Moderne Wiskunde AC 12e ed/FLEX deel 2 - Hoofdstuk 8A - De afgeleide oefentoetsen & antwoorden

$\frac{\triangle f}{\triangle x} = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$De grootte van het interval is meestal $0.001$Toevoeging: de formule om de helling in een punt te benaderen wordt dan $\frac{\triangle f}{\triangle x} = \frac{f(x + 0.001) - f(x)}{0.001}$ Als de hellinggrafiek negatief is, dus onder de $x$-as ligt daalt de oorspronkelijke grafiek.Dat is op het interval $\langle -2, 1 \rangle$.Als de raaklijn horizontaal loopt is de helling daar $0$.De hellinggrafiek zit op twee punten op hoogte $0$.De gebeurt in de punten met $x = -2$ en $x = 1$.De grafiek van de afgeleide functie is even op hoogte $y = 0$, dus de raaklijn loopt daar even horizontaal.Om dit punt heen is de grafiek van de afgeleide functie negatief, dus de grafiek van de oorspronkelijke functie blijft daar dalen.We hebben dus te maken met een buigpunt (1) in een dalende (2) grafiek.De afgeleide functie bij $x = 1$ is positief en wordt steeds groter.De grafiek van de oorspronkelijke functie stijgt dus en de helling neemt toe.Er is dus een toenemende stijging bij $x = 1$ in de grafiek van de oorspronkelijke functie. $f(x)$ is een horizontale lijn.Daarvan is de helling $0$.$f’(x) = 0$Alternatieve aanpak: $f(x) = 4$ mag je ook schrijven als $f(x) = 4 \cdot x^0$ (want $x^0 = 1$)Om de afgeleide functie te bepalen van een machtsfunctie zet je de exponent er voor en verlaag je de exponent met $1$.$f’(x) = 4 \cdot 0 \cdot x^{-1}$Hier wordt vermenigvuldigd met $0$, dus de uitkomst is $0$.$f’(x) = 0$De functie beschrijft een rechte lijn. Het hellingsgetal is het getal voor de $x$.De hellingfunctie of afgeleide functie is $g’(x) = 2$.Alternatieve aanpak: de functie $g(x)$ is te schrijven als de som van twee functies:$g(x) = p(x) + q(x)$Met $p(x) = 2x$ en $q(x) = 3$Hiervan zijn de afgeleide functies$p’(x) = 2$$q’(x) = 0$Volgens de somregel: $g’(x) = p’(x) + q’(x)$Dus $g’(x) = 2 + 0 = 2$$g’(x) = 2$Bij een machtsfunctie: exponent er voor zetten en de exponent daarna zelf verlagen met $1$.$h’(x) = 7x^6$We kunnen de somregel toepassen: $k(x) = p(x) + q(x)$$p(x) = x^3$$q(x) = x^2$De afgeleide functies van de termen zijn dan$p’(x) = 3x^2$$q’(x) = 2x$De afgeleide functie van $k(x)$ is dan$k’(x) = 3x^2 + 2x$ Het differentiequotiënt  is een benadering van de helling in een punt. We nemen dan een klein interval waar we de helling uitrekenen, in dit geval $[4, 4.001]$$f(4) = 4\sqrt{4} = 8$$f(4.001) = 4.001 \sqrt{4.001} = 8.0030…$$\frac{\triangle y}{\triangle x} = \frac{f(4.001) - f(4)}{0.001} = \frac{8.0030… - 8}{0.001} = \frac{0.0030…}{0.001} = 3.00018… \approx 3.0$ $f(x)$ daalt als $f’(x) < 0$$f’(x) < 0$ op $\langle \leftarrow , -2 \rangle$$f’(x) < 0$ op $\langle 0, 2 \rangle$$f(x)$ daalt dus op $\langle \leftarrow ,  -2 \rangle$ en $\langle 0 , 2 \rangle$Bij een maximum gaat een grafiek over van stijgend in dalend.