Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 3 - Hoofdstuk 10 - Meetkundige berekeningen oefentoetsen & antwoorden

Cosinusregel: $a^2=b^2+c^2-2\cdot a\cdot b\cos(\angle A)$Sinusregel: $\frac{a}{\sin\angle A}=\frac{b}{\sin\angle B}=\frac{c}{\sin\angle C}$ Werkwijze: Binnen driehoek $\triangle ABC$ weten we hoek $\angle B$ en een zijde. Het is geen rechthoekige driehoek, dus Pythagoras en $SOSCASTOA$ kunnen we niet gebruiken. We hebben een extra zijde of hoek nodig om de sinus- of cosinusregel te gebruiken binnen $\triangle ABC$. Er is gegeven dat $ABCD$ een trapezium is, als er informatie gegeven wordt kun je vaak de eigenschappen gebruiken, in dit geval de eigenschap dat zijde $AB$ en zijde $CD$ evenwijdig aan elkaar zijn (trapezium). Stap 1: $AB\parallel CD$ dus we hebben Z-hoeken. $\angle ABC=\angle BCD=26,57$Stap 2: We weten in driehoek $\triangle ABC$ nu nog steeds niks meer, maar in driehoek $\triangle BCD$ weten we nu wel twee zijden en een hoek, met de cosinusregel kunnen we de derde zijde van deze driehoek berekenen en daarmee kunnen we in driehoek $\triangle ABC$ verder rekenen. $BD^2=CD^2+BC^2-2\cdot CD\cdot BC\cos(\angle BCD)$$4,24^2=3^2+BC^2-2\cdot 3\cdot BC \cos(26,57)$$y_1=4,24^2$ en $y_2=9+x^2-6x\cos(26,57)$Optie intersect geeft $x=6,705…$ dus $BC=6,705…$Stap 3: Nu we in driehoek $\triangle ABC$ twee zijden en een hoek weten kunnen we met behulp van de cosinusregel ook zijde $AC$ in driehoek $\triangle ABC$ berekenen. $AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos(\angle ABC)$$AC^2=7^2+6,705…^2-2\cdot 7\cdot 6,705… \cos(26,57)$$AC^2=10$$AC=\sqrt{10}=3,16$ Werkwijze: We gebruiken de rechthoekige driehoek(die getekend is in het figuur) met schuine zijde $r$ om de straal te berekenen. We drukken eerst alle zijden uit in $r$ met behulp van het vierkant er omheen.Stap 1: Druk de zijden van de driehoek uit in $r$. We geven eerst de hoeken van de driehoek een naam en tekenen de straal vanuit $M$ loodrecht op $DC$ en $BC$. (zijde $BC$ en $DC$ raken de cirkel en de straal staat altijd loodrecht op de raaklijn)Tip: Eigenlijk kun je in elke opgave waar een cirkel gegeven is de straal in je voordeel gebruiken, vaak moet je dan ergens de straal erbij tekenen zoals in deze opdracht!De lengte van zijde $PQ=24-6-r=18-r$, de lengte van zijde $QM=24-8-r=16-r$.Stap 2: Gebruik de stelling van Pythagoras.$PQ^2+QM^2=PM^2$$(18-r)^2+(16-r)^2=r^2$$324-36r+r^2+256-32r+r^2=r^2$$r^2-68r+580=0$$(r-58)(r-10)=0$$r=58 \vee r=10$$r$ kan niet 58 zijn als het hele vierkant maar 24 is. Dus de straal moet wel 10 zijn.Conclusie: $r=10$. Werkwijze: Om de lijnen $k$ en $l$ op te stellen hebben we eerst het middelpunt van de cirkel nodig. Aangezien raaklijnen loodrecht op de straal van de cirkel staan kunnen we de richtingscoëfficiënt van de raaklijnen verkrijgen door eerst de richtingscoëfficiënt van de lijn door $M$ en het raakpunt te bepalen.Stap 1: bepaal middelpunt $M$ van cirkel $c$. $(x-3)^2-9+(y+2)^2-4=-3$ (splits het kwadraat af)$(x-3)^2+(y+2)^2=10$ $M(3,-2)$Stap 2: bereken de richtingscoëfficiënten van de lijn door $M$ en $A$, deze noemen we voor het gemak lijn $a$ en de richtingscoëfficiënt van de lijn door $M$ en $B$ deze lijn noemen we voor het gemak lijn $b$.