Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 3
- Hoofdstuk 9 - Exponentiële en logaritmische functies
oefentoetsen & antwoorden
12e editie
Klas 4-5|Havo
Deze oefentoets behandelt o.m. de volgende onderwerpen: Exponentiële functies, groeifactoren, halverings- en verdubbelingstijd, rekenregels van logaritmen, vergelijkingen oplossen, formules herleiden
Examendomein: B
Toets Wiskunde
Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 3
Online maken
Toets afdrukken
Als iets verdubbelt is is het eigenlijk vermenigvuldigd met 2. Oftewel de groeifactor is dan gelijk aan 2. De functie is vermenigvuldigd met $\frac{1}{2}$ ten opzichte van de y-as. Een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met $c$ ziet er namelijk als volgt uit $y=^2\log(\frac{1}{c}x)$. Neem je $c=\frac{1}{2}$ krijgen we inderdaad de gevraagde functie $f$. Werkwijze: We verkrijgen de halveringstijd door de vergelijking $g^t=\frac{1}{2}$ op te lossen. Als de groeifactor namelijk gelijk is aan een half, vermenigvuldigen we het begingetal, in dit geval 150 met $\frac{1}{2}$. $150\cdot \frac{1}{2}=75$, de hoeveelheid is dan dus inderdaad gehalveerd. $0,65^t=\frac{1}{2}$$t=^{0,65}\log(\frac{1}{2})=1,609$ (gebruik $a^x=y$ geeft $x=^a\log(y)$) Isoleer eerst de logaritme, gebruik dan glog(x)=y^g\log(x)=yglog(x)=y geeft x=gyx=g^yx=gy.−3log(2(x−212))=−2-^3\log(2(x-2\frac{1}{2}))=-2−3log(2(x−221))=−2 (4 naar de andere kant)3log(2(x−212))=2^3\log(2(x-2\frac{1}{2}))=23log(2(x−221))=2 (delen door -1)2(x−212)=322(x-2\frac{1}{2})=3^22(x−221)=32 (Gebruik glog(x)=y^g\log(x)=yglog(x)=y geeft x=gyx=g^yx=gy)2x−5=92x-5=92x−5=92x=142x=142x=14x=7x=7x=7Isoleer eerst de macht en los op.6⋅312x−7=26\cdot 3^{\frac{1}{2}x-7}=26⋅321x−7=2 (5 naar de andere kant)312x−7=133^{\frac{1}{2}x-7}=\frac{1}{3}321x−7=31 (delen door 6)Manier 1, schrijf eerst naar gA=gBg^A=g^BgA=gB:312x−7=3−13^{\frac{1}{2}x-7}=3^{-1}321x−7=3−112x−7=−1\frac{1}{2}x-7=-121x−7=−1 (gebruik gA=gBg^A=g^BgA=gB geeft A=BA=BA=B)12x=6\frac{1}{2}x=621x=6x=12x=12x=12Manier 2:12x−7=3log(13)\frac{1}{2}x-7=^3\log(\frac{1}{3})21x−7=3log(31) (gebruik ax=ya^x=yax=y geeft x=alog(y)x=^a\log(y)x=alog(y))12x−7=−1\frac{1}{2}x-7=-121x−7=−112x=6\frac{1}{2}x=621x=6x=12x=12x=123log(−2x+5x+5)=1^3\log(\frac{-2x+5}{x+5})=13log(x+5−2x+5)=1 (gebruik log(A)−log(B)=log(AB)\log(A)-\log(B)=\log(\frac{A}{B})log(A)−log(B)=log(BA))−2x+5x+5=31\frac{-2x+5}{x+5}=3^1x+5−2x+5=31 (gebruik alog(x)=y^a\log(x)=yalog(x)=y geeft x=ayx=a^yx=ay)−2x+5x+5=31\frac{-2x+5}{x+5}=\frac{3}{1}x+5−2x+5=13 (Schrijf 3 als breuk zodat je kruislings kunt vermenigvuldigen)−2x+5=3(x+5)-2x+5=3(x+5)−2x+5=3(x+5) (kruislings vermenigvuldigen)−2x+5=3x+15-2x+5=3x+15−2x+5=3x+15−5x=10-5x=10−5x=10x=−2x=-2x=−2 Maak $t$ vrij betekent dat we $t$ voor de $=$ willen krijgen, oftewel $t=…$. Isoleer eerst de macht. $N-250=-70\cdot 