Getal en Ruimte wisA/C 12e ed deel 2 - Hoofdstuk 5 - Machtsverbanden oefentoetsen & antwoorden

Deze bewering is fout. De regel $\frac{{{a}^{p}}}{{{a}^{q}}}={{a}^{p-q}}$ geeft   $\frac{24{{x}^{12}}}{12{{x}^{2}}}=2{{x}^{12-2}}=2{{x}^{10}}$Deze bewering is goed.Deze bewering is fout, want de grafiek van $y=0,125{{(x-11)}^{2}}+3$ is een dalparabool. Een dalparabool heeft geen maximum maar een minimum. Het minimum van $y=0,125{{(x-11)}^{2}}+3$ is wel gelijk aan $3$. $y={{\left( \frac{81{{x}^{1,3}}}{27{{x}^{-1,4}}} \right)}^{3}}\cdot 2{{x}^{1,7}}$ $y={{\left( 3{{x}^{2,7}} \right)}^{3}}\cdot 2{{x}^{1,7}}$ :$\frac{{{g}^{a}}}{{{g}^{b}}}={{g}^{a-b}}$$y={{3}^{3}}\cdot {{\left( {{x}^{2,7}} \right)}^{3}}\cdot 2{{x}^{1,7}}$ :${{\left( ab \right)}^{n}}={{a}^{n}}{{b}^{n}}$$y=27\cdot {{x}^{8,1}}\cdot 2{{x}^{1,7}}$ :${{\left( {{g}^{a}} \right)}^{b}}={{g}^{ab}} $en ${{3}^{3}}=27$$y=54{{x}^{9,8}}$ :${{g}^{a}}\cdot {{g}^{b}}={{g}^{a+b}}$$y=\frac{6x}{\sqrt[5]{32x}}$ $y=\frac{6x}{{{\left( 32x \right)}^{\tfrac{1}{5}}}}$ :$\sqrt[a]{x}={{x}^{\tfrac{1}{a}}}$$y=\frac{6x}{{{32}^{\tfrac{1}{5}}}\cdot {{x}^{\tfrac{1}{5}}}}$ :${{\left( ab \right)}^{p}}={{a}^{p}}{{b}^{p}}$$y=\frac{6x}{2\cdot {{x}^{\tfrac{1}{5}}}}$:${{32}^{\tfrac{1}{5}}}=2$$y=3{{x}^{^{\tfrac{4}{5}}}}$ :$\frac{{{g}^{a}}}{{{g}^{b}}}={{g}^{a-b}}$ en $\frac{6}{2}=3$ ${{\left( 2{{m}^{3}}{{n}^{-1}} \right)}^{-4}}$ :${{\left( ab \right)}^{p}}={{a}^{p}}{{b}^{p}}$$={{2}^{-4}}{{\left( {{m}^{3}} \right)}^{-4}}{{\left( {{n}^{-1}} \right)}^{-4}}$:${{\left( {{a}^{p}} \right)}^{q}}={{a}^{pq}}$$={{2}^{-4}}{{m}^{-12}}{{n}^{4}}$:${{a}^{-p}}=\frac{1}{{{a}^{p}}}$$=\frac{1}{{{2}^{4}}}\cdot \frac{1}{{{m}^{12}}}\cdot {{n}^{4}}$:${{2}^{4}}=16$$=\frac{1}{16}\cdot \frac{1}{{{m}^{12}}}\cdot {{n}^{4}}$$=\frac{{{n}^{4}}}{16{{m}^{12}}}$${{81}^{\tfrac{3}{4}}}{{s}^{\tfrac{4}{5}}}\cdot {{t}^{-3}}$ :${{a}^{-p}}=\frac{1}{{{a}^{p}}}$$\left( {{81}^{\tfrac{3}{4}}} \right)\left( {{s}^{\tfrac{4}{5}}} \right)\cdot \frac{1}{{{t}^{3}}}$:${{a}^{\frac{p}{q}}}=\sqrt[q]{{{a}^{p}}}$$\sqrt[4]{{{81}^{3}}}\cdot \sqrt[5]{{{s}^{4}}}\cdot \frac{1}{{{t}^{3}}}$:$\sqrt[4]{{{81}^{3}}}=27$$\frac{27\sqrt[5]{{{s}^{4}}}}{{{t}^{3}}}$ $y=3,7{{x}^{2}}$$\downarrow \text{verschuiving }(-3,4)$$y=3,7{{\left( x+3 \right)}^{2}}+4$$\downarrow \text{ vert}\text{. herschaling factor 3}$$y=3\left( 3,7{{\left( x+3 \right)}^{2}}+4 \right)$Herleiden