\frac{1}{2})$ (gebruik $a^x=y$ geeft $x=^a\log(y)$)$t=19$Conclusie na 19 jaar is de warmteafgifte gehalveerd. Exponentiële afname, dus de standaardformule is $N=b\cdot g^t$. In het eerstgenoemde geval wordt de formule $N_1=1900\cdot 0.965^t$ In het tweede geval moeten we de groeifactor nog berekenen. $g_{25 jaar}=\frac{nieuw}{oud}=\frac{600}{1750}=0.342…$ Terugrekenen naar één jaar omdat de groeifactor van de andere functie ook in jaren is en je anders niet gelijk kunt stellen. $g_{jaar}=0.342…^{\frac{1}{25}}=0.958$$N_2=1750\cdot 0.958^t$Stel de twee formules gelijk aan elkaar. $1750\cdot 0.958^t=1900\cdot 0.965^t$$y_1=1750\cdot 0.958^t$$y_2=1900\cdot 0.965^t$Optie snijpunt geeft $x=4$, dus na 4 jaar. Werkwijze: Om het raakpunt te vinden moeten we de vergelijking $f’(x)= \frac{1}{2}$ oplossen. Stap 1: Neem de afgeleide.$f$ is een product van twee functies, namelijk $y=5x$ en $y= e^{-3x^3}$. We hebben dus de productregel nodig. $y= e^{-3x^3}$ is een samengestelde functie, voor dit deel hebben we dus ook nog de kettingregel nodig. $f’(x)=5\cdot e^{-3x^3}+5x\cdot -9x^2\cdot e^{-3x^3}+\frac{1}{2}$$f’(x)=5e^{-3x^3}-45x^3e^{-3x^3}+\frac{1}{2}$Stap 2: Los op $f’(x)=\frac{1}{2}$$5e^{-3x^3}-45x^3e^{-3x^3}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$5e^{-3x^3}-45x^3e^{-3x^3}=0$$5e^{-3x^3}(1-9x^3)=0$$5e^{-3x^3}=0$ (heeft geen oplossingen) $\vee 1-9x^3=0$$9x^3=1$$x^3=\frac{1}{9}$$x=(\frac{1}{9})^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$Conclusie: $x=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ Werkwijze: De extreme waarden zijn de toppen van de grafiek. Hiervoor moeten we $h’(x)=0$ oplossen. In de opgave staat dat het met behulp van differentiëren moet, er staat niet dat het algebraïsch moet. Na het nemen van de afgeleide mogen we dus de GR gebruiken.Stap 1: Neem de afgeleide.Voor de afgeleide hebben we zowel de productregel als de kettingregel(voor het rechterdeel) nodig.$h’(x) = 14x \ln(\sqrt{x+3}) + 7x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x+3}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}}$$h’(x)=14x\ln(\sqrt{x+3})+\frac{7x^2}{2(x+3)}$.Stap 2: Gebruik de GR om de vergelijking $h’(x)=0$ op te lossen. $14x\ln(\sqrt{x+3})+\frac{7x^2}{2(x+3)}=0$.$y_1=14x\ln(\sqrt{x+3})+\frac{7x^2}{2(x+3)}$Optie nulpunt geeft $x=-1.426…$ en $x=0$.Stap 3: Vul beide punten in in $h$ om de y-coördinaten van de toppen te berekenen.$h(0)=0$ en $h(-1.426…)=3.228…$Stap 4: Plot de grafiek om te kijken of we te maken met een minimum of een maximum. Conclusie: min: $h(0)=0$ en max: $h(-1.43)=3.23$