2,3^{-t+1,5}$$\frac{N-250}{-70}=2,3^{-t+1,5}$$-t+1,5=^{2,3}\log(\frac{N-250}{-70})$ (gebruik $a^x=y$ geeft $x=^a\log(y)$)$-t=^{2,3}\log(\frac{N-250}{-70})-1,5$Dus $t=-^{2,3}\log(\frac{N-250}{-70})+1,5$ (delen door -1)Kijk goed naar welke vorm je moet, het verschil tussen de twee functies is dat $S$ voor de $=$ moet komen te staan, we moeten eigenlijk dus $S$ vrijmaken.Isoleer eerst de logaritme. $C-8=-^4\log(2S+3)$$-C+8=^4\log(2S+3)$ (delen door -1)$4^{-C+8}=2S+3$ (gebruik $^a\log(x)=y$ geeft $x=a^y$)$4^{-C+8}-3=2S$$\frac{1}{2}\cdot 4^{-C+8}-\frac{3}{2}=S$Als in de opdracht had gestaan dat we $S$ vrij moesten maken hadden we nu mogen stoppen, $S$ is vrijgemaakt. In de opdracht staat echter ook dat in de nieuwe vorm de enige exponent in de macht $C$ moet zijn. We moeten $4^{-C+8}$ dus nog herschrijven.$\frac{1}{2}\cdot 4^{-C}\cdot 4^8-\frac{3}{2}=S$ (gebruik $g^{a+b}=g^a\cdot g^b$)$\frac{1}{2}\cdot (4^{-1})^C\cdot 65536-\frac{3}{2}=S$ (reken $4^8$ uit en schrijf $-1C$ als macht van een macht.)$32768\cdot\frac{1}{4}^C-\frac{3}{2}=S$ (gebruik $a^{-p}=\frac{1}{a^p}$)We de logaritme en herschrijven en van grondtal wisselen.$A=^3\log(52)-^3\log(d^2)$ (gebruik $\log(\frac{A}{B})=\log(A)-\log(B)$)$A=^3\log(52)-2\cdot^3\log(d)$ (gebruik $\log(A^b)=b\cdot\log(A)$)$A=^3\log(52)-2\cdot \frac{\log(d)}{\log{3}}$ (gebruik $^g\log(A)=\frac{\log(A)}{\log{g}}$)$A=^3\log(52)-2\cdot \frac{1}{\log{3}}\cdot \log(d)$$A=3,597-4,192\cdot\log(d)$ ($^3\log(52)=3,597$ en $2\cdot \frac{1}{\log{3}}=4,192$We moeten $2p$ overhouden in de logaritme. $R=7\cdot^2\log(11\cdot 2p)$ $R=7(^2\log(11) +^2\log(2p))$ (gebruik $\log(AB)=\log(A)+\log(B)$, let op de haakjes!!)$R=7\cdot ^2\log(11) +7\cdot ^2\log(2p)$ (haakjes uitwerken)$R=24,216+7\cdot ^2\log(2p)$ ($7\cdot ^2\log(11)=24,216$)We moeten van de logaritme af in de formule.$\log(N)=0,298t-0,67$$N=10^{0,298t-0,67}$ (gebruik $^a\log(x)=y$ geeft $x=a^y$)Nu nog naar de gevraagde vorm, hiervoor moeten we de macht herschrijven. Gebruik hiervoor de rekenregels voor machten.$N=10^{0,298t}\cdot 10^{-0,67}$ (gebruik $g^{a+b}=g^a\cdot g^b$)$N=(10^{0,298})^t\cdot 0,213…$ (schrijf $10^{0,298t}$ en reken uit $10^{-0,67}=0,213…$)$N=1,986^t\cdot 0,213…$$N=0,213…\cdot 1,986^t$ Stap 1: Het grondtal van de twee functies lijkt verschillend te zijn, wat kan verwarren. We kunnen echter $f$ zó schrijven dat hij ook als grondtal $\frac{1}{7}$ heeft. Alleen twee functies met hetzelfde grondtal kunnen door middel van translaties uit elkaar ontstaan. $f(x)=(7^{-1})^{x-6}+5$.