Moderne Wiskunde A 12e ed/FLEX deel 2 - Hoofdstuk 9 - Lineaire en exponentiële formules oefentoetsen & antwoorden

a) Er is sprake van een lineair verband tussen twee variabelen als er sprake is van een constante toename of constante afname. Voorbeeld: het bedrag dat je betaalt voor de huur van een bestelbus, neemt met een vast bedrag toe voor elke kilometer die je met de bestelbus aflegt. In de grafiek hieronder is te zien dat voor elke afgelegde $10$ kilometer het te betalen bedrag met $5$ euro toeneemt. De grafiek is een rechte lijn.b) Bij een procentuele toename $12.5 \%$ kun je de vermenigvuldigingsfactor berekenen:De oude prijs komt overeen met $100 \%$.Als het bedrag toeneemt met $12.5 \%$, dan komt de nieuwe prijs overeen met $100 \% + 12.5 \% = 112.5 \%$.De factor is $\frac{112.5}{100} = 1.125$.c) Bij vermenigvuldiging met een factor $0.85$ kun je de procentuele afname berekenen:De oude prijs komt overeen met $100 \%$Als de factor $0.85$ is, komt de nieuwe prijs overeen met $0.85 \cdot 100 \% = 85 \%$De procentuele afname is $100 \% - 85 \% = 15 \%$.d) Een algemene formule voor een exponentieel verband is van de vorm $N = b \cdot g^t$. Hierbij is:$N$ de hoeveelheid op tijdstip $t$$b$ de beginhoeveelheid, dat is de hoeveelheid op tijdstip $t=0$.$g$ de groeifactor per (tijds)eenheid. a) De groeifactor bereken we met de formule $g=1+\frac{p}{100}$. Dit geeft $g=0.95$.De halveringstijd is onafhankelijk van het beginbedrag. De formule om de halveringstijd mee te bereken is $0.95^t=\frac{1}{2}$.Dit lossen we op met de grafische rekenmachine            Invoer: $y_1=\frac{1}{2}$ en $y_2=0.95^x$             Window: $0 \leq x \leq 20$ en $0\leq y \leq 1$            Optie: IntersectDe halveringstijd is $t=13.5$ jaar.b) De groeifactor is in dit geval $g=1.023$.De verdubbelingstijd is onafhankelijk van het beginbedrag. De formule om de verdubbelingstijd mee te bereken is $1.023^t=2$.Dit lossen we op met de grafische rekenmachine            Invoer: $y_1=2$ en $y_2=1.023^x$             Windows: $0 \leq x \leq 20$ en $0\leq y \leq 1$            Optie: IntersectDe verdubbelingstijd is $t=30.5$ jaar. Een lineaire vergelijking heeft een algemene vorm: $y = ax + b$ waarbij een lineair verband is tussen $y$ en $x$. Hier is sprake van een lineair verband tussen de kosten $K$ en het aantal dagen t dat de machine wordt gehuurd want de kosten nemen toe met een vast bedrag voor elke dag dat de machine wordt gehuurd. Dus $K = a \cdot t + b$, waarbij er een lineair verband is tussen $K$ en $t$. Daarin zijn: $K$ de totale huurkosten$a$ de toename van de kosten in Euro per dag$b$ de vaste kosten in Euro om de machine te brengen en op te halen, en $t$ het aantal dagen dat de machine wordt gehuurd.De kosten nemen met een vast bedrag per dag dat de machine wordt gehuurd toe, nl. € $450$ per dag: $a = 450$De beginkosten bedragen een vast bedrag, namelijk € $\frac{1000 }{b} = 1000$Dus $K = 450t + 1000$. a) Bij een procentuele afname van $12.7 \%$ kun je de groeifactor berekenen:De oude prijs komt overeen met $100 \%$.Als het bedrag afneemt met $12.7 \%$, dan komt de nieuwe prijs overeen met $100 \% - 12.7 \% = 87.3 \%$.De groeifactor is $\frac{87.3}{100} = 0.873$.b) Bepaal eerst de groeifactor per