geeft:$y=3\left( 3,7{{\left( x+3 \right)}^{2}}+4 \right)$$y=11,1{{\left( x+3 \right)}^{2}}+12$$y=11,1\left( {{x}^{2}}+6x+9 \right)+12$$y=11,1{{x}^{2}}+66,6x+99,9+12$$y=11,1{{x}^{2}}+66,6x+111,9$Het maximum is gelijk aan $6$ $\Rightarrow q=6$$y=a{{(x-3)}^{2}}+6$ en door $\left( 5,-4 \right)$ geeft:$-4=a{{(5-3)}^{2}}+6$$-4=a{{(2)}^{2}}+6$$-4=4a+6$$-4a=10$$a=-2\tfrac{1}{2}$ A=6B2B−10A=\frac{6B}{2B-10}A=2B−106B​ We willen een formule van de vorm B=B =B=. We verwisselen beide kanten, zodat we aan de linkerkant de BBB hebben. 6B2B−10=A\frac{6B}{2B-10}=A2B−106B​=ANu beide kanten delen door 2B−102B-102B−106B=A(2B−10)6B=A\left( 2B-10 \right)6B=A(2B−10)Haakjes wegwerken6B=2AB−10A6B=2AB-10A6B=2AB−10AWe zien dat we nu aan de rechterkant weer een term met een BBB hebben. Deze halen we naar links.6B−2AB=−10A6B-2AB=-10A6B−2AB=−10AWe kunnen nu de BBB buiten haakjes halen, want beide termen aan de linkerkant zijn deelbaar door BBB.B(6−2A)=−10AB\left( 6-2A \right)=-10AB(6−2A)=−10AZoals we eerder hebben gezien, willen we aan de linkerkant alleen de variabele , dus delen we beide kanten door 6−2A6-2A6−2AB=−10A6−2AB=\frac{-10A}{6-2A}B=6−2A−10A​We zijn er nu bijna. We hebben de formule uitgedrukt in BBB, maar aan de rechterkant zien we nu een breuk waarvan de teller en de noemer nog deelbaar zijn door 222. We moeten dus nog vereenvoudigen.B=−5A3−AB=\frac{-5A}{3-A}B=3−A−5A​p=3(2q)2,7p=3{{\left( 2q \right)}^{2,7}}p=3(2q)2,73(2q)2,7=p3{{\left( 2q \right)}^{2,7}}=p3(2q)2,7=p(2q)2,7=13p{{\left( 2q \right)}^{2,7}}=\frac{1}{3}p(2q)2,7=31​p2q=(13p)12,72q={{\left( \frac{1}{3}p \right)}^{\frac{1}{2,7}}}2q=(31​p)2,71​q=12⋅(13)12,7p12,7q=\frac{1}{2}\cdot {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{1}{2,7}}}{{p}^{\frac{1}{2,7}}}q=21​⋅(31​)2,71​p2,71​q≈0,33p0,37q\approx 0,33{{p}^{0,37}}q≈0,33p0,37A=7⋅16B4−2⋅81B4A=7\cdot \sqrt[4]{16B}-2\cdot \sqrt[4]{81B}A=7⋅416B​−2⋅481B​We willen naar een vorm toe waarin alleen een BBB onder de vierdemachtswortel staat. Omdat AB4=(AB)14=A14B14=A4⋅B4\sqrt[4]{AB}={{\left( AB \right)}^{\frac{1}{4}}}={{A}^{\frac{1}{4}}}{{B}^{\frac{1}{4}}}=\sqrt[4]{A}\cdot \sqrt[4]{B}4AB​=(AB)41​=A41​B41​=4A​⋅4B​  kunnen we beide vierdemachtswortels opsplitsen.A=7⋅164⋅B4−2⋅814⋅B4A=7\cdot \sqrt[4]{16}\cdot \sqrt[4]{B}-2\cdot \sqrt[4]{81}\cdot \sqrt[4]{B}A=7⋅416​⋅4B​−2⋅481​⋅4B​A=7⋅2⋅B4−2⋅3⋅B4A=7\cdot 2\cdot \sqrt[4]{B}-2\cdot 3\cdot \sqrt[4]{B}A=7⋅2⋅4B​−2⋅3⋅4B​A=14⋅B4−6⋅B4A=14\cdot \sqrt[4]{B}-6\cdot \sqrt[4]{B}A=14⋅4B​−6⋅4B​A=14⋅B4A=14\cdot \sqrt[4]{B}A=14⋅4B​ y1=1,2(x−4)2+6{{y}_{1}}=1,2{{\left( x-4 \right)}^{2}}+6y1​=1,2(x−4)2+6↓ verschuiving (0,a)\downarrow \text{ verschuiving }(0,a)↓ verschuiving (0,a)y=1,2(x−4)2+6+ay=1,2{{\left( x-4 \right)}^{2}}+6+ay=1,2(x−4)2+6+a↓ vert. herschaling factor b\downarrow \text{ vert}\text{. herschaling factor b}↓ vert. herschaling factor by=b(1,2(x−4)2+6+a)y=b\left( 1,2{{\left( x-4 \right)}^{2}}+6+a \right)y=b(1,2(x−4)2+6+a)y=1,2b(x−4)2+b(6+a)y=1,2b{{\left( x-4 \right)}^{2}}+b\left( 6+a \right)y=1,2b(x−4)2+b(6+a)1,2b=9,61,2b=9,61,2b=9,6b=8b=8b=88(6+a)=168\left( 6+a \right)=168(6+a)=1648+8a=1648+8a=1648+8a=168a=−328a=-328a=−32a=−4a=-4a=−4We gaan de coördinaten van beide toppen berekenen.GR: Invoer:   Y1=0,5X2−4X+3{{Y}_{1}}=0,5{{X}^{2}}-4X+3Y1​=0,5X2−4X+3 Optie: Calc →\to →  minimum geeft X=4X=4X=4 en Y=−5Y=-5Y=−5 Uitkomst: De coördinaten van de top zijn (4,−5)\left( 4,-5 \right)(4,−5)GR: Invoer:  Y2=0,5X2−2X+1{{Y}_{2}}=0,5{{X}^{2}}-2X+1Y2​=0,5X2−2X+1 Optie: Calc →\to →  minimum geeft X=2X=2X=2en Y=−1Y=-1Y=−1 Uitkomst: De coördinaten van de top zijn (2,−1)\left( 2,-1 \right)(2,−1)De top is verschoven van (4,−5)\left( 4,-5 \right)(4,−5) naar (2,−1)\left( 2,-1 \right)(2,−1).De verschuiving is dus (−2,4)\left( -2,4 \right)(−2,4). Eerst maken we $m$ vrij in $B=2,2{{m}^{-0,14}}$ $B=2,2{{m}^{-0,14}}$$2,2{{m}^{-0,14}}=B$${{m}^{-0,14}}=\frac{1}{2,2}B$$m={{\left( \frac{1}{2,2}B \right)}^{\frac{1}{^{-0,14}}}}$$m={{\left( \frac{1}{2,2} \right)}^{\frac{1}{^{-0,14}}}}\cdot {{B}^{\frac{1}{^{-0,14}}}}$$m\approx 279,175\cdot {{B}^{-7,143}}$$m=279,175\cdot {{B}^{-7,143}}$invullen in $A=3{{m}^{0,24}}$ geeft:$A=3{{\left( 279,175\cdot {{B}^{-7,143}} \right)}^{0,24}}$$A=3\cdot {{279,175}^{^{0,24}}}{{\left( {{B}^{-7,143}} \right)}^{0,24}}$$A=11,59{{B}^{-1,71}}$ AAA is in honderden meters. Een afstand van 250250250 meter geeft dus A=2,5A=2,5A=2,5 Invullen van A=2,5A=2,5A=2,5geeft:G=94⋅(0,57)2,5+23≈40G=94\cdot {{\left( 0,57 \right)}^{\frac{2,5+2}{3}}}\approx 40G=94⋅(0,57)32,5+2​≈40 dB G=30G=30G=30 geeft de vergelijking 30=94⋅(0,57)A+2330=94\cdot {{\left( 0,57 \right)}^{\frac{A+2}{3}}}30=94⋅(0,57)3A+2​We gebruiken de GR om deze vergelijking op te lossen.Invoer:   Y1=94⋅(0,57)X+23{{Y}_{1}}=94\cdot {{\left( 0,57 \right)}^{\frac{X+2}{3}}}Y1​=94⋅(0,57)3X+2​ Y2=30{{Y}_{2}}=30Y2​=30Optie: Calc →\to →  intersect geeft X=4,095⋯X=4,095\cdots X=4,095⋯Uitkomst: De afstand is dus 410410410meter. G=94⋅(0,57)A+23G=94\cdot {{\left( 0,57 \right)}^{\frac{A+2}{3}}}G=94⋅(0,57)3A+2​G=94⋅(0,57)13A+23G=94\cdot {{\left( 0,57 \right)}^{\frac{1}{3}A+\frac{2}{3}}}G=94⋅(0,57)31​A+32​G=94⋅(0,57)23⋅(0,57)13AG=94\cdot {{\left( 0,57 \right)}^{\frac{2}{3}}}\cdot {{\left( 0,57 \right)}^{\frac{1}{3}A}}G=94⋅(0,57)32​⋅(0,57)31​AG=94⋅(0,57)23⋅((0,57)13)AG=94\cdot {{\left( 0,57 \right)}^{\frac{2}{3}}}\cdot {{\left( {{\left( 0,57 \right)}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{A}}G=94⋅(0,57)32​⋅((0,57)31​)AG≈64,622⋅(0,829)AG\approx 64,622\cdot {{\left( 0,829 \right)}^{A}}G≈64,622⋅(0,829)A Halveren, dus 0,83A=0,5{{0,83}^{A}}=0,50,83A=0,5We gebruiken de GR om deze vergelijking op te lossen.Invoer:   Y1=0,83X{{Y}_{1}}={{0,83}^{X}}Y1​=0,83X Y2=0,5{{Y}_{2}}=0,5Y2​=0,5Optie: Calc →\to →  intersect geeft X=3,720⋯X=3,720\cdots X=3,720⋯Uitkomst: De afstand moet 372372372 meter toenemen. De afstand neemt met 200200200 meter toe. We vervangen AAA door A+2A+2A+2. We krijgen G=65⋅0,83A+2G=65\cdot {{0,83}^{A+2}}G=65⋅0,83A+2Dit is te herleiden tot:G=65⋅0,83A+2G=65\cdot {{0,83}^{A+2}}G=65⋅0,83A+2G=0,832⋅65⋅0,83AG={{0,83}^{2}}\cdot 65\cdot {{0,83}^{A}}G=0,832⋅65⋅0,83AG=0,6889⋅65⋅0,83AG=0,6889\cdot 65\cdot {{0,83}^{A}}G=0,6889⋅65⋅0,83ADe afname is dus (1−0,6889)⋅100\left( 1-0,6889 \right)\cdot 100%\approx 31,1%(1−0,6889)⋅100 Een slinger van $50$ centimeter (is $0,5$ meter) geeft $L=0,5$Invullen van$L=0,5$geeft:$T=6,283\cdot \sqrt{\frac{0,5}{9,8}}\approx 1,4$De slingertijd is $1,4$ seconden. Een slingertijd van $2$ seconden geeft $T=2$$T=2$geeft de vergelijking $2=6,283\cdot \sqrt{\frac{L}{9,8}}$We gebruiken de GR om deze vergelijking op te lossen.Invoer:   ${{Y}_{1}}=6,283\cdot \sqrt{\frac{X}{9,8}}$ ${{Y}_{2}}=2$Optie: Calc $\to $  intersect geeft $X=0,993\cdots $Uitkomst: De lengte van de slinger is $0,99$ meter. $T=6,283\cdot \sqrt{\frac{L}{9,8}}$$\sqrt{\frac{L}{9,8}}=\frac{1}{6,283}T$$\frac{L}{9,8}={{\left( \frac{1}{6,283}T \right)}^{2}}$$\frac{L}{9,8}={{\left( \frac{1}{6,283} \right)}^{2}}\cdot {{T}^{2}}$$L=9,8\cdot {{\left( \frac{1}{6,283} \right)}^{2}}\cdot {{T}^{2}}$$L\approx 0,248{{T}^{2}}$De waarde van $p$ is $0,248$