Moderne Wiskunde A 12e ed/FLEX deel 2 - Hoofdstuk 8 - Grafieken en veranderingen oefentoetsen & antwoorden

De gemiddelde verandering van een functie $f$ over een stuk van $a$ tot $b$ is:$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$ Bij interpoleren nemen we de twee waarden, de waarde links en de waarde rechts van de gevraagde waarde. Dus in dit geval kijken we naar 2002 en 2009 als we 2005 willen weten.In $7$ jaar (van 2002-2009) neemt het aantal inwoners met $4290 - 2120 = 2170$ toe.Dat is $\frac{2170}{7}=310$ per jaar.In 2002 waren er $2120$ inwoners. 2005 is $3$ jaar later. In die $3 $ jaar komen er $310\cdot 3=930$ inwoners bij.Het aantal inwoners op 1-1-2005 is dan $2120+930=3050$.Bij extrapoleren nemen we de twee waarden links (of rechts) van de gevraagde waarde, afhankelijk ok je een waarde in de toekomst of in het verleden wil weten. Dus in dit geval kijken we naar 2009 en 2015 als we 2021 willen weten.In $6$ jaar (van 2009-2015) neemt het aantal inwoners met $6150-4290=1860$ toe.Dat is $\frac{1860}{6}=310$ per jaar.In 2015 waren er $6150$ inwoners. 2021 is $6$ jaar later. In die $6 $ jaar komen er $310\cdot 6=1860$ inwoners bij.Het aantal inwoners op 1-1-2021 is dan $6150+1860=8010$. Bij een lineaire formule is de toename als we $1$ naar rechts gaan, steeds gelijk aan de richtingscoëfficiënt. De toename is dus constant.De rc is gelijk aan $2$. Het toenamediagram ziet er als volgt uit:De toename van $0$ tot $1$ is gelijk aan $1$. De eerste formule valt af: voor $x=0$ is $y=0$ en voor $x=1$ is $y=2$. Dit is een toename van 2.Ga zelf na dat de andere twee formules nog wel voldoen. Maak daartoe de volgende tabel:$y=x^2$$y=x^2+6$$x=-3$$y=9$$y=15$$x=-2$$y=4$$y=10$$x=-1$$y=1$$y=7$$x=-0$$y=0$$y=6$$x=1$$y=1$$y=7$$x=2$$y=4$$y=10$$x=3$$y=9$$y=15$$x=4$$y=16$$y=21$De toenamen zijn voor beide formules gelijk: $-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7$. Dit komt precies overeen met de toenamediagramConclusie: zowel $y=x^2$ als $y=x^2+6$ voldoet. Maak een tabel met punten van de grafiek die voldoen.De grafiek gaat door het punt $(2,1)$:$x$$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$y$$1$$\Delta y$Lees de veranderingen uit het toenamediagram en zet die in de tabel$x$$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$y$$1$$\Delta y$$-1$$3$$1$$0$$1$$-1$Bepaal de punten van de grafiek voor $x < 2$De verandering tussen $x=1$ en $x=2$ is een toename van $3$. De grafiek gaat dus ook door het punt $(1,-2)$De verandering tussen $x=0$ en $x=1$ is een afname van $1$. De grafiek gaat dus door het punt $(0,-1)$.$x$$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$y$$-1$$-2$$1$$\Delta y$$-1$$3$$1$$0$$1$$-1$Bepaal de punten van de grafiek voor $x>2$ De verandering tussen $x=2$ en $x=3$ is een toename van $1$. De grafiek gaat door het punt $(3,2)$$x$$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$y$$-1$$-2$$1$$2$$2$$3$$\Delta y$$-1$$3$$1$$0$$1$$-1$Tip: Controleer de tabel en ga na: De verandering van $y$ tussen $x=0$ en $x=1$ is gelijk aan een afname van $1$.  Dus als je kijkt vanuit het punt $(0,-1)$ krijg je het punt $(1,-2)$, enz.  Teken in een assenstelsel de punten $(0,-1)$, $(1,-2)$, $(2,1)$, $(3,2)$, $(4,2)$, $(5,3)$ en $(6,2)$ aan en teken een grafiek door deze punten. Gevraagd wordt naar de gemiddelde verandering van $f$ op het gedeelte van $x=10$ tot $x=40$.$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(40) - f(10)}{40-10}$Tip: Vind je dit lastig? Plot de grafiek op je GR en maak zelf een schets, zoals in deze uitwerking.We bepalen eerst $f(10)$ en $f(40)$ en daarna de gemiddelde verandering..$f(10) = -\frac{1}{25} \cdot 10^2 + 4 \cdot 10 - 60 = -4 + 40 - 60 = -24$  $f(40) = -\frac{1}{25} \cdot 40^2 + 4 \cdot 40 - 60 = -\frac{1600}{25} + 160 - 60 = -64 + 160 - 60 = 36$ Bepaal de gemiddelde verandering:$\large \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(40)-f(10)}{40-10} = \frac{36 - \, -24}{40 - 10} = \frac{60}{30} = 2$ Op hoofdlijnen zijn er de volgende stappen:Stap 1: bepaal de toenamenStap 2: teken het toenamediagramStap 3: trek uit Stap 1 en Stap 2 de conclusie  Stap 1: bepaal de toenamenMaak een tabel en bereken de waarden van $A$ behorende bij de grenzen. Bepaal vervolgens $\Delta A$.