$f(x)$ stijgend, betekent dat $f’(x) > 0$$f(x)$ dalend, betekent dat $f’(x) < 0$$f’(x)$ gaat één keer over van positief naar negatief, namelijk bij $x = 0$$f(x)$ heeft één maximum. De $x$-coördinaat daarvan is $x = 0$De grafiek van $g(x)$ stijgt tot $x =3$, en daarna ook weer. Alleen in $x = 3$ loopt de raaklijn aan deze grafiek even horizontaal.De grafiek van $g’(x)$ is tot $x = 3$ en daarna positief, want daar stijgt de grafiek van $g(x)$.In $x = 3$ is de helling even $0$, dus daar is $g’(x) = 0$. De grafiek van $g’(x)$ raakt daar dus aan de $x$-as.Samengevat: de grafiek van $g’(x)$ raakt de $x$-as in $x = 3$ en ligt verder overal boven de $x$-as. De helling van de grafiek in een punt bereken je door de afgeleide te berekenen en de xxx-coördinaat van dat punt in te vullen.f(x)=12x4f(x) = \frac{1}{2}x^4f(x)=21​x4, dus f’(x)=4⋅12x3=2x3f’(x) = 4 \cdot \frac{1}{2} x^3 = 2x^3f’(x)=4⋅21​x3=2x3f’(3)=2⋅33=54f’(3) =2 \cdot 3^3 = 54f’(3)=2⋅33=54g(x)=8x+1g(x) = 8x + 1g(x)=8x+1 is samengesteld uit de termen 8x8x8x en +1+1+1Bij een som van twee functies mag je de functies apart differentiëren.g’(x)=8+0=8g’(x) = 8 + 0 = 8g’(x)=8+0=8h(x)=3x4−2x2+4h(x) = 3x^4 - 2x^2 + 4h(x)=3x4−2x2+4 is ook samengesteld.Bij een som met meerdere functies mag je de functies apart differentiëren.h’(x)=4⋅3x3−2⋅2x1+0h’(x) = 4 \cdot 3x^3 - 2 \cdot 2x^1 + 0h’(x)=4⋅3x3−2⋅2x1+0h’(x)=12x3−4xh’(x) = 12x^3 - 4xh’(x)=12x3−4xIn de extreme waarde van p(x)p(x)p(x) geldt dat p’(x)=0p’(x) = 0p’(x)=0 én p’(x)p’(x)p’(x) wisselt van teken.p’(x)=2⋅7x1=14xp’(x) = 2 \cdot 7x^1 = 14xp’(x)=2⋅7x1=14xLos op 14x=014x = 014x=0x=0x=0x=0p’(x)=14xp’(x) = 14xp’(x)=14x wisselt inderdaad van teken in x=0x = 0x=0, wantKies links en rechts van x=0x = 0x=0 een xxx die je invult in p’(x)p’(x)p’(x)p’(−1)=14⋅−1=−14p’(-1) = 14 \cdot -1 = -14p’(−1)=14⋅−1=−14p’(1)=14⋅1=14p’(1) = 14 \cdot 1 = 14p’(1)=14⋅1=14De afgeleide gaat van negatief naar positief, dus de grafiek van p(x)p(x)p(x) gaat van dalend naar stijgend.De grafiek van p(x)p(x)p(x) heeft dus een minimum in x=0x = 0x=0x=0x = 0x=0 invullen in p(x)p(x)p(x) om de yyy-coördinaat te vinden.p(0)=7⋅02=0p(0) = 7 \cdot 0^2 = 0p(0)=7⋅02=0p(x)p(x)p(x) heeft dus een minimum in (0,0)(0,0)(0,0)In de extreme waarde van q(x)q(x)q(x) geldt dat q’(x)=0q’(x) = 