Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 3 - Hoofdstuk 11 - Integraalrekening oefentoetsen & antwoorden

$W$. Aan de $f(y)$ en $dy$ kunnen we zien dat er wordt geprimitiveerd naar $y$. We kijken dus vanuit de $y$-as. De formule van de versnelling. $v’(t)=a(t)$. We kunnen dus de formule van de snelheid krijgen door de $a(t)$ te primitiveren. Houdt wel rekening met de intergratieconstante $c$! We moeten bij deze primitieve rekening houden met de kettingregel.We gebruiken de regel $y=^g\log(x)$ geeft primitieve $Y=\frac{1}{\ln(g)}(x\ln(x)-x)$ met $g=3$ want het grondtal van onze logaritme is 3 en $x=\frac{1}{2}x+5$. Houdt rekening met de kettingregel door te vermenigvuldigen met 2 (het tegenovergestelde van wat we bij de afgeleide doen, namelijk vermenigvuldigen met de afgeleide van het binnenste is $\frac{1}{2}$)$F(x)=\frac{1}{\ln(3)}((\frac{1}{2}x+5)\ln(\frac{1}{2}x+5)-(\frac{1}{2}x+5))\cdot 2$$F(x)=\frac{2}{\ln(3)}((\frac{1}{2}x+5)\ln(\frac{1}{2}x+5)-(\frac{1}{2}x+5))$We moeten bij deze primitieve rekening houden met de kettingregel.$G(x)=\frac{1}{6}\cos(3-6x)$ (we delen door de afgeleide van het binnenste ($3-6x$) en gebruiken dat de primitieve van $\sin(x)$ geeft $-\cos(x)$ Werkwijze: Om aan te tonen dat $F$ de primitieve is van $f$ kunnen we twee dingen doen. Namelijk de primitieve nemen van $f$ of $F$ differentiëren. We kiezen voor deze tweede optie omdat $f$ een product is van twee functies. Jullie kennen geen productregel voor primitiveren, dus gaat $f$ primitiveren niet lukken. We differentiëren daarom $F$ en kijken of we uitkomen op $f$. $F(x)=-x^2\cos^3(x)+C$ $F’(x)=-x^2\cdot 3\cos^2(x)\cdot \sin(x)-2x\cos^3(x)$ (kettingregel en productregel)Conclusie: $F’(x)=f(x)$ en daarmee is het gevraagde aangetoond.Stap 1: Plot als er geen plaatje is gegeven altijd eerst de functie in je GR! Zo weet je precies wat er van je gevraagd wordt.We zien dat het vlakdeel van $x=-\frac{1}{4}\pi$ tot $x=0$ loopt. Stap 2: Bereken de gevraagde integraal.$O(v)=\int_{-\frac{1}{4}\pi}^{0} -x^2\cdot 3\cos^2(x)\cdot \sin(x)-2x\cos^3(x) dx$$=\bigg[-x^2\cos^3(x)\bigg]_{-\frac{1}{4}\pi}^{0}$ (primitieve kunnen we uit de opdracht halen)$=-0^2\cos^3(0)-(-(-\frac{1}{4}\pi)^2\cos^3(-\frac{1}{4}\pi)$ (Vul eerst de bovengrens in in de primitieve en trek daar de primitieve met de ondergrens in ingevuld vanaf)$=0-(-\frac{1}{16}\pi^2\cdot (\frac{1}{2}\sqrt{2})^3)=\frac{1}{64}\sqrt{2}\pi^2$Conclusie: $O(V)=\frac{1}{64}\sqrt{2}\pi^2$ Stap 1: Zoek eerst de grenzen van vlakdeel $V$. We zien in het plaatje dat $V$ loopt vanaf $x=0$ tot het snijpunt van $f$ en $g$. We berekenen dit snijpunt.