maand en vervolgens de groeifactor per kwartaal. Bedenk dat een kwartaal bestaat uit drie maanden.De oude prijs komt overeen met $100 \%$.Als het bedrag afneemt in een maand met $6.8 \%$ dan komt de prijs na één maand overeen met $100 - 6.8 \% = 93.2 \%$.De groeifactor per maand is dan $\frac{93.2}{100} = 0.932$.De groeifactor per twee maanden is $0.932 \cdot 0.932 = 0.932^2$.De groeifactor per drie maanden, dus per kwartaal is $0.932 \cdot 0.932 \cdot 0.932 = 0.932^3 \approx 0.810$.Dit betekent dat na drie maanden het afnamepercentage $100\% - 81 \% = 19 \%$c) Bepaal eerst de groeifactor per dag en vervolgens de groeifactor per uur. Bedenk dat een dag bestaat uit 24 uren.De oude prijs komt overeen met $100 \%$.Als de oude prijs in een dag toeneemt met $26.4 \%$ dan is de nieuwe prijs na één dag $100 \% + 26.4 \% = 126.4 \%$.De groeifactor per dag is dan $\frac{126.4}{100} = 1.264$.Voor de groeifactor $g$ per uur geldt $g^{24} = 1.264$ (= groeifactor per dag).De groeifactor per uur is dan $g = 1.264^{\frac{1}{24}} = \sqrt[24]{1.264} \approx 1.00981$.Het groeipercentage per uur is dan $0.981 \%$. We moeten opeenvolgende waarden in de tabel door elkaar delen om te zien of er sprake is van een exponentieel verband.$\frac{5.204}{4} \approx 1.301$$\frac{6.75}{5.204} \approx 1.297$$\frac{8.84}{6.75} \approx 1.3096$$\frac{11.49}{8.84} \approx 1.30$Deze waarde is zo goed als constant. Er is dus sprake van een exponentieel verband en de groeifactor is $g\approx 1.3$. De ongelijkheid $x\geq 0$ spreekt voor zich. Dit is de y-as en het gebied rechts van de y-as.De ongelijkheid $y\geq 0$ spreekt voor zich. Dit is de x-as en het gebied boven de x-as. Er blijft over het eerste kwadrant, waar zowel de x-coördinaat als de y-coördinaat positief zijn.De lijn $5x+y \leq 10$ kan eenvoudig worden getekend door de snijpunten te bepalen met de x-as en de y-as.Snijpunt met de y-as, dan geldt $x=0$. De $y$-coördinaat is dan $10$.Snijpunt met de x-as, dan geldt $y=0$. De x-coördinaat is dan $2$.Teken de lijn tussen deze punten.Kies een punt om te controleren of dit voldoet aan de ongelijkheid  $5x+y \leq 10$.Kies bijvoorbeeld de oorsprong (een eenvoudig punt om in te vullen).De oorsprong voldoet aan de ongelijkheid $5x+y \leq 10$ want $5\cdot 0+0 \leq 10$. Toelichting: Een punt is bij een rechte lijn voldoende om te bepalen of we het gebied moeten hebben boven of onder de lijn.In dit geval moeten we het gebied onder de lijn arceren. Combineer nu de drie gebieden tot een gebied. Zie tekening. Bepaal eerst een aantal punten. De grafiek gaat door de punten $(0,8), (1,40), (2,200), (3,1000)$ en $(4,5000)$. Teken deze punten in de grafiekTip: tussen de 10 en de 100 aan de rechterkant staan aan de linkerkant de cijfers $2, 3, 4, $ etc. Die staan voor $20, 30, 40, $ etc. De $2, 3, 4, $ etc. aan de linkerkant tussen $100$ en $1000$ staan voor $200, 300, 400, $ etc.De grafiek moet een rechte lijn worden (recht op enkellogaritmisch papier betekent dat we te maken hebben met een exponentiële formule).  