Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 3 - Hoofdstuk 11 - Verbanden en functies oefentoetsen & antwoorden

Een omgekeerd evenredig verband.Een exponentiële functie heeft als standaardformule $y=g^x$. Deze functie heeft een horizontale asymptoot. Dit komt doordat we uit een macht nooit een negatieve uitkomst krijgen. Ga maar na, als we een negatief getal voor $x$ invullen hoe klein dan ook krijgen we een breuk, als we een positief getal voor $x$ invullen wordt het getal steeds groter. Ook bestaat er geen waarde voor $x$ waarvoor $y=g^x=0$. De horizontale asymptoot bij de standaardgrafiek is dus $y=0$. Door de $x$ in de noemer van de breuk van een gebroken functie zijn er waarden voor $x$ waarvoor de noemer 0 is, oftewel, waarvoor we delen door 0. Delen door 0 kan niet waardoor we een asymptoot krijgen als we $x=0$ naderen.  We gebruiken de standaardformule van een omgekeerd evenredig verband $D=\frac{a}{F^{0,35}}$. Om de formule op te stellen moeten we $a$ weten, herschrijven van $D=\frac{a}{F^{0,35}}$ geeft $a=D\cdot F^{0,35}$We vullen de waarden uit de tabel voor $D$ en $F$ in. $a=45\cdot 230^{0,35}=301,87$$a=37,8\cdot 378^{0,35}=301,73$$a=34,5 \cdot 492^{0,35}=301,99$Afgerond op gehelen is $a=302$Dus $D=\frac{302}{F^{0,35}}$. $F$ vertienvoudigd, dus vul in voor $F$: $10F$, let op de haakjes!$D=\frac{302}{(10F)^{0,35}}$$D=\frac{302}{10^{0,35}F^{0,35}}$$D=\frac{302}{2,24F^{0,35}}$$D=\frac{1}{2,24}\frac{302}{F^{0,35}}$Dus $D$ halveert ongeveer.$D=\frac{302}{F^{0,35}}$$\frac{D}{1}=\frac{302}{F^{0,35}}$$D \cdot F^{0,35}=302$ (kruislings vermenigvuldigen)$F^{0,35}=\frac{302}{D}$$F=(\frac{302}{D})^{\frac{1}{0,35}}$ (werk de exponent weg met zijn inverse)$F=\frac{302^{\frac{1}{0,35}}}{D^{\frac{1}{0,35}}}$ (Reken de macht uit en herschrijf de exponent van $D$)$F=\frac{12182436}{D^{2,86}}$ Begin bij het achterhalen van transformaties altijd bij de vermenigvuldigingen met de x-as en y-as. Een vermenigvuldiging heeft namelijk nog invloed op de translaties, maar andersom heeft een translatie geen invloed op vermenigvuldigingen, daarom is het het handigst om bij de vermenigvuldiging te beginnen.We zien dat $f$ een $3$ voor de $x$ in de noemer heeft staan terwijl $g$ niks voor de $x$ in de noemer heeft staan. Als we $f$ vermenigvuldigen met $3$ met de x-as valt de $3$ weg in de noemer:$y=3\cdot(-frac{2}{3x}+5)$ (let op de haakjes! Je vermenigvuldigt de hele functie met $3$)$y=-frac{3\cdot 2}{3x}+3\cdot 5$$y=-frac{2}{x}+15$We willen in de teller $2$ hebben, dus we vermenigvuldigen nogmaals met de x-as met $2$. Deze twee stappen hadden natuurlijk in één stap gekund, door te vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as met $6$.