Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 3 - Hoofdstuk 12 - Goniometrische functies oefentoetsen & antwoorden

De maximale uitwijking. Het zijn de extreme waarden.  $1+\sin(2x+\frac{1}{4}\pi)=\frac{1}{1+\sin(-2x-\frac{1}{4}\pi)}$$(1+\sin(2x+\frac{1}{4}\pi))(1+\sin(-(2x+\frac{1}{4}\pi))=1$$(1+\sin(2x+\frac{1}{4}\pi))(1-\sin(2x+\frac{1}{4}\pi))=1$ (we gebruiken $sin(-x)=-sin(x)$$1-\sin^2(2x+\frac{1}{4}\pi)=1$ (haakjes uitwerken)$\sin^2(2x+\frac{1}{4}\pi 2x)=0$$\sin(2x+\frac{1}{4}\pi)=0$$2x+\frac{1}{4}\pi=k\cdot \pi$$2x=-\frac{1}{4}\pi +k\cdot \pi$$x=-\frac{1}{8}\pi +k\cdot \frac{1}{2}\pi$$x=\frac{3}{8}\pi \vee x=\frac{7}{8}\pi \vee x=1\frac{3}{8}\pi \vee x=1\frac{7}{8}\pi$$2\cos(x)-\frac{2}{\cos(x)}= \tan(x)$ $2\cos(x)-\frac{2}{\cos(x)}=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ (schrijf $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$)$2\cos^2(x)-2=\sin(x)$ (vermenigvuldig met $\cos(x)$ om de breuk weg te werken)$2(1-\sin^2(x))-2=\sin(x)$ (gebruik $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$)$2-2\sin^2(x)-2-\sin(x)=0$ (haakjes uitwerken en alles naar links)$-2\sin^2(x)-\sin(x)=0$$-2\sin(x)(\sin(x)+1)=0$$-2\sin(x)=0 \vee \sin(x)=-1$$\sin(x)=0 \vee \sin(x)=-1$$x=k\cdot \pi \vee x=\frac{3}{2}\pi+k\cdot 2\pi$$x=0 \vee x=\pi \vee x=2\pi \vee x=\frac{3}{2}\pi$Gebruik de som- en verschilformules. $\sin(\frac{2}{3}\pi-x)+\cos(\frac{2}{3}\pi+x)=0$$\sin(\frac{2}{3}\pi)\cos(x)-\cos(\frac{2}{3}\pi)\sin(x)+\cos(\frac{2}{3}\pi)\cos(x)-\sin(\frac{2}{3}\pi)\sin(x)=0$ (gebruik $\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$ en $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$)$\frac{1}{2}\sqrt{3}\cos(x)+ \frac{1}{2}\cos(x) - \frac{1}{2}\sin(x) - \frac{1}{2}\sqrt{3}\sin(x)=0$ (de eenheidscirkel geeft $\sin(\frac{2}{3}\pi)=\frac{1}{2}\sqrt{3}$ en $\cos(\frac{2}{3}\pi)=-\frac{1}{2}$)$(\frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2})(\cos(x) - \sin(x))=0$$\cos(x) - \sin(x)=0$ (deel de getallen weg)$\cos(x) - \cos(\frac{1}{2}\pi-x)=0$ (gebruik dat $\sin(x) =  \cos(\frac{1}{2}\pi-x)$)$\cos(x) = \cos(\frac{1}{2}\pi-x)$$x=\frac{1}{2}\pi - x + 2 \cdot k \cdot \pi \vee x = -(\frac{1}{2}\pi-x) + 2\cdot k \cdot \pi$ (denk om de tweede oplossing!)$2x=\frac{1}{2}\pi + 2 \cdot k \cdot \pi \vee kan \ niet$$x=\frac{1}{4}\pi + k \cdot \pi$ Voor symmetrie in de y-as geldt $f(-x)=f(x)$$f(-x)=-x\sin(-x)\cos(-x)$$=-x-\sin(x)\cos(x)$ (gebruik $\sin(-x)=-\sin(x)$ en $\cos(-x)=\cos(x)$$=x\sin(x)\cos(x)=f(x)$Dus de $f$ is symmetrisch in de y-as. Werkwijze: We berekenen eerst de snijpunten van $f$ en $g$, dit zijn de grenzen van onze integraal waarbij wij $g$ van $f$ aftrekken.Stap 1: Bereken de snijpunten van $f$ met de lijn.