a) De formule die hierbij hoort is een exponentiële formule. Deze heeft al vorm $N=b\cdot g^t$.Bij $t=0$ is de waarde van $N$ gelijk aan $10^3=1000$, dus $N=1000\cdot g^t$.In $2$ tijdseenheden wordt $N$ $1000$ keer zo groot (van $10^3$ naar $10^6$)In één tijdseenheid is dat $1000^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1000}=31.62$.De formule is $N=1000\cdot 31.62^t$b) De formule die hoort bij de verdubbelingstijd is $g^t=2$ met $g=31.62$. Dit kan worden opgelost met behulp van de rekenmachine:Invoer: $y_1=31.62^x$$y_2=2$Venster $0 \leq x\leq 1$ en $0\leq y\leq 2.5$.Optie: snijpuntenEr geldt $x=0.2$. Dus de verdubbelingstijd is $0.2$ (geen eenheid). a) Stel vast dat de hoge schatting tussen de jaren 1994 en 1999 lineair kan worden benaderd. De vergelijking heeft dus een vorm: $y = ax + b$. Bepaal vervolgens richtingscoëfficiënt $a$ en startgetal $b$ en schrijf tenslotte de vergelijking op:Een lineaire vergelijking is van de vorm $y = ax + b$. Een vergelijking van het verband tussen het uitgavebedrag $B$ en de tijd $t$ in jaren is gevraagd. Dus, neem als vergelijking $B = at + b$ (In plaats van $y$ nemen we het bedrag $B$ van de uitgave, in plaats van $x$ nemen we de tijd $t$ in jaren)Bepaal eerst het bedrag $B$ voor $t = 0$ (1994) en voor $t = 5$ (1999). De gegevens zijn nodig om de constante verandering per jaar te berekenen (richtingscoëfficiënt $a$)De constante verandering per jaar, oftewel de richtingscoëfficiënt:$a = \frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{56 - 37}{5 - 0} = \frac{19 \, miljard \, dollar}{5 \, jaar} = 4.8$ miljard dollar per jaar.Het startgetal is de waarde van het bedrag $B$ voor $t=0$, dus $b = 37$.Met $a = 4.8$ en $b = 37$ wordt de vergelijking $B = 4.8t + 37$ (miljard dollar).b) In de opgave wordt vermeld dat tussen 2001 en 2005 de groei van de uitgaven exponentieel is. De groeifactor over deze vier jaren wordt bepaald en daarna omgerekend naar een groeifactor per jaar. Deze groeifactor kan worden omgezet naar een groeipercentage per jaar:Bepaal eerst het bedrag $B$ voor het jaar 2001 en voor het jaar 2005:De groeifactor over vier jaren (2001-2005) is dus $\frac{93}{65}$.Stel de groeifactor per jaar $g$, dan geldt voor de groei over vier jaar:$g^4 = \frac{93}{65}$. Dus:$(g^4)^{\frac{1}{4}} = (\frac{93}{65})^{\frac{1}{4}}$$g = (\frac{93}{65})^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\frac{93}{65}} \approx 1.094$Extra toelichting over gebruikte rekenregels machten:$(x^a)^b = x^{a \cdot b}$, dus $(g^4)^{\frac{1}{4}} = g$ is de groeifactor per jaar. $\sqrt[q]{x^p} = x^{\frac{p}{q}}$, dus $(\frac{93}{65})^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\frac{93}{65}}$Het groeipercentage is $(\sqrt[4]{\frac{93}{65}} - 1) \cdot 100 \% = (1.094 - 1) \cdot 100 \% \approx 9.4 \%$.c) De algemene formule van een exponentieel verband is van de vorm $N = b \cdot g^t$. Bepaal groeifactor per tijdseenheid $g$ en de beginhoeveelheid $b$: Het exponentieel verband is van de vorm: $B = b \cdot g^t$ (hierbij is in de plaats van $N$ de variabele $B$ genomen).De groeifactor per jaar is bepaald in onderdeel b: $g = 1.094$.De beginhoeveelheid kan worden bepaald aan de hand van een bekend bedrag $B$ voor een bepaalde waarde van $t$. Uit de grafiek volgt dat voor $t = 7$ (2001) geldt $B = 65$ miljard dollar. Er geldt:$B = b \cdot g^t$, dus$65 = b \cdot 1.094^7$, en er volgt$b = \frac{65}{1.094^7} \approx 34.7$ miljard dollarDe exponentiële