$rc_b=\frac{y_B-y_M}{x_B-x_M}=\frac{1- -2}{4-3}=3$Kies altijd de coördinaat met de grootste x-waarde eerst. $x_B>x_M$ dus kiezen we zowel onder als boven de deelstreep $B$ eerst. $rc_a=\frac{y_M-y_A}{x_M-x_A}=\frac{-2--3}{3-0}=\frac{1}{3}$$x_M>x_A$ dus nemen we nu $M$ eerst. Stap 3: De richtingscoëfficiënt van de raaklijn staat loodrecht op de lijn door het middelpunt $M$ en het raakpunt. $l \perp b$ geeft $rc_l \cdot rc_b=-1$$rc_l \cdot 3=-1$$rc_l=-\frac{1}{3}$$l: y=-\frac{1}{3}x+b$$k \perp a$ geeft $rc_k \cdot rc_a=-1$$rc_k\cdot \frac{1}{3}=-1$$rc_k=-3$$k: y=-3x+b$Stap 4: maak beide formules af door het raakpunt in te vullen. $l: y=-\frac{1}{3}x+b$ door $B(4,1)$ geeft:$l: 1=-\frac{1}{3}\cdot 4+b$$b=2\frac{1}{3}$$l: y=-\frac{1}{3}x+2\frac{1}{3}$$k: y=-3x+b$ door $B(0,-3)$ geeft:$l: -3=-3\cdot 0+b$$b=-3$$k: y=-3x-3$Met behulp van de tangens kunnen we de richtingshoek van een lijn berekenen met behulp van de richtingscoëfficiënt, er geldt namelijk $tan(\alpha)=rc_l$$tan(\alpha)=-\frac{1}{3}$ $\alpha=-18,43…$ (we kunnen $\alpha$ vrijmaken door de inverse van tangens, $tan^{-1}$ te gebruiken)$tan(\beta)=-3$ $\beta=-71,56… $\alpha>\beta$ dus, $\alpha-\beta=-18,43…- -71,56=53,1\circ$ (trek de kleinste hoek van de grootste af)Dus de hoek tussen $k$ en $l$ is ongeveer $53,1\circ$. Stap 1: Bereken de afstand tussen middelpunten van de twee cirkels. $d(M_1,M_2)=\sqrt{(x_m1-x_m2)^2+(y_m1-y_m2)^2}=\sqrt{(1-5)^2+(-1--3)^2}=\sqrt{(-4)^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ (omdat we toch kwadrateren maakt nu de volgorde van de coördinaten niet uit)Stap 2: De afstand tussen de twee cirkels is de afstand tussen de twee middelpunten min de straal van beide cirkels.$d(c_1,c_2)= 2\sqrt{5}-2-5=2\sqrt{5}-7$ Stap 1: We schetsen de situatie. In de afbeelding hieronder zie je de situatie wanneer de bal uit is. $T$ is buiten het servicevak op de grond gekomen. De afstand vanaf de achterlijn tot het servicevak is ook getekend. Deze is $11,89-6,40=5,49$. De bal is dus uit als de afstand tussen de achterlijn en het servicevak kleiner is dan 5,49 meter. Nu de situatie van de vraag:De bal is uit als de afstand van de achterlijn tot $T<5,49$. We moeten dus eigenlijk de hoogte van deze driehoek berekenen. Stap 2: Bereken de hoogte. We moeten de hoogte berekenen van de driehoek. Oftewel de afstand van zijde $AB$ tot $T$. Deze hoogtelijn snijdt de zijde $AB$ niet precies in het midden (dit zie je aan de grootte van de hoeken $A$ en $B$ deze zijn niet precies $45\circ$). We moeten dus één van zijden