$v$$A = 0.005v^2 + 0.28v$$\Delta A$$0$$A(0) = 0.005 \cdot 0^2 + 0.28 \cdot 0$$20$$A(20) = 0.005 \cdot 20^2 + 0.28 \cdot 20 = 7.6$$7.6 = 0 = 7.6$$40$$A(40) = 0.005 \cdot 40^2 + 0.28 \cdot 40 = 19.2$$19.2 - 7.6 = 11.6$$60$$A(60) = 0.005 \cdot 60^2 + 0.28 \cdot 60 = 34.2$$34.8 - 19.2 = 15.6$$80$$54.4$$19.6$$100$$78$$23.6$$120$$105.6$$27.6$Stap 2: teken het toenamediagramStap 3: trek uit Stap 1 en Stap 2 de conclusieUit de tabel en het toenamediagram is te zien dat de toenamen van $A$ steeds groter worden. $A$ is dus toenemend stijgend.Gevraagd wordt naar de gemiddelde verandering van $A$ op het gedeelte van $v=1$ tot $v=3$. De gemiddelde verandering van $A$ op dit stuk:$\frac{\Delta A}{\Delta v} = \frac{A(3) - A(1)}{3-1}$We bepalen eerst $A(3)$ en $A(1)$ (dit kan ook via de optie TABEL in je GR) en daarna de gemiddelde verandering.$A(3) = 0.005 \cdot 3^2 + 0.28\cdot 3 =0.885$  $f(1) = 0.005 \cdot 1^2 + 0.28\cdot 1 =0.285$ Bepaal de gemiddelde verandering:$\frac{\Delta A}{\Delta v} = \frac{A(3)-A(1)}{3-1} = \frac{0.885-0.285}{3 - 3} = \frac{0.60}{2} = 0.3$ Om 08:00 uur is het aantal reizigers toegenomen met $6$ ten opzichte van 07:00 uur, om 09:00 uur is het aantal reizigers toegenomen met $2$ ten opzichte van 08:00 uur, dus met $6+2 = 8$ passagiers ten opzichte van 07:00 uur.Zet dit in een tabel$tijd$7:008:009:0010:0011:0012:0013:0014:00$\Delta N$-$6$$2$$-10$$-5$$4$$5$$1$$N$$n$$n+6$$n+8$$n-2$$n-7$$n-3$$n+2$$n+3$Stel vast dat er nooit een negatief aantal reizigers in de bus kunnen zitten. Dan moet altijd $n - 7 \geq 0$, dus $n$ is minimaal 7. Conclusie: Om 07:00 uur zitten minstens $7$ reizigers in de bus. We kunnen een tabel maken: studieschuld$6000$$6200$$6500$restschuld na $60$ maanden€$3561$€$4097$Bij een toename van de studieschuld van $6000$ tot $6500$ neemt de restschuld na $60$ maanden met $4097-3561=536$ toe.Dit is $\frac{536}{5}=107.20$ euro per $100$ euro extra studieschuld.Een toename van $6000$ naar $6200$ studieschuld is $2\cdot 100$Er komt dus $2\cdot 107.20=214.40$ euro bij.Bij een studieschuld van $6000$ was de restschuld $3561$. Daar komt dan nog $214.40$ bij.Totaal wordt $3561+214.40=3775.40$ euro. De lijn zou inderdaad kunnen worden doorgetrokken naar links. Hoewel het aantal eers fiks toeneemt gaat het daarna weer naar beneden en komt het ongeveer even ver onder de trendlijn. Het schommelt dus al rond de trendlijn vanaf het jaar 1965.We kunnen twee punten aflezen. In het jaar 1990 is het aantal $91$, en in het jaar 2000 is het aantal $82$.We maken een tabel: $t$199020002020$A$$91$$82$In $10$ jaar neemt het aantal huwelijken met $9$ af (in duizenden). Per jaar is dit een afname van $0.9$.In $20$ jaar (periode 2000-2020) is dit $20\cdot 0.9=18$.In 2000 waren er $82$ (keer duizend) huwelijken en in 2020 was dit aantal $18$ minder, dus $64$.In 2020 zijn er dus volgens deze schatting $64000$ huwelijken.   Alternatief: Je kunt je antwoord controleren door in plaats van lineair te extrapoleren de formule van de trendlijn op te stellen, en deze formule gebruiken om de waarde in 2020 te berekenen. Neem dan $t=0$ in $1988$, het begin van de trendlijn. De formule van de trendlijn is $A=-0.9t+92.8$. Probeer een zo goed mogelijke rechte lijn door de punten te tekenen.Probeer twee roosterpunten te vinden. In dit geval $(2.5; 60)$ en $(4.5; 80)$.De lijn heeft als formule: $E=a \cdot D+b$.De richtingscoëfficiënt $a$ van de trendlijn kan gevonden worden door $\frac{\Delta E}{\Delta D}=\frac{80-60}{4.5-2.5}=10$De formule van de lijn is nu $E=10\cdot D+b$.Vul een van de twee punten in, zeg $(2.5;60)$. Dit geeft: $60=10\cdot 2.5+b$, dus $b=35$.De formule voor de trendlijn is $E=10\cdot D+35$.