Toets Wiskunde

Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 3 - Hoofdstuk 9 - Exponentiële en logaritmische functies oefentoetsen & antwoorden

12e editie

Deze oefentoets behandelt o.m. de volgende onderwerpen: Exponentiële functies, groeifactoren, halverings- en verdubbelingstijd, rekenregels van logaritmen, vergelijkingen oplossen, formules herleiden

Examendomein: B 

Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 3
Toets Wiskunde
Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 3
Online maken
Toets afdrukken
Als iets verdubbelt is is het eigenlijk vermenigvuldigd met 2. Oftewel de groeifactor is dan gelijk aan 2. De functie is vermenigvuldigd met $\frac{1}{2}$ ten opzichte van de y-as. Een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met $c$ ziet er namelijk als volgt uit $y=^2\log(\frac{1}{c}x)$. Neem je $c=\frac{1}{2}$ krijgen we inderdaad de gevraagde functie $f$.  Werkwijze: We verkrijgen de halveringstijd door de vergelijking $g^t=\frac{1}{2}$ op te lossen. Als de groeifactor namelijk gelijk is aan een half, vermenigvuldigen we het begingetal, in dit geval 150 met $\frac{1}{2}$. $150\cdot \frac{1}{2}=75$, de hoeveelheid is dan dus inderdaad gehalveerd. $0,65^t=\frac{1}{2}$$t=^{0,65}\log(\frac{1}{2})=1,609$ (gebruik $a^x=y$ geeft $x=^a\log(y)$) Isoleer eerst de logaritme, gebruik dan glog⁡(x)=y^g\log(x)=yglog(x)=y geeft x=gyx=g^yx=gy.−3log⁡(2(x−212))=−2-^3\log(2(x-2\frac{1}{2}))=-2−3log(2(x−221​))=−2 (4 naar de andere kant)3log⁡(2(x−212))=2^3\log(2(x-2\frac{1}{2}))=23log(2(x−221​))=2 (delen door -1)2(x−212)=322(x-2\frac{1}{2})=3^22(x−221​)=32 (Gebruik glog⁡(x)=y^g\log(x)=yglog(x)=y geeft x=gyx=g^yx=gy)2x−5=92x-5=92x−5=92x=142x=142x=14x=7x=7x=7Isoleer eerst de macht en los op.6⋅312x−7=26\cdot 3^{\frac{1}{2}x-7}=26⋅321​x−7=2 (5 naar de andere kant)312x−7=133^{\frac{1}{2}x-7}=\frac{1}{3}321​x−7=31​ (delen door 6)Manier 1, schrijf eerst naar gA=gBg^A=g^BgA=gB:312x−7=3−13^{\frac{1}{2}x-7}=3^{-1}321​x−7=3−112x−7=−1\frac{1}{2}x-7=-121​x−7=−1 (gebruik gA=gBg^A=g^BgA=gB geeft A=BA=BA=B)12x=6\frac{1}{2}x=621​x=6x=12x=12x=12Manier 2:12x−7=3log⁡(13)\frac{1}{2}x-7=^3\log(\frac{1}{3})21​x−7=3log(31​) (gebruik ax=ya^x=yax=y geeft x=alog⁡(y)x=^a\log(y)x=alog(y))12x−7=−1\frac{1}{2}x-7=-121​x−7=−112x=6\frac{1}{2}x=621​x=6x=12x=12x=123log⁡(−2x+5x+5)=1^3\log(\frac{-2x+5}{x+5})=13log(x+5−2x+5​)=1 (gebruik log⁡(A)−log⁡(B)=log⁡(AB)\log(A)-\log(B)=\log(\frac{A}{B})log(A)−log(B)=log(BA​))−2x+5x+5=31\frac{-2x+5}{x+5}=3^1x+5−2x+5​=31 (gebruik alog⁡(x)=y^a\log(x)=yalog(x)=y geeft x=ayx=a^yx=ay)−2x+5x+5=31\frac{-2x+5}{x+5}=\frac{3}{1}x+5−2x+5​=13​ (Schrijf 3 als breuk zodat je kruislings kunt vermenigvuldigen)−2x+5=3(x+5)-2x+5=3(x+5)−2x+5=3(x+5) (kruislings vermenigvuldigen)−2x+5=3x+15-2x+5=3x+15−2x+5=3x+15−5x=10-5x=10−5x=10x=−2x=-2x=−2 Maak $t$ vrij betekent dat we $t$ voor de $=$ willen krijgen, oftewel $t=…$. Isoleer eerst de macht. $N-250=-70\cdot 2,3^{-t+1,5}$$\frac{N-250}{-70}=2,3^{-t+1,5}$$-t+1,5=^{2,3}\log(\frac{N-250}{-70})$ (gebruik $a^x=y$ geeft $x=^a\log(y)$)$-t=^{2,3}\log(\frac{N-250}{-70})-1,5$Dus $t=-^{2,3}\log(\frac{N-250}{-70})+1,5$ (delen door -1)Kijk goed naar welke vorm je moet, het verschil tussen de twee functies is dat $S$ voor de $=$ moet komen te staan, we moeten eigenlijk dus $S$ vrijmaken.Isoleer eerst de logaritme. $C-8=-^4\log(2S+3)$$-C+8=^4\log(2S+3)$ (delen door -1)$4^{-C+8}=2S+3$ (gebruik $^a\log(x)=y$ geeft $x=a^y$)$4^{-C+8}-3=2S$$\frac{1}{2}\cdot 4^{-C+8}-\frac{3}{2}=S$Als in de opdracht had gestaan dat we $S$ vrij moesten maken hadden we nu mogen stoppen, $S$ is vrijgemaakt. In de opdracht staat echter ook dat in de nieuwe vorm de enige exponent in de macht $C$ moet zijn. We moeten $4^{-C+8}$ dus nog herschrijven.$\frac{1}{2}\cdot 4^{-C}\cdot 4^8-\frac{3}{2}=S$ (gebruik $g^{a+b}=g^a\cdot g^b$)$\frac{1}{2}\cdot (4^{-1})^C\cdot 65536-\frac{3}{2}=S$ (reken $4^8$ uit en schrijf $-1C$ als macht van een macht.)$32768\cdot\frac{1}{4}^C-\frac{3}{2}=S$ (gebruik $a^{-p}=\frac{1}{a^p}$)We de logaritme en herschrijven en van grondtal wisselen.$A=^3\log(52)-^3\log(d^2)$ (gebruik $\log(\frac{A}{B})=\log(A)-\log(B)$)$A=^3\log(52)-2\cdot^3\log(d)$ (gebruik $\log(A^b)=b\cdot\log(A)$)$A=^3\log(52)-2\cdot \frac{\log(d)}{\log{3}}$ (gebruik $^g\log(A)=\frac{\log(A)}{\log{g}}$)$A=^3\log(52)-2\cdot \frac{1}{\log{3}}\cdot \log(d)$$A=3,597-4,192\cdot\log(d)$ ($^3\log(52)=3,597$ en $2\cdot \frac{1}{\log{3}}=4,192$We moeten $2p$ overhouden in de logaritme. $R=7\cdot^2\log(11\cdot 2p)$ $R=7(^2\log(11) +^2\log(2p))$ (gebruik $\log(AB)=\log(A)+\log(B)$, let op de haakjes!!)$R=7\cdot ^2\log(11) +7\cdot ^2\log(2p)$ (haakjes uitwerken)$R=24,216+7\cdot ^2\log(2p)$ ($7\cdot ^2\log(11)=24,216$)We moeten van de logaritme af in de formule.$\log(N)=0,298t-0,67$$N=10^{0,298t-0,67}$ (gebruik $^a\log(x)=y$ geeft $x=a^y$)Nu nog naar de gevraagde vorm, hiervoor moeten we de macht herschrijven. Gebruik hiervoor de rekenregels voor machten.$N=10^{0,298t}\cdot 10^{-0,67}$ (gebruik $g^{a+b}=g^a\cdot g^b$)$N=(10^{0,298})^t\cdot  0,213…$ (schrijf $10^{0,298t}$ en reken uit $10^{-0,67}=0,213…$)$N=1,986^t\cdot  0,213…$$N=0,213…\cdot 1,986^t$ Stap 1: Het grondtal van de twee functies lijkt verschillend te zijn, wat kan verwarren. We kunnen echter $f$ zó schrijven dat hij ook als grondtal $\frac{1}{7}$ heeft. Alleen twee functies met hetzelfde grondtal kunnen door middel van translaties uit elkaar ontstaan. $f(x)=(7^{-1})^{x-6}+5$.