$f(x)=g(x)$$2^{x-1}=2^{2x-2}$$x-1=2x-2$ (gebruik $g^a=g^b$ geeft $a=b$)$x=1$De grenzen van het vlakdeel zijn dus $x=0$ en $x=1$Stap 2: Bereken de oppervlakte met behulp van de integraal. $f$ ligt boven $g$ dus we trekken voor de oppervlakte van $V$ de functie $g$ van $f$ af. $O(V)=\int_{0}^{1} 2^{x-1}-2^{2x-2}dx = \bigg[\frac{2^{x-1}}{\ln(2)} - \frac{2^{2x-2}}{\ln(2)} \cdot \frac{1}{2}\bigg]_{0}^{1}$ (bij $g$ gebruiken we de kettingregel)$=\bigg[\frac{2^{x-1}}{\ln(2)}-\frac{2^{2x-2}}{2\ln(2)}\bigg]_{0}^{1}=\frac{2^{1-1}}{\ln(2)}-\frac{2^{2\cdot 1-2}}{2\ln(2)}-(\frac{2^{0-1}}{\ln(2)}-\frac{2^{2\cdot 0-2}}{2\ln(2)})$ (vul de grenzen in)$=\frac{1}{\ln(2)} - \frac{1}{2\ln(2)} - (\frac{2^{-1}}{\ln(2)} - \frac{2^{-2}}{2\ln(2)}) = \frac{1}{\ln(2)} - \frac{1}{2\ln(2)} - (\frac{1}{2\ln(2)} - \frac{1}{8\ln(2)})$  (gebruik dat $2^{-a}=\frac{1}{2^a}$)$=\frac{8}{8\ln(2)}-\frac{4}{8\ln(2)}-\frac{4}{8\ln(2)}+\frac{1}{8\ln(2)}$ (maak de breuken gelijknamig en werk de haakjes uit)$=\frac{1}{8\ln(2)}$Conclusie: $O(V)= \frac{1}{8\ln(2)}$ Werkwijze: Bereken de inhoud van de bol en bereken wat een kwart van deze inhoud is. Stel vervolgens de formule op van de cirkelschijf $S_p$ en stel deze gelijk aan een kwart van de inhoud om $p$ te berekenen. Stap 1: Bereken wat een kwart van de inhoud van de bol is. De inhoud van een bol bereken je met de volgende formule: $I(B)=\frac{4}{3}\pi r^3$We hebben dus de straal ($r$) nodig. Deze kun je aflezen uit de formule. Een cirkelvergelijking is $x^2+y^2=r^2$. $r^2=25$ geeft $r=5$.$I(B)=\frac{4}{3}\pi 5^3=\frac{500}{3}\pi$Een kwart bereken je door het geheel te delen door vier: $\frac{\frac{500}{3}\pi}{4}=\frac{125}{3}\pi$Stap 2: Stel de vergelijking op van de inhoud van de cirkelschijf $S_p$. We wentelen om de y-as, dus we moeten $x$, of gemakkelijker bij een bol, $x^2$ vrijmaken. We hebben voor de inhoud namelijk toch $x^2$ nodig. $x^2+y^2=25$$x^2=25-y^2$$I(S_p)=\pi\cdot \int_{-2}^{p} x^2 dy =\pi\cdot \int_{-2}^{p} 25-y^2 dy=\pi\cdot \bigg[25y-\frac{1}{3}y^3 \bigg]_{-2}^{p}$ (primitiveren)$=\pi(25p-\frac{1}{3}p^3-(-50-\frac{1}{3}\cdot -8)$ (grenzen invullen)$=\pi(25p-\frac{1}{3}p^3+50-\frac{8}{3})=\pi(25p-\frac{1}{3}p^3+47\frac{1}{3})$Stap 3: Stel de vergelijking van de inhoud van de cirkelschijf gelijk aan de inhoud van de kwartbol. Gebruik de GR om de vergelijking op te lossen.