van de driehoek gaan berekenen. Van driehoeken $\triangle ACT$ en $\triangle BCT$ weten we alleen de hoeken, we moeten één van de zijden hebben voor de lengte van $CT$, hiervoor kijken we weer naar de grote driehoek $\triangle ABT$Driehoek $\triangle ABT$ is niet rechthoekig, we kunnen dus geen $SOSCASTOA$ gebruiken en ook Pythagoras niet. De sinusregel en de cosinusregel blijven over. We kiezen de sinusregel. We kiezen de sinusregel als we de hoeken hebben en één zijde. We kiezen de cosinusregel als we meerdere zijden hebben en een hoek. Gebruik de hoekensom van een driehoek om ook hoek $\angle T$ te berekenen. $180-44,7-46,1=89,2\circ$De sinusregel geeft: $\frac{BT}{\sin\angle A}=\frac{AT}{\sin\angle B}=\frac{AB}{\sin\angle T}$$\frac{BT}{\sin/ {44,7}=\frac{AT}{\sin 46,1}=\frac{10,97}{\sin 89,2}}$$\frac{AT}{\sin 46,1}=\frac{10,97}{89,2}$ geeft$AT=10,97\cdot \sin{46,1}:\sin{89,2}=7,905…$ (kruislings vermenigvuldigen)Nu kunnen we in driehoek $\triangle ACT$ met behulp van $SOSCASTOA$ zijde $CT$ berekenen. $CT$ is de overstaande zijde t.o.v. de hoek die we weten, $\angle A=44,7$, we weten $AT$ dit is de schuine zijde, we gebruiken dus $SOS$.$\sin(\angle A)=\frac{CT}{AT}$$\sin(44,7)=\frac{CT}{7,905…}$$CT=\sin(44,7)\cdot 7,905…=5,56$Conclusie: $5,56>5,49$, de bal komt dus in het servicevak.  Werkwijze: Eerst stellen we raaklijn $h$ op. Vervolgens vullen we $B$ in in de cirkelvergelijking om $a$ te vinden. Tot slot substitueren we de lijn $k: y=rc_h x+b$ in de cirkel om de waarden van $b$ te vinden waarvoor een lijn met dezelfde helling als $h$ (evenwijdig) de cirkel raakt.Stap 1: Stel raaklijn $h$ op. $h: y=ax+b$, voor $a=rc_h$ moeten we de x-coördinaat van het raakpunt invullen in de afgeleide. Bereken de x-coördinaat van $B$ door de vergelijking $g(x)=1$ op te lossen. ($B$ ligt op $g$)$-\sqrt{x-3}+2=1$$-\sqrt{x-3}=-1$$\sqrt{x-3}=1$$x-3=1$ (kwadrateren)$x=4$$B(4,1)$Bereken de afgeleide van $g$ om de helling van de raaklijn te kunnen berekenen. $g’(x)=-\frac{1}{\sqrt{x-3}}$$a=rc_h=g’(4)=-\frac{1}{\sqrt{4-3}}=-1$$h: y=-x+b$ door $B(4,1)$. $B$ invullen in $h$ geeft:$1=-4+b$$b=5$$h: y=-x+5$Stap 2: Cirkel $c$ gaat door $B$, vul $B$ in om $a$ te vinden.$c: 4^2+1^2-2\cdot 4+4\cdot 1=a$$a=13$Stap 3: Substitueer $k: y=-x+b$ in $c: x^2+y^2-2x+4y=13$ om de waarden voor $b$ te vinden waarvoor $c$ de lijn raakt. $c: x^2+(-x+b)^2-2x+4(-x+b)=13$$x^2+x^2-2bx+b^2-2x-4x+4b=13$ (haakjes uitwerken)$2x^2+(-2b-6)x+b^2+4b-13=0$Omdat de lijn de cirkel raakt hebben de lijn en de cirkel maar één punt gemeenschappelijk, namelijk het raakpunt. De discriminant is dus gelijk aan 0, $D=0$ zorgt ervoor dat de vergelijking één oplossing heeft. $D=(-2b-6)^2-4\cdot 2(b^2+4b-13)=0$$4b^2+24b+36-8b^2-32b+104=0$$-4b^2-8b+140=0$$b^2+2b-35=0$ (delen door -4)$(b+7)(b-5)=0$$b=-7 \vee b=5$Lijn $h$ had al $b=5$, dus van lijn $k$ moet $b=-7$ zijn. Conclusie: $k: y=-x-7$