$f(x)=(\frac{1}{7})^{x-6}+5$ (gebruik $a^{-p}=\frac{1}{a^p}$)Stap 2: Kijk nu naar de translatie. We zien dat er 6 van $x$ afgetrokken wordt, dit betekent dat de functie 6 stappen naar rechts is verschoven. We zien dat bij de hele functie 5 wordt opgeteld. Dat betekent dat hij 5 naar boven is geschoven. Conclusie: De translatie is $(6,5)$. De groeifactor in 75 jaar is gelijk aan $g_{75 jaar}=\frac{nieuw}{oud}=\frac{180}{1900}=0,947…$ (rond nog niet af)Terugrekenen naar één jaar: $g_{jaar}=0,947…^{\frac{1}{75}}=0,969…$Antwoord moet in procenten: $0,969…\cdot 100=96,9\%$$100-96,9=3,1\%$Een percentage ronden we af op één decimaal als er niet in de opdracht staat op hoeveel decimalen je moet afronden.Conclusie: Jaarlijks neemt de warmteafgifte $3,1\%$ af. De warmteafgifte in procenten is $3,5\%$, dus de groeifactor is $(100-3,5):100=0,965$ dus $g_{jaar}=0,965$We moeten de warmteafgifte in 5 jaar berekenen: $g_{5 jaar}=0,965^5=0,837$Weer terug rekenen naar procenten: $100\cdot 0,837=83,7\%$ dus de afname is $100-83,7=16,3\%$$g_{jaar}=0,965$ (zie b), we zoeken de halveringstijd dus we moeten $g^t=\frac{1}{2}$ oplossen.$0,965^t=\frac{1}{2}$$t=^{0,965}\log(\frac{1}{2})$ (gebruik $a^x=y$ geeft $x=^a\log(y)$)$t=19$Conclusie na 19 jaar is de warmteafgifte gehalveerd. Exponentiële afname, dus de standaardformule is $N=b\cdot g^t$. In het eerstgenoemde geval wordt de formule $N_1=1900\cdot 0,965^t$ In het tweede geval moeten we de groeifactor nog berekenen. $g_{25 jaar}=\frac{nieuw}{oud}=\frac{600}{1750}=0,342…$ Terugrekenen naar één jaar omdat de groeifactor van de andere functie ook in jaren is en je anders niet gelijk kunt stellen. $g_{jaar}=0,342…^{\frac{1}{25}}=0,958$$N_2=1750\cdot 0,958^t$Stel de twee formules gelijk aan elkaar. $1750\cdot 0,958^t=1900\cdot 0,965^t$$y_1=1750\cdot 0,958^t$$y_2=1900\cdot 0,965^t$Optie snijpunt geeft $x=4$, dus na 4 jaar.  We dat het aantal inwoners $N=1.000.000$. We moeten het eerst uitrekenen naar de schaal van de figuur.Invullen geeft: $\log(N)= \log(1.000.000)=6$ Gebruik de grafiek om af te lezen wat $\log(W)$ is als $\log(N)=6$. $\log(W)=3,6$Bij het aflezen was in deze opdracht een marge van 0,1 toegestaan.We moeten $W$ weten, dus deze gaan we vrijmaken. $\log(W)=3,6$$W=10^{3,6}=3981,…$ (gebruik $^a\log(x)=y$ geeft $x=a^y$)Conclusie: 4000 mijl. (afronden op hele mijlen staat in de opdracht)Met de gegevens kunnen we twee vergelijkingen opstellen:$N=100.000$ geeft $W=650$:$\log(650)=a\cdot \log(100.000)+b$.$N=10.000.000$ geeft $W=31.000$:$\log(31.000)=a\cdot \log(10.000.000)+b$.Om deze twee aan elkaar gelijk te kunnen stellen moeten we $a$ of $b$ vrijmaken. $b$ is het makkelijkst:$b=\log(650)-a\cdot \log(100.000)$$b=\log(31.000)-a\cdot \log(10.000.000)$Gelijkstellen geeft: $\log(650)-a\cdot \log(100.000)=\log(31.000)-a\cdot \log(10.000.000)$Nu we maar 1 onbekende hebben, namelijk $a$ kunnen we deze vergelijking oplossen.$y_1=-a\cdot \log(100.000)+a\cdot\log(10.000.000)$ en $y_2=\log(31.000)-\log(650)$Omdat er niet bereken algebraïsch of exact staat mogen we de GR gebruiken.Optie intersect geeft $a=0,84$ en $b=-1,38$. 