formule wordt: $B = 34.7 \cdot 1.094^t$ (waarbij geldt $7 \leq t \leq 11$), ,et $B$ het bedrag in miljard dollar en $t$ de tijd in jaren. Toelichting: het gevonden exponentiële verband geldt alleen voor de jaren tussen 2001 en 2005, dus $7 \leq t \leq 11$. Er is sprake van een exponentieel proces. De groeifactor is $g=1+frac{p}{100}=1.045$. De exponentiële formule is $B=b\cdot g^t$ met $b=15000$ het beginbedrag.De formule wordt $B=15000\cdot 1.045^t$We willen de $t$ weten waarbij  het bedrag $B$ gelijk is aan 30000.We krijgen dan de vergelijking  $30000=15000\cdot 1.045^t$Dit is te herschrijven als $2= 1.045^t$Dit kan worden opgelost met behulp van de rekenmachine              Invoer: $y_1=1.045^x$ en $y_2=2$ Venster $0 \leq x\leq 30$ en $0\leq y\leq 2.5$.                         Opties: snijpuntenEr geldt $t= 15.74$. a) Merk op dat in de periode 2011-2013 de gemiddelde koopsom telkens met een gelijk bedrag daalt ten opzichte van het jaar daarvoor. De grafiek is over deze periode een rechte lijn en er is sprake van een constante afname. De gemiddelde koopsom $P$ wordt benaderd met een lineaire vergelijking $P = at + b$ (vergelijk: $y = ax + b$).Voor $t = 9$ is $P = 240059$Voor $t = 11$ is $P = 213353$De verandering per jaar is $\frac{213353 - 240059}{11-9}= -13353$.Negatief, dus elk jaar later een afname.Op $t=0$ is dan $P = 240059 - 9 \cdot - 13353 = 360236$.De formule wordt: $P = -13353t + 360236$.Merk op dat deze formule alleen voor $9 \leq t \leq 11$ een benadering van de waarnemingen oplevert.b) Merk op dat in de periode 2002-2006 de toename van de koopsommen telkens groter wordt ten opzichte van het jaar daarvoor. De gemiddelde koopsom $P$ wordt benaderd met een exponentiële formule: $P = P_0 \cdot g^t$, waarbij $P_0$ de gemiddelde koopsom is in op $t=0$, het jaar 2002 en $g$ de groeifactor per jaar is. Uit de tabel volgt voor $t=4$ is $P = 235843$ en voor $t=0$ is $P = 199752$.Invullen van de gegevens levert: $235843 = 199752 \cdot g^4$, dus$g^4 = \frac{235843}{199752}$$g = (\frac{235843}{199752})^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{235843}{199752} \approx 1.0424$De formule wordt: $P = P_0 \cdot g^t = 199752 \cdot 1.0424^t$.Merk op dat deze formule alleen voor $0 \leq t \leq 4$ een benadering van de waarnemingen oplevert. a)  Noem het aantal raketjes $x$ en het aantal springers $y$.De eerste twee ongelijkheden komen van de mensen die geen raketjes lusten en geen springer: $x\geq 1$ en $y\geq 1$.Verder geldt de ongelijkheid $1.25x+1.5y \leq 21$Het punt $(2,2)$ voldoet aan de laatste vergelijking, want $1.25\cdot 2+1.5 \cdot 2 \leq 21$.We moeten dus het gebied onder die lijn hebben, rechts van de lijn $x=1$ en boven de lijn $x=1$. Zie tekening. b)  Bestudeer bovenstaand gebied. We willen zo dicht mogelijk tegen de schuine lijn aan zitten want dan geeft Bregje het meeste geld uit en dus kan ze de meeste ijsjes kopenWe zijn op zoek naar roosterpunten want ze kan alleen hele ijsjes kopen.Bregje heeft de volgende opties:raketjesspringersPuntTotaalprijs$15$$1$$A$€ $20.25$$14$$2$$B$€ $20.50$$13$$3$$C$€ $20.75$$12$$2$$D$€ $21$Zie tekening. Ze kan dus $16$ ijsjes kopen.Let op: $11$ raketjes en $5$ springers voldoet niet meer aan de voorwaarde $1.25x+1.5y \leq 21$.