$y=2(-frac{2}{x}+15)$$y=-\frac{4}{x}+30$Tot slot moeten we om van de $x$ in de teller $x+7$ te maken de grafiek nog 7 naar links schuiven. Daarnaast nog 33 omlaag. Oftewel $(-7,-33)$.$y=-\frac{4}{x+7}-3$Conclusie: Eerst vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as met 6, vervolgens translatie $(-7,33)$ toepassen.Stap 1: Bepaal functie $h$. Dat de functie $h$ de asymptoten $x=-3$ en $y=5$ heeft vertelt ons dat de noemer van de breuk van $h$ $x+3$ is. Als we dan namelijk $x=-3$ invullen bestaat de breuk niet, oftewel de functie $h$ heeft een asymptoot in $x=-3$. De standaard horizontale asymptoot van een gebroken functie is $y=0$, nu ligt onze horizontale asymptoot 5 hoger ($y=5$) dus we moeten 5 bij de functie optellen. Nu weten we al dat de functie van de vorm $y=\frac{a}{x+3}+5$ is. Door $a$ nog aan te passen kunnen we zorgen dat het punt $A$ op de functie ligt.We weten $A(1,7)$ oftewel $A(1,7)$. We vullen dit punt in om $a$ te vinden.$7=\frac{a}{1+3}+5$$2=\frac{a}{4}$$a=8$$h(x)=\frac{8}{x+3}+5$Stap 2: bepaal de transformaties waardoor $h$ uit $g$ ontstaat. Om ervoor te zorgen dat in de teller 8 staat in plaats van 4 vermenigvuldigen we ten opzichte van de x-as met 2.$g(x)=2(\frac{4}{x+7}-3)$.$y=\frac{8}{x+7}-3$Met de translatie $(4,8)$ schuiven we de functie 4 naar rechts en 8 omhoog.$y=\frac{8}{x-4+7}-3+8$$y=\frac{8}{x+3}+5$Conclusie: Vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as met 2 en vervolgens translatie $(4,8)$. $s(x)= 4^{\frac{1}{2}x+3}+2^{x-5}+4$ (we tellen functie $f$ en $g$ op)We moeten naar een vorm met grondtal 2, hiervoor moeten we in ieder geval het deel uit functie $f$ herschrijven naar grondtal 2.$s(x)=4^{\frac{1}{2}(x+6)}+2^{x-5}+4$ $s(x)=(4^\frac{1}{2})^{x+6}+2^{x-5}+4$$s(x)=2^{x+6}+2^{x-5}+4$ (reken de macht $4^\frac{1}{2}$ uit)We moeten uiteindelijk naar een vorm met $2^x$, de rest moeten we dus wegwerken uit de exponenten. We gebruiken de rekenregel voor machten: $g^{a+b}=g^a\cdot g^b$.$s(x)=2^x \cdot 2^6 + 2^x \cdot 2^{-5}+4$$s(x)=64 \cdot 2^x+\frac{1}{32}\cdot 2^x+4$$s(x)=2^x(64+\frac{1}{32})+4$$s(x)=64\frac{1}{32}\cdot 2^x+4$Conclusie: $a=64\frac{1}{32}$ en $b=4$.$k(x)=h(f(x))$, dus op de plek van de $x$ in $h$ vullen we $f$ in.$h(x)=^2\log(8(4^{\frac{1}{2}x+3}))$Probeer alles binnen de haakjes met hetzelfde grondtal te schrijven als het grondtal van de logaritme, zodat je de logaritme weg kunt werken.$h(x)=^2\log(2^3(2^{x+6}))$ (we gebruiken voor het herschrijven van $f$ dezelfde methode als in opdracht a)$h(x)=^2\log(2^{x+9})$ (gebruik $g^a\cdot g^b=g^{a+b}$)$2^y=2^{x+9}$ (gebruik $y=^g\log(x)$ geeft $x=g^y$)$y=x+9$ (gebruik $g^a=g^b$ geeft $a=b$)Dus $h$ is inderdaad een lineaire functie. In het plaatje zien we dat $f$ een dalparabool is. $f$ is dus van de vorm $y=a(x-p)^2+q)$. Aangezien de top al gegeven is kunnen we $p$ en $q$ gelijk invullen.