Deze toets bestellen?

Voordeligst
Lidmaatschap ToetsMij
€ 12,99/mnd
  • Snel nog even wat toetsen oefenen? Kies dan onze meest flexibele optie.
  • Je kunt maandelijks opzeggen.
  • Toegang tot alle vakken bij ToetsMij.
Kies dit abonnement

Wat krijg je bij een abonnement?

  • Toegang tot alle vakken
  • 20 kwalitatieve oefentoetsen per maand
  • Antwoorden, uitwerkingen en toelichtingen
  • Geen stress voor het maken van toetsen
Eenvoudig en veilig betalen met iDEAL of creditcard
3 maanden ToetsMij
€ 12,99
€ 10,99/mnd
  • Voordelig en flexibel. Ideaal als je maar een paar maanden toetsen hoeft te gebruiken.
  • Betaal per kwartaal en bespaar hiermee 2 euro per maand.
  • Toegang tot alle vakken bij ToetsMij.
Kies dit abonnement

Wat krijg je bij een abonnement?

  • Toegang tot alle vakken
  • 20 kwalitatieve oefentoetsen per maand
  • Antwoorden, uitwerkingen en toelichtingen
  • Geen stress voor het maken van toetsen
Eenvoudig en veilig betalen met iDEAL of creditcard
1 jaar ToetsMij
€ 12,99
€ 7,50/mnd
  • Favoriete keuze van meer dan 70% van de gebruikers.
  • Betaal slechts 90 euro per jaar en bespaar hiermee 65 euro.
  • Geniet van een volledig jaar toegang tot alle vakken bij ToetsMij.
Kies dit abonnement

Wat krijg je bij een abonnement?

  • Toegang tot alle vakken
  • 20 kwalitatieve oefentoetsen per maand
  • Antwoorden, uitwerkingen en toelichtingen
  • Geen stress voor het maken van toetsen
Eenvoudig en veilig betalen met iDEAL of creditcard

Dit zeggen leerlingen en ouders

10

Cijfers omhoog

Onze zoon had in februari zeker 12 minpunten. Hij is gestart met oefenen via Toets mij en heeft een geweldige eindsprint getrokken en afgelopen week bijna het onmogelijke waargemaakt. Er zijn nog maar 2 minpunten over en nog niet alle toetsen zijn terug. Het heeft onze zoon enorm geholpen, omdat er breed getoetst wordt en de vraagstelling, zoals van hem begrepen, overeenkomt met de toets. Als je de oefentoetsen goed kunt maken, beheers je de stof echt goed!

AP
9.0

Fijn dat leerlingen alvast een keer een toets kunnen oefenen die eruit ziet zoals op school.

Wij hebben sinds kort Toetsmij, omdat onze dochter het erg lastig heeft met Wiskunde. Op deze manier kan ze het hoofdstuk oefenen met een toets die qua vraagstelling overeenkomt met de toetsen op school. Nu kan ze dit dus eerst oefenen voordat ze de echte toets moet doen. Als docent Engels die werkt met Of Course en All Right kan ik bevestigen dat de toetsen grotendeels overeenkomen met de vraagwijze van de methode zelf. Dat is dus heel fijn voor leerlingen om te oefenen. We hadden heel even een dingetje met het nakijken, want de uitwerkingen werden niet goed weergegeven. Even een mailtje en binnen een dag reactie en ICT ging meteen aan de slag met het herstellen van de uitwerkingen. Super contact, goede dienstverlening! Aanrader!

Lelani van den Berg
10

Zéér tevreden!!

Lid geworden voor mijn zoon in leerjaar 1 van (toen 13) inmiddels 15. Hij zit nu in leerjaar 3 HAVO. Elk boek is makkelijk te vinden en alsmede mailt met een probleem omdat hij Duits krijgt uit een boek van leerjaar 2 word dit zelfs op zondag binnen een half uur opgelost en toegevoegd aan ons account! Zo’n toffe service zie je niet vaak meer! Dus wij zijn zéér tevreden. Sinds we het nu weer gebruiken (tijdje niet gebruikt) scoort hij weer voldoendes en zelf voor wiskunde een 8.8!

Linda Ockers

Zoek in meer dan 10.000 toetsen

Echte toetsvragen, precies aansluitend op jouw lesmethode en leerjaar. Voor klas 1 t/m 6 van vmbo-t t/m gymnasium.

Ik zit in het
en doe
ik wil beter worden in