0q’(x)=0 én q’(x)q’(x)q’(x) wisselt van teken.q’(x)=4−3⋅3x2=4−9x2q’^{(x)} = 4 - 3 \cdot 3x^2 = 4 - 9x^2q’(x)=4−3⋅3x2=4−9x2Los op 4−9x2=04 - 9x^2 = 04−9x2=0−9x2=−4-9x^2 = -4−9x2=−4x2=49x^2 = \frac{4}{9}x2=94​x=−23∨x=23x = - \frac{2}{3} \vee x = \frac{2}{3}x=−32​∨x=32​Onderzoeken of p’(x)p’(x)p’(x) van teken wisseltLinks van x=−23x = - \frac{2}{3}x=−32​ kiezen we x=−1x = -1x=−1p’(−1)=4−9⋅(−1)2=4−9=−5p’(-1) = 4 - 9 \cdot (-1)^2 = 4 - 9 = -5p’(−1)=4−9⋅(−1)2=4−9=−5NegatiefTussen x=−23x = - \frac{2}{3}x=−32​ en x=23x = \frac{2}{3}x=32​ kiezen we x=0x = 0x=0p’(0)=4−9⋅02=4p’(0) = 4 - 9 \cdot 0^2 = 4p’(0)=4−9⋅02=4PositiefRechts van x=23x = \frac{2}{3}x=32​ kiezen we x=1x = 1x=1p’(1)=4−p⋅12=4−9=−5p’(1) = 4 - p \cdot 1^2 = 4 - 9 = -5p’(1)=4−p⋅12=4−9=−5Negatiefp’(x)p’(x)p’(x) wisselt steeds van tekenEr is dus een minimum in x=−23x = - \frac{2}{3}x=−32​Er is dus een maximum in x=23x = \frac{2}{3}x=32​Nu de coördinaten berekenenMinimum: p(−23)=4⋅(−23)−3⋅(−23)3p(- \frac{2}{3}) = 4 \cdot (- \frac{2}{3}) - 3 \cdot (-\frac{2}{3})^3p(−32​)=4⋅(−32​)−3⋅(−32​)3p(−23)=−83−3⋅(−827)p(-\frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} - 3 \cdot (- \frac{8}{27})p(−32​)=−38​−3⋅(−278​)p(−23)=−83+2427=−7227+2427=−4827p(-\frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} + \frac{24}{27} = - \frac{72}{27} + \frac{24}{27} = - \frac{48}{27}p(−32​)=−38​+2724​=−2772​+2724​=−2748​Maximum: p(23)=4⋅(23)−3⋅(23)3p(\frac{2}{3}) = 4 \cdot (\frac{2}{3}) - 3 \cdot (\frac{2}{3})^3p(32​)=4⋅(32​)−3⋅(32​)3p(23)=83−3⋅(827)p(\frac{2}{3}) = \frac{8}{3} - 3 \cdot (\frac{8}{27})p(32​)=38​−3⋅(278​)p(23)=83−2427=7227−2427=4827p(\frac{2}{3}) = \frac{8}{3} - \frac{24}{27} = \frac{72}{27} - \frac{24}{27} = \frac{48}{27}p(32​)=38​−2724​=2772​−2724​=2748​Er is een minimum met de coördinaten (−23,−4827)( -\frac{2}{3}, - \frac{48}{27})(−32​,−2748​)Er is een maximum met de coördinaten (23,4827)(\frac{2}{3}, \frac{48}{27})(32​,2748​) De $x$ staat in de exponent. Daarvoor hebben we nog geen regels gehad hoe die kan worden gedifferentieerd.De helling moet dus nu met het differentiequotiënt worden bepaald.We kijken naar het interval $\langle 2, 2.001 \rangle$$f(2) = 3 \cdot 2^2 = 12$$f(2.001) = 3 \cdot 2^{2.001} = 12.0083…$$\frac{\triangle y}{\triangle x} = \frac{f(2.001) - f(2)}{0.001} = \frac{12.0083… - 12}{0.001} = 8.32 … \approx 8.3$De helling is dus ongeveer $8.3$. Zie de tekening hieronder.De hellinggrafiek (blauw) is op hoogte nul waar de grafiek van $f(x)$ een minimum of maximum heeft. Zie de grijze stippellijnen.De hellinggrafiek heeft een minimum of maximum waar de grafiek van $f(x)$ het snelste