$\pi(25p-\frac{1}{3}p^3+47\frac{1}{3})=\frac{125}{3}\pi$$y_1=\pi(25p-\frac{1}{3}p^3+47\frac{1}{3})$$y_2=\frac{125}{3}\pi$Optie intersect geeft $p=-0.227$ (Let op dat $p$ niet groter kan zijn dan 5, omdat de straal van de cirkel 5 is!)Conclusie: $p=-0.227$ Werkwijze: Bereken eerst de oppervlakte $V$ met de y-as, $f$, x-as en de lijn $x=\ln(32)$ als grenzen. Om de verhouding 2:1 te verkrijgen moet de oppervlakte van $W \frac{3}{2}$ de oppervlakte van vlakdeel $V$ zijn. Oftewel $O(W)=\frac{3}{2}O(V)$.Stap 1: Bereken de oppervlakte van $V$.$O(v)=\int_{0}^{\ln(32)} \frac{2}{5}e^{-\frac{1}{5}x+3} dx=\bigg[-5\cdot \frac{2}{5}e^{-\frac{1}{5}x+3}\bigg]_{0}^{\ln(32)}=\bigg[-2e^{-\frac{1}{5}x+3}\bigg]_{0}^{\ln(32)}$ (gebruik de kettingregel)$=-2e^{-\frac{1}{5}\cdot\ln(32)+3}--2e^{-\frac{1}{5}\cdot 0+3}$ (vul de boven- en ondergrens in)$=-2e^{\ln(32^{-\frac{1}{5}})+\ln(e^3)}+2e^{0+3}$ (gebruik de regels $a\cdot \ln(x)=\ln(x^a)$ en $a=\ln(e^a)$ om alles in de exponent van $e$ binnen één logaritme te krijgen)$=-2e^{\ln(\frac{1}{2})+\ln(e^3)}+2e^{3}$$=-2e^{\ln(\frac{1}{2}e^3)}+2e^3$ (gebruik $\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab)$)$=-2\cdot \frac{1}{2}e^3+2e^3$ (gebruik $e^{\ln(a)}=a$)$=-e^3+2e^3=e^3$$O(V)=e^3$Stap 2: De oppervlakte van $W$ is $O(W)=\frac{3}{2}O(V)=\frac{3}{2}e^3$. We zoeken nu een grens $p$ waarvoor $O(W)=\frac{3}{2}e^3$.Druk eerst de oppervlakte van $W$ uit in $p$.$O(W)=\int_{0}^{p} \frac{2}{5}e^{-\frac{1}{5}x+3} dx=\bigg[-2e^{-\frac{1}{5}x+3}\bigg]_{0}^{p}=-2e^{-\frac{1}{5}\cdot p+3}--2e^{-\frac{1}{5}\cdot 0+3}=-2e^{-\frac{1}{5}p+3}+2e^{3}$De oppervlakte van $W$ moet $\frac{3}{2}e^3$ zijn, dus los de vergelijking $O(W)=\frac{3}{2}e^3$ op.$-2e^{-\frac{1}{5}p+3}+2e^{3}=\frac{3}{2}e^3$$-2e^{-\frac{1}{5}p+3}=-\frac{1}{2}e^3$$e^{-\frac{1}{5}p+3}=\frac{1}{4}e^3$$-\frac{1}{5}p+3=\ln(\frac{1}{4}e^3)$ (gebruik $e^x=y$ geeft $x=\ln(y)$)$-\frac{1}{5}p+3=\ln(\frac{1}{4})+\ln(e^3)$$-\frac{1}{5}p+3=\ln(\frac{1}{4})+3$$-\frac{1}{5}p=\ln(\frac{1}{4})$$p=-5\ln(\frac{1}{4})$Conclusie: Voor $p=-5\ln(\frac{1}{4})$ deelt de lijn $x=\ln(32)$ het vlakdeel $W$ in twee stukken waarbij de oppervlakten zich verhouden met $2:1$. Stap 1: We plotten weer eerst de grafiek. Stap 2: We kunnen alleen wentelen om de x-as en de y-as. Als we moeten wentelen om een andere lijn moeten we de functie eerst verschuiven zodat we wentelen om de x-as of y-as. In dit geval moeten