$\sin^4(x)=\frac{1}{4}$ Manier 1, twee keer de wortel trekken:$\sin^2(x)=\frac{1}{2} \vee \sin^2(x)=-\frac{1}{2}$ $\sin(x)=\frac{1}{2}\sqrt{2} \vee \sin(x)=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$ Manier 2, gelijk de vierdemachtswortel nemen:$\sin(x)=\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}} \vee \sin(x)=-\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}$$\sin(x)=(4^{-1})^{\frac{1}{4}} \vee \sin(x)=-(4^{-1})^{\frac{1}{4}}$$\sin(x)=((2^2)^{-1})^{\frac{1}{4}} \vee \sin(x)=-((2^2)^{-1})^{\frac{1}{4}}$$\sin(x)=(2^{-2})^{\frac{1}{4}} \vee \sin(x)=-(2^{-2})^{\frac{1}{4}}$$\sin(x)=2^{-\frac{1}{2}} \vee \sin(x)=2^{-\frac{1}{2}}$$\sin(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2} \vee \sin(x)=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$Beide mogelijkheden geven: $\sin(x)=\frac{1}{2}\sqrt{2} \vee \sin(x)=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$Al de oplossingen zijn in 1 vergelijking te vangen, in het plaatje hieronder zie je dat de eerste oplossing $\frac{1}{4}\pi$ is en elke volgende oplossing een $\frac{1}{2}\pi$ verder ligt$x=\frac{1}{4}\pi+k\cdot \frac{1}{2}\pi$Binnen het domein: $x=\frac{1}{4}\pi \vee x=\frac{3}{4}\pi$De grenzen van $V$ zijn dus $x=\frac{1}{4}\pi \vee x=\frac{3}{4}\pi$.Stap 2: Bereken de primitieve van $f$.Herschrijf $\sin^4(x)=(\sin^2(x))^2$We gebruiken $\cos(2x)=1-2\sin^2(x)$ en herschrijven dit:$1-\cos(2x)=2\sin^2(x)$ geeft  $\sin^2(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)$$(\sin^2(x))^2=(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x))^2$We werken de haakjes uit. $\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{4}\cos^2(2x)$ Alleen de primitieve van $\frac{1}{4}\cos^2(2x)$ kunnen we niet nemen. We herschrijven dit nog met behulp van de regel $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$:$\cos(4x)=2\cos^2(2x)-1$$\cos^2(2x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(4x)$Bovenstaande substitueren: $\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{4}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(4x))$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\cos(4x)$=$\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x)$Nu we $f$ herschreven hebben, kunnen we de primitieve nemen.$F(x)= \frac{3}{8}x-\frac{1}{2}\sin(2x)\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{8}\sin(4x)\cdot \frac{1}{4}$$=\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\sin(2x)+\frac{1}{32}\sin(4x)$Stap 3: Bereken de oppervlakte van $V$ met de integraal. Omdat $g$ onder $f$ ligt trekken we $g$ van $f$ af.$O(v)=\int_{\frac{1}{4}\pi}^{\frac{3}{4}\pi} \sin^4(x) -\frac{1}{4} dx$$=\bigg [\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\sin(2x)+\frac{1}{32}\sin(4x)-\frac{1}{4}x\bigg] _{\frac{1}{4}\pi}^{\frac{3}{4}\pi}$$=\bigg [\frac{1}{8}x-\frac{1}{4}\sin(2x)+\frac{1}{32}\sin(4x)\bigg] _{\frac{1}{4}\pi}^{\frac{3}{4}\pi}$$=\frac{1}{8}(\frac{3}{4}\pi) -\frac{1}{4}\sin(2(\frac{3}{4}\pi))+\frac{1}{32}\sin(4(\frac{3}{4}\pi))-( \frac{1}{8}(\frac{1}{4}\pi) -\frac{1}{4}\sin(2(\frac{1}{4}\pi))+\frac{1}{32}\sin(4(\frac{1}{4}\pi))$$= \frac{3}{32}\pi-\frac{1}{4}\sin(1\frac{1}{2}\pi)+\frac{1}{32}\sin(3\pi))-( \frac{1}{8}(\frac{1}{4}\pi) -\frac{1}{4}\sin(\frac{1}{2}\pi)+\frac{1}{32}\sin(\pi)$$=\frac{3}{32}\pi-\frac{1}{4}\cdot -1+\frac{1}{32}\cdot 0-( \frac{1}{32}\pi -\frac{1}{4}\cdot 1+\frac{1}{32}\cdot 0$$=\frac{1}{16}\pi+\frac{1}{2}$Conclusie: $O(V) =\frac{1}{16}\pi+\frac{1}{2}$ $A(\cos(\frac{1}{2}t), \sin(\frac{1}{2}t))$ en $B(4\cos(t), 4\sin(t))$ geeft met behulp van de formule voor de afstand tussen twee punten: $d(A,B)=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$$AB^2=(\cos(\frac{1}{2}t)-4\cos(t))^2+(\sin(\frac{1}{2}t)-4\sin(t))^2$$=\cos^2(\frac{1}{2}t)-8\cos(\frac{1}{2}t)\cos(t)+16\cos^2(t)+ \sin^2(\frac{1}{2}t)-8\sin(t)\sin(\frac{1}{2}t)+16\sin^2(t)$$=\cos^2(\frac{1}{2}t)+\sin^2(\frac{1}{2}t)+16\cos^2(t)+16\sin^2(t) -8\cos(\frac{1}{2}t)\cos(t)- 8\sin(t)\sin(\frac{1}{2}t)$$=1+16(\cos^2(t)+\sin^2(t))-8(\cos(\frac{1}{2}t)\cos(t)-\sin(t)\sin(\frac{1}{2}t))$ (gebruik $\cos^2(t)+\sin^2(t)=1$)$=1+16-8(\cos(\frac{1}{2}t)\cos(t)-\sin(t)\sin(\frac{1}{2}t))$ (gebruik $\cos^2(t)+\sin^2(t)=1$)$=17-8\cos(\frac{1}{2}t+t)$ (gebruik $\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b)$)$=17-8\cos(1\frac{1}{2}t)$$AB^2=17-8\cos(1\frac{1}{2}t)$$AB=\sqrt{17-8\cos(1\frac{1}{2}t)}$De maximale afstand tussen $AB$ is 3, de straal van de cirkel waarover $A$ zich beweegt is namelijk 1 en de straal van de cirkel waarover $B$ zich beweegt is 4. In de volgende figuur is een mogelijke situatie waarbij de afstand 3 is afgebeeld. In deze situatie is de draaiingshoek van $B=\alpha$ en de draaiingingshoek van $A=\alpha+\pi$ dit geeft:$\frac{1}{2}t=t+\pi+k\cdot 2\pi$$-\frac{1}{2}t=\pi+k\cdot 2\pi$$t=-2\pi-k\cdot 4\pi$$t=2\pi$ (denk aan het domein)Bereken eerst voor welke waarden van $t$ de x-coördinaat van baan $A$ gelijk is aan $x=-2$. $4\cos(t)=-2$$\cos(t)=-\frac{1}{2}$$t=\frac{2}{3}\pi+k\cdot 2\pi \vee t=\frac{4}{3}\pi+k\cdot 2\pi$Alleen de punten bij $t=\frac{2}{3}\pi$ en $t=1\frac{1}{3}\pi$ liggen binnen ons domein. In de figuur hierboven is het gedeelte dat links van de lijn $x=-2$ ligt gemarkeerd. Conclusie: $\frac{2}{3}\pi<t<1\frac{1}{3}\pi$ ligt $B$ links van de lijn $x=-2$. Dit is $\frac{2}{3}\pi$ van heel de cirkel, die $2\pi$ is. Dit is $\frac{\frac{2}{3}\pi}{2\pi}=\frac{1}{3}$ deel van de cirkel. De frequentie is $f=\frac{c}{2\pi}=\frac{4}{2\pi}=\frac{2}{\pi}=0.636…$Hz De afgelegde afstand per trilling is $4\cdot amplitude=4\cdot 2=8$ cm.Er zijn $0.64$ trillingen per seconde dus per 10 minuten zijn dit er $0.636…\cdot 60 \cdot 10=381.971...$De afgelegde afstand in 10 minuten is $8\cdot 381.971...=3055.774… cm$$3055.774… cm=31 m$ Werkwijze: Bepaal eerst voor welke waarden van $t$ de baan zichzelf en de x-as snijdt. Bepaal vervolgens de richtingsvectoren behorend bij deze waarden van $t$. Bereken tot slot met deze richtingsvectoren de hoek waaronder de baan zichzelf snijdt.Stap 1: Bereken de snijpunten van de baan met de x-as, dit is gelijk het punt waar de baan zichzelf snijdt in de x-as. In het snijpunt met de x-as is $y$ gelijk aan 0.