daalt of stijgt.De hellinggrafiek is negatief (onder de $x$-as) waar de grafiek van $f(x)$ daalt.De hellinggrafiek is positief (boven de $x$-as) waar de grafiek van $f(x)$ stijgt. De helling is $-6$, dus moet gelden $f’(x) = -6$$f’(x) = 3 \cdot \frac{1}{3}x^2 - 2 \cdot 2 \frac{1}{2}x^1$$f’(x) = x^2 - 5x$Nu oplossen $f’(x) = -6$$x^2 - 5x = -6$$x^2 - 5x + 6 = 0$$(x-2)(x-3) = 0$$x-1 = 0 \vee x - 3 = 0$$x=2 \vee x = 3$De $x$-coördinaten zijn gevonden, nu de bijbehorende $y$-coördinaten.$x=2$ geeft$f(2) = \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 2 \frac{1}{2} ]cdot 2^2$$f(2) = \frac{1}{3} \cdot 8 - 2 \frac{1}{2} \cdot 4$$f(2) = \frac{8}{3} - 10 = - \frac{22}{3} = - 7 \frac{1}{3}$$x = 3$ geeft$f(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 2 \frac{1}{2} \cdot 3^2$$f(3) = \frac{1}{3} \cdot 27 - 2 \frac{1}{2} \cdot 9$$f(3) = 9 - 22 \frac{1}{2} = - 13 \frac{1}{2}$De coördinaten van de punten zijn $(2, - 7 \frac{1}{3})$ en $(3, -13 \frac{1}{2})$ $f(x) = px^3 + qx + r$, dus bepalen we eerst de afgeleide$f’(x) = 3px^2 + q$Tegelijk moet gelden $f’(x) = 3x^2 + 2$Kijk naar de factor voor de $x^2$$3p = 3$$p=1$Kijk naar de losse term$q=2$Invullen geeft: $f(x) = 1x^3 + 2x + r$Gegeven is $f(1) = 4$$f(1) = 1 \cdot 1^3 + 2 \cdot 1 + r = 4$$1+2+r = 4$$r=1$Antwoord: $p=1$$q=2$$r=1$ Voor de oppervlakte hebben we de lengte en de breedte van de bodem nodig.Van de maten van het karton wordt aan beide kanten $x$ cm afgetrokken om tot de maten van de bodem te komen.$lengte_{bodem} = 30 - 2x$$breedte_{bodem} = 15-2x$$oppervlakte_{bodem} = lengte \cdot breedte$$oppervlakte_{bodem} = (30-2x)(15-2x)$$oppervlakte_{bodem} = 450 - 60x - 30x + 4x^2$$oppervlakte_{bodem} = 450 - 90x + 4x^2$Inderdaad is $oppervlakte_{bodem} = 4x^2 - 90x + 450$Als we de formule voor de inhoud hebben kunnen we met behulp van de afgeleide het maximum berekenen.$inhoud_{bakje} = oppervlakte_{bodem} \cdot hoogte_{bakje}$$inhoud_{bakje} = (4x^2 - 90x + 450) \cdot x$$inhoud_{bakje} = 4x^3 - 90x^2 + 450x$De afgeleide van de inhoud is dan$inhoud’_{bakje} = 3 \cdot 4x^2 - 2 \cdot 90x + 450$$inhoud’_{bakje} = 12x^2 - 180x + 450$In het maximum is de afgeleide $0$.$inhoud’_{bakje} = 0$$12x^2 - 180x + 450 = 0$$2x^2 - 30x + 75 = 0$ABC-formule$a = 2$, $b = -30$, $c = 75$$D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 75 = 900 - 600 = 300$$x = \frac{-(-30) + \sqrt{300}}{2 \cdot 2} \vee x = \frac{-(-30) - \sqrt{300}}{2 \cdot 2}$$x = 11.83… \vee x = 3.16 …$De eerste oplossing voldoet niet, omdat dat niet zal passen in de breedte.De inhoud van het bakje is dus maximaal bij $x \approx 3.2$ cm.