$f(x)=(\frac{1}{7})^{x-6}+5$ (gebruik $a^{-p}=\frac{1}{a^p}$)Stap 2: Kijk nu naar de translatie. We zien dat er 6 van $x$ afgetrokken wordt, dit betekent dat de functie 6 stappen naar rechts is verschoven. We zien dat bij de hele functie 5 wordt opgeteld. Dat betekent dat hij 5 naar boven is geschoven. Conclusie: De translatie is $(6,5)$. De groeifactor in 75 jaar is gelijk aan $g_{75 jaar}=\frac{nieuw}{oud}=\frac{180}{1900}=0,947…$ (rond nog niet af)Terugrekenen naar één jaar: $g_{jaar}=0,947…^{\frac{1}{75}}=0,969…$Antwoord moet in procenten: $0,969…\cdot 100=96,9\%$$100-96,9=3,1\%$Een percentage ronden we af op één decimaal als er niet in de opdracht staat op hoeveel decimalen je moet afronden.Conclusie: Jaarlijks neemt de warmteafgifte $3,1\%$ af. De warmteafgifte in procenten is $3,5\%$, dus de groeifactor is $(100-3,5):100=0,965$ dus $g_{jaar}=0,965$We moeten de warmteafgifte in 5 jaar berekenen: $g_{5 jaar}=0,965^5=0,837$Weer terug rekenen naar procenten: $100\cdot 0,837=83,7\%$ dus de afname is $100-83,7=16,3\%$$g_{jaar}=0,965$ (zie b), we zoeken de halveringstijd dus we moeten $g^t=\frac{1}{2}$ oplossen.$0,965^t=\frac{1}{2}$$t=^{0,965}\log(\frac{1}{2})$ (gebruik $a^x=y$ geeft $x=^a\log(y)$)$t=19$Conclusie na 19 jaar is de warmteafgifte gehalveerd. Exponentiële afname, dus de standaardformule is $N=b\cdot g^t$. In het eerstgenoemde geval wordt de formule $N_1=1900\cdot 0,965^t$ In het tweede geval moeten we de groeifactor nog berekenen. $g_{25 jaar}=\frac{nieuw}{oud}=\frac{600}{1750}=0,342…$ Terugrekenen naar één jaar omdat de groeifactor van de andere functie ook in jaren is en je anders niet gelijk kunt stellen. $g_{jaar}=0,342…^{\frac{1}{25}}=0,958$$N_2=1750\cdot 0,958^t$Stel de twee formules gelijk aan elkaar. $1750\cdot 0,958^t=1900\cdot 0,965^t$$y_1=1750\cdot 0,958^t$$y_2=1900\cdot 0,965^t$Optie snijpunt geeft $x=4$, dus na 4 jaar. We dat het aantal inwoners $N=1.000.000$. We moeten het eerst uitrekenen naar de schaal van de figuur.Invullen geeft: $\log(N)= \log(1.000.000)=6$ Gebruik de grafiek om af te lezen wat $\log(W)$ is als $\log(N)=6$. $\log(W)=3,6$Bij het aflezen was in deze opdracht een marge van 0,1 toegestaan.We moeten $W$ weten, dus deze gaan we vrijmaken. $\log(W)=3,6$$W=10^{3,6}=3981,…$ (gebruik $^a\log(x)=y$ geeft $x=a^y$)Conclusie: 4000 mijl. (afronden op hele mijlen staat in de opdracht)Met de gegevens kunnen we twee vergelijkingen opstellen:$N=100.000$ geeft $W=650$:$\log(650)=a\cdot \log(100.000)+b$.$N=10.000.000$ geeft $W=31.000$:$\log(31.000)=a\cdot \log(10.000.000)+b$.Om deze twee aan elkaar gelijk te kunnen stellen moeten we $a$ of $b$ vrijmaken. $b$ is het makkelijkst:$b=\log(650)-a\cdot \log(100.000)$$b=\log(31.000)-a\cdot \log(10.000.000)$Gelijkstellen geeft: $\log(650)-a\cdot \log(100.000)=\log(31.000)-a\cdot \log(10.000.000)$Nu we maar 1 onbekende hebben, namelijk $a$ kunnen we deze vergelijking oplossen.$y_1=-a\cdot \log(100.000)+a\cdot\log(10.000.000)$ en $y_2=\log(31.000)-\log(650)$Omdat er niet bereken algebraïsch of exact staat mogen we de GR gebruiken.Optie intersect geeft $a=0,84$ en $b=-1,38$.
Deze toets bestellen?
Voordeligst
Lidmaatschap ToetsMij
€ 12,99/mnd
Snel nog even wat toetsen oefenen? Kies dan onze meest flexibele optie.