$\sin(t-\frac{1}{3}\pi)=0$$t-\frac{1}{3}\pi=k\cdot \pi$$t=\frac{1}{3}\pi+k\cdot \pi$$t=\frac{1}{3}\pi \vee t=1\frac{1}{3}\pi$Stap 2: Bereken de snelheidsvectoren in $t=\frac{1}{3}\pi$ en $t=1\frac{1}{3}\pi$.De snelheidsvector $\vec{v(t)}=\begin{pmatrix}x’(t) \\ y’(t) \end{pmatrix}$$x(t)=\sin(4t)$ geeft $x’(t)=4\cos(4t)$ en $y(t)=\sin(t-\frac{1}{3}\pi)$ geeft $y’(t)=\cos(t-\frac{1}{3}\pi)$$\vec{v(t)}=\begin{pmatrix} 4\cos(4t) \\ \cos(t-\frac{1}{3}\pi) \end{pmatrix}$$\vec{v(\frac{1}{3}\pi)}=\begin{pmatrix}4\cos(4\cdot \frac{1}{3}\pi) \\ \cos(\frac{1}{3}\pi-\frac{1}{3}\pi) \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}4\cos(\frac{4}{3}\pi) \\ \cos(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\cdot -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix} -2\sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix} $$\vec{v(\frac{4}{3}\pi)}=\begin{pmatrix} 4\cos(4\cdot \frac{4}{3}\pi) \\ \cos(\frac{4}{3}\pi-\frac{1}{3}\pi) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\cos(\frac{16}{3}\pi) \\ \cos(\pi) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\cdot -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\sqrt{3} \\ -1 \end{pmatrix} $Stap 3: Bereken de hoek waaronder de baan zichzelf snijdt.$\cos(\angle \alpha))=\frac{|\begin{pmatrix}-2\sqrt{3} \\ 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-2\sqrt{3} \\ -1 \end{pmatrix}|}{|\begin{pmatrix}-2\sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}|\cdot |\begin{pmatrix}-2\sqrt{3} \\ -1\end{pmatrix}|}=\frac{|-2\sqrt{3}\cdot -2\sqrt{3}+1\cdot -1|}{\sqrt{(-2\sqrt{3})^2+1^2}\cdot \sqrt{(-2\sqrt{3})^2+(-1)^2}}=\frac{11}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{13}}=\frac{11}{\sqrt{196}}$$\cos(\angle\alpha)=\frac{11}{13}$ $\angle \alpha=\cos^{-1}(\frac{11}{13})=32.2 ^\circ$Conclusie: De baan snijdt zichzelf op de x-as met een hoek van $32.2 ^\circ$.Werkwijze: Bereken eerst de snijpunten van de lijn $y=\frac{1}{2}$ en de baan. Kijk vervolgens welke van de twee waarden van $t$ het punt $C$ is. Bereken tot slot de baansnelheid in dit punt. Stap 1: $y_P(t)=\frac{1}{2}$ geeft $\sin(t-\frac{1}{3}\pi)=\frac{1}{2}$$t-\frac{1}{3}\pi=\frac{1}{6}\pi+k\cdot 2\pi \vee t-\frac{1}{3}\pi=\frac{5}{6}\pi+k\cdot 2\pi$ $t=\frac{1}{2}\pi+k\cdot 2\pi \vee t=1\frac{1}{6}\pi+k\cdot 2\pi$Binnen het domein krijgen we $t=\frac{1}{2}\pi$ en $t=1\frac{1}{6}\pi$Stap 2: De baan snijdt voor $t=\frac{1}{2}\pi$ en $t=1\frac{1}{6}\pi$ de lijn $y=\frac{1}{2}$. Het punt $C$ snijdt de y-as. Dus we moeten de $t$ kiezen waarvoor $x=0$ is. We berekenen $x$ door de $t$ waarden in te vullen in $x(t)=\sin(4t)$.$x(\frac{1}{2}\pi)=\sin(4(\frac{1}{2}\pi))=\sin(2\pi)=0$ oftewel dit is het punt $C$. Stap 3: Bereken de baansnelheid in $C(0,\frac{1}{2})$. De baansnelheid berekenen we door de lengte te berekenen van de snelheidsvector. De snelheidsvector hadden we bij a berekend: $\vec{v(t)}=\begin{pmatrix}4\cos(4t) \\ \cos(t-\frac{1}{3}\pi) \end{pmatrix}$, de lengte hiervan berekenen we met Pythagoras. En we vullen $t=\frac{1}{2}\pi$ in.  $|\vec{v(t)}|=\sqrt{(4\cos(4(\frac{1}{2}\pi))^2+(\cos(\frac{1}{2}\pi -\frac{1}{3}\pi))^2}$ = $\sqrt{(4\cos(2\pi))^2+(\cos(\frac{1}{6}\pi))}$ =$\sqrt{4^2+(\frac{1}{2}\sqrt{3})^2)}=\sqrt{16+\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{67}$Conclusie: De baansnelheid in $C$ is $\frac{1}{2}\sqrt{67}$. Werkwijze: druk eerst vector $\vec{q}$ uit in $t$ met behulp van de bewegingsvergelijkingen van $P$. Substitueer vervolgens de gevonden bewegingsvergelijkingen van $Q$ ($\vec{q}$) in de lijn $y=-\frac{2}{3}x$ en los de vergelijking op.Stap 1: $\vec{q}=\vec{p}+\vec{p_R}+\frac{1}{2}\vec{p}$$\vec{p}=\begin{pmatrix} \sin(t) \\ \sin(t-\frac{1}{3}\pi) \end{pmatrix}$$\vec{p_R} = \begin{pmatrix} \sin(t-\frac{1}{3}\pi) \\ -\sin(t) \end{pmatrix}$$\vec{q} = \vec{p} + \vec{p_R} + \frac{1}{2} \vec{p}$$=\begin{pmatrix} \sin(t) \\ \sin(t-\frac{1}{3}\pi) \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} \sin(t-\frac{1}{3} \pi) \\ -\sin(t) \end{pmatrix}+\frac{1}{2} \begin{pmatrix} \sin(t) \\ \sin(t-\frac{1}{3}\pi) \end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix} \sin(t) + \sin(t-\frac{1}{3}\pi) + \frac{1}{2} \sin(t) \\ \sin(t-\frac{1}{3} \pi) -\sin(t) +\frac{1}{2} \sin(t - \frac{1}{3} \pi) \end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix} \frac{3}{2} \sin(t) + \sin(t-\frac{1}{3} \pi) \\ \frac{3}{2} \sin(t- \frac{1}{3} \pi) - \sin(t) \end{pmatrix}$De gevonden vector $\vec{q}$ zijn tegelijkertijd de bewegingsvergelijkingen van $Q$.Stap 2: Substitueer de bewegingsvergelijkingen van $Q$ in de lijn $y=-\frac{2}{3}x$ om de snijpunten van de baan van $Q$ en de lijn te vinden.$\frac{3}{2} \sin{(t-\frac{1}{3}\pi)} - \sin{(t)} = -\frac{2}{3} (\frac{3}{2} \sin(t) + \sin(t-\frac{1}{3} \pi ))$$\frac{3}{2} \sin(t-\frac{1}{3}\pi) -\sin(t) = -\sin(t) - \frac{2}{3} \sin(t-\frac{1}{3} \pi)$ (haakjes uitwerken)$\frac{3}{2} \sin(t-\frac{1}{3}\pi) = -\frac{2}{3} \sin(t-\frac{1}{3}\pi)$ ($-\sin(t)$ tegen elkaar wegstrepen)$\frac{13}{6} \sin(t-\frac{1}{3}\pi)=0$$\sin(t-\frac{1}{3}\pi)=0$$t-\frac{1}{3}\pi=k\cdot \pi$$t=\frac{1}{3}\pi +k\cdot \pi$$t=\frac{1}{3}\pi \vee t=1\frac{1}{3}\pi$Stap 3: Vul de gevonden waarden voor $t$ in in de bewegingsvergelijking van $Q$ om bijbehorende snijpunten te vinden.$x_Q(t)=\frac{3}{2}\sin(t)+\sin(t-\frac{1}{3}\pi)$ en $y_Q(t) = \frac{3}{2} \sin(t-\frac{1}{3}\pi) - \sin(t)$ en $t=\frac{1}{3} \pi \vee t = 1 \frac{1}{3} \pi$ geeft$x(\frac{1}{3} \pi) = \frac{3}{2} \sin(\frac{1}{3} \pi)+ \sin(\frac{1}{3} \pi -\frac{1}{3} \pi) =3 \sqrt{3} + 0 = 3\sqrt{3}$$y(\frac{1}{3} \pi) = \frac{3}{2} \sin(\frac{1}{3}\pi -\frac{1}{3} \pi) - \sin(\frac{1}{3}\pi) = -\frac{1}{2} \sqrt{3}$$x(1\frac{1}{3}\pi) = \frac{3}{2} \sin(1\frac{1}{3}\pi) + \sin(1\frac{1}{3}\pi -\frac{1}{3}\pi) = -3\sqrt{3}+0=-3\sqrt{3}$$y(1\frac{1}{3}\pi) = \frac{3}{2} \sin(1\frac{1}{3}\pi -\frac{1}{3}\pi) - \sin(1\frac{1}{3}\pi) = \frac{1}{2}\sqrt{3}$Conclusie: $A(3\sqrt{3},-\frac{1}{2}\sqrt{3})$ en $B(-3\sqrt{3},\frac{1}{2}\sqrt{3})$