we de functies 2 naar links verschuiven. De lijn $x=2$  2 naar links verschuiven geeft $x=0$, oftewel we wentelen nu niet meer om de lijn $x=2$ maar de y-as. De lijn $x=1$  2 naar links verschuiven geeft $x=-1$.De functie $f$  2 naar links verschuiven geeft $f(x)=1+\sqrt{-3(x+2)+6}=1+\sqrt{-3x}$Deze verschuivingen geven het volgende plaatje, het vlakdeel $V$ wordt nu inderdaad om de y-as gewenteld. Stap 3: We kunnen nu om de y-as gaan wentelen. We moeten echter nog goed opletten wat we om de y-as wentelen. De integraal berekend namelijk automatisch onder de functie en het vlakdeel $V$ ligt boven de functie (vanuit de y-as gezien omdat we nu om de y-as wentelen). We lossen dit op door eerst de inhoud te berekenen van de cilinder met ondergrens $y=0$ en als bovengrens  de lijn $f(-1)$, de straal van het grondvlak van de cirkel is 1, de afstand tussen $x=0$ en $x=-1$.$f(-1)=1+\sqrt{-3\cdot -1}=1+\sqrt{3}$De inhoud van een cilinder berekenen we met de volgende formule: $I(C)=\pi\cdot r^2\cdot h=\pi \cdot 1^2\cdot (1+\sqrt{3})=\pi(1+\sqrt{3})$De inhoud van het lichaam $L$ dat ontstaat als we $V$ om de y-as wentelen is gelijk aan de inhoud van de cilinder min de inhoud van het lichaam $L_2$ dat ontstaat als we $W$ om de y-as wentelen. Zie de afbeelding hieronder voor $W$. $I(L)=I(C)-I(L_2)$.We berekenen nu de inhoud van $L_2$. Hiervoor wentelen we $W$ om de y-as. Hiervoor moeten we eerst $x$ vrijmaken in $f$. $y=1+\sqrt{3x}$ $y-1=\sqrt{3x}$$y^2-2y+1=3x$ (kwadrateren)$\frac{1}{3}y^2-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}=x$Gebruik vervolgens voor de inhoud van lichaam $L_2$ dat bij wentelen om de y-as: $I(L_2)=\pi \cdot \int_{a}^{b}x^2 dy$$I(L_2)=\pi \cdot \int_{0}^{1+\sqrt{3}} x^2 dy=\pi \cdot \int_{0}^{1+\sqrt{3}} (\frac{1}{3}y^2-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3})^2 dy =\pi \cdot \int_{0}^{1+\sqrt{3}} \frac{1}{9}y^4-\frac{2}{9}y^3+\frac{1}{9}y^2-\frac{2}{9}y^3+\frac{4}{9}y^2-\frac{2}{9}y+\frac{1}{9}y^2-\frac{2}{9}y+\frac{1}{9} dy =\pi \cdot \int_{0}^{1+\sqrt{3}} \frac{1}{9}y^4-\frac{4}{9}y^3+\frac{6}{9}y^2-\frac{4}{9}y+\frac{1}{9} dy =\pi \cdot \bigg[\frac{1}{45}y^5-\frac{1}{9}y^4+\frac{2}{9}y^3-\frac{2}{9}y^2+\frac{1}{9}y]_{0}^{1+\sqrt{3}}$De grenzen invullen geeft: $=\pi(\frac{1}{45}(1+\sqrt{3})^5-\frac{1}{9}(1+\sqrt{3})^4+\frac{2}{9}(1+\sqrt{3})^3-\frac{2}{9}(1+\sqrt{3})^2+\frac{1}{9}(1+\sqrt{3}))-0=0.3686…\pi$Conclusie: $I(L)=I(C)-I(L_2)= \pi(1+sqrt{3})-0.3686…\pi=7.42$