$f(x)=a(x-1)^2-3$Alleen $a$ is ons nog onbekend in functie $f$. We weten echter dat $f$ door $A$ gaat, als we dit punt invullen in $f$ krijgen we een vergelijking met als enige onbekende $a$, een vergelijking die we dus op kunnen lossen voor $a$.$a(0-1)^2-3=-1$$a(-1)^2=2$$a=2$$f(x)=2(x-1)^2-3$Om een raakpunt te vinden moeten we de afgeleide gelijkstellen aan de  richtingscoëfficiënt van de raaklijn. We weten echter deze richtingscoëfficiënt niet. We weten wel dat onze raaklijn evenwijdig is aan de lijn door $A$ en $T$. Twee evenwijdige lijnen hebben dezelfde richtingscoëfficiënt, we zoeken dus eerst de richtingscoëfficiënt van $g$.$g: y=ax+b$ door $T(1,-3)$ en $A(0,-1)$.$rc_g=\frac{\delta y}{\delta x}=\frac{-3- -1}{1-0}=-2$$rc_h=rc_g=-2$ ($h$ en $g$ evenwijdig), $h$ is een raaklijn aan $f$ in $B$ dus $f’(x_B)=-2$. Stel dus de afgeleide gelijk aan -2 om de x-coördinaat van $B$ te vinden.$f’(x)=4(x-1)=4x-4$$f’(x)=-2$ geeft $4x-4=-2$$4x=2$ oftewel $x=\frac{1}{2}$Om ook de y-coördinaat van $B$ te berekenen vullen we de x-coördinaat in in $f$.$f(\frac{1}{2})=2(\frac{1}{2}-1)^2-3=-2\frac{1}{2}$Conclusie $B(\frac{1}{2},-2\frac{1}{2})$ Stap 1: Plot eerst de grafiek om visueel te maken voor jezelf welke vraag je gesteld wordt. We moeten dus kijken welke y-waarden $f$ aanneemt als we x-waarden nemen groter dan -10. Bij een wortelfunctie moeten we altijd rekening houden met het randpunt. Als we een steeds grotere waarde voor $x$ nemen houdt de functie op een gegeven moment op met bestaan. Om te bepalen wat $y$ minimaal en maximaal wordt voor $x>-10$ moeten we dus zowel de y-waarde bij $x=-10$ weten als de y-waarde van het randpunt. Stap 2: Vul $x=-10$ in in $f$ om te bepalen wat $y$ maximaal wordt. $f(-10)=2+\sqrt{-7\cdot -10-21}=2+\sqrt{49}=9$.Stap 3: Zoek het randpunt om te bepalen wat $y$ minimaal wordt. Om de x-coördinaat van het randpunt te vinden los je de vergelijking $-7x-21\geq 0$ op. $-7x\geq 21$$x\leq -3$ (let op! Het teken klapt om omdat je deelt door een negatief getal)Om de y-coördinaat van het randpunt te vinden vul je de x-coördinaat van het randpunt in in $f$: $f(-3)=2$ (ga na dat je de y-coördinaat ook had kunnen aflezen uit de formule)Het randpunt is $(-3,2)$Stap 4: Kijk opnieuw naar de grafiek om je oplossingen te bepalen. Als we x-waarden kleiner nemen dan -10 kunnen we maximaal tot $x=-3$ gaan (randpunt).In het plaatje zien we dat $y$ minimaal 2 wordt en maximaal 9.Conclusie: Als $x\leq -10$ is $2\leq f(x) < 9$.Let op! We kiezen $\leq$ omdat het randpunt zelf wel bereikt wordt. Omdat de opdracht $x>-10$ is doet $f(x)=9$ niet mee en kiezen we voor $f(x)<9$. Werkwijze: We stellen $f$ gelijk aan $y=4$ en we gebruiken de discriminant om te bepalen waarvoor deze vergelijking drie oplossingen heeft. Stap 1: $f(x)=4$ geeft $4x^3+3px^2+x+4=4$$4x^3+3px^2+x=0$$x(4x^2+3px+1)=0$ (we halen $x$ buiten haakjes omdat we voor een derdegraadsvergelijking niet de theorie over de discriminant kunnen gebruiken. We vinden nu de eerste oplossing $x=0$ en een nieuwe tweedegraadsvergelijking waar we wel de theorie van de discriminant voor kunnen gebruiken)$x=0 \vee 4x^2+3px+1=0$Stap 2: We moeten nu zorgen dat de vergelijking $4x^2+3px+1=0$ twee oplossingen heeft (zodat we in totaal, inclusief $x=0$, drie oplossingen hebben), dit is het geval als $D>0$. $D>0$ oftewel $b^2-4ac>0$ uit de functie halen we $a=4$, $b=3p$ en $c=1$.$9p^2-4\cdot 4\cdot 1>0$$9p^2-16>0$$9p^2>16$$p^2>\frac{16}{9}$$p<-\sqrt{\frac{16}{9}} \vee p>\sqrt{\frac{16}{9}}$$p<-\frac{4}{3} \vee p>\frac{4}{3}$Conclusie: De lijn $f$ heeft drie snijpunten met de lijn $y=4$ als $p<-\frac{4}{3} \vee p>\frac{4}{3}$. Werkwijze: We zoeken een raaklijn aan $f$ evenwijdig aan $l$. Dat betekent dat we een raakpunt zoeken waarvoor geldt $g’(x)=2$. Met de afgeleide bereken je namelijk de richtingscoëfficiënt van het raakpunt en deze moet gelijk zijn aan de richtingscoëfficiënt van $l$, oftewel 2.Stap 1: Neem de afgeleide van $g$. Omdat er maar 1 term in de noemer staat kunnen we de breuk in $g$ uitdelen, dit gaan we doen zodat we vervolgens de afgeleide kunnen berekenen.$g(x)=\frac{3x^2}{x^3}-\frac{9}{x^3}+2x$$g(x)=3x^{-1}-9x^{-3}+2x$ (gebruik $\frac{g^a}{g^b}=g^{a-b}$)Neem de afgeleide: $g’(x)=-3x^{-2}+27x^{-4}+2$Herschrijf de afgeleide zodat er straks makkelijker mee te rekenen is: $g’(x)=-\frac{3}{x^2}+\frac{27}{x^4}+2$Stap 2: Stel de afgeleide gelijk aan $2$: $g’(x)=2$$-\frac{3}{x^2}+\frac{27}{x^4}+2=2$$-\frac{3}{x^2}+\frac{27}{x^4}=0$$\frac{27}{x^4}=\frac{3}{x^2}$ (omdat we twee breuken hebben is het handig om aan beide kanten van de $=$ een breuk te zetten zodat we vervolgen kruislings kunnen vermenigvuldigen)$27x^2=3x^4$$-3x^4+27x^2=0$$-3x^2(x^2-9)=0$ (we gebruiken hetzelfde trucje als bij de derdegraadsvergelijking, hier kunnen we zelfs $x^2$ buiten haakjes halen. Omdat zowel 3 als 27 in de tafel van 3 voorkomen kunnen we ook -3 nog buiten haakjes halen)$-3x^2=0 \vee x^2-9=0$$x=0 \vee x^2=9$$x=0 \vee x=-3 \vee x=3$Conclusie: We hebben meerdere oplossingen voor $f’(x)=2$ er zijn dus meerdere raaklijnen met richtingscoëfficiënt 2. $x=0$ is geen oplossing omdat de functie van $f$ niet bestaat voor $x=0$ (we delen dan namelijk door 0 en dat kan niet). Er zijn dus twee raaklijnen met richtingscoëfficiënt 2, oftewel, naast lijn $l$ nog een lijn.