Moderne Wiskunde A 12e ed/FLEX deel 2 - Hoofdstuk 10 - Verdelingen oefentoetsen & antwoorden

De belangrijkste kenmerken van een variabele waarvan de frequentieverdeling normaal verdeeld is, zijn:De grafiek is symmetrischDe symmetrieas ligt bij het gemiddelde μ\muμHet gemiddelde, de mediaan en de modus vallen samenDe standaardafwijking is de afstand van de symmetrieas tot een buigpunt van de grafiek Populatieproportie: het deel van een populatie dat aan een bepaalde eigenschap voldoet.Steekproefproportie: het deel van een steekproef dat aan een bepaalde eigenschap voldoet. Verandering grafiek normale verdeling indien gemiddelde en standaardafwijking groter worden:Het gemiddelde neemt toe. De piek van de normale verdeling verschuift naar rechts. De standaardafwijking neemt toe. De spreiding wordt groter. De afstand van het buigpunt tot de symmetrieas neemt toeHet totale oppervlak onder de normaalkromme blijft $1$. De piek van de normale verdeling wordt lager. a) $95\%$-betrouwbaarheidsinterval voor schatting van de populatieproportie:$\left [p-2\cdot \sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}}; p+2\cdot \sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}} \right ] =$$\left [0.73-2\cdot \sqrt{\frac{0.73\cdot(1-0.73)}{200}}; 0.73+2\cdot \sqrt{\frac{0.73\cdot(1-0.73)}{200}} \right ] =$$[0.667;0.793] $b) $95\%$-betrouwbaarheidsinterval voor schatting van de populatieproportie indien steekproefgrootte vier keer kleiner wordt.Bij $n=200$:$\sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.73\cdot(1-0.73)}{200}}=0.0314$Bij $n=50$ (steekproef vier keer kleiner):$\sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.73\cdot(1-0.73)}{50}} = 0.0638$Conclusie: het $95\%$-betrouwbaarheidsinterval wordt twee keer groter. a) Percentage dat een willekeurig pak yoghurt langer houdbaar is dan $34$ dagen: Maak een schets van de situatie. Met de vuistregels kun je de oppervlakte onder de grafiek van een normale verdeling opsplitsen in zes stukken.Het percentage dat een pak yoghurt langer houdbaar is dan $34$ dagen is, komt overeen met het gebied onder de kromme met een houdbaarheidsdatum vanaf $34$ dagen.Het oppervlak van dit gebied is $13.5\%+2.5\%=16\%$ van het totaal.Conclusie: het percentage dat een willekeurig pak yoghurt langer houdbaar is dan $34$ dagen is ongeveer $16\%$van het aantal pakken.b) Kans dat het pak yoghurt korter houdbaar is dan $22$ dagen:Het percentage dat een pak yoghurt korter houdbaar is dan $22$ dagen is, komt overeen met het gebied onder de kromme met een houdbaarheidsdatum kleiner dan $22$ dagen.Het oppervlak van dit gebied is $2.5\%$ van het totaal.Conclusie: het percentage dat een willekeurig pak yoghurt korter houdbaar is dan $22$ dagen is ongeveer $2.5\%$ van het aantal pakken. Een steekproef is aselect als iedereen uit de populatie evenveel kans heeft om in de steekproef terecht te komen. Hier is niet sprake van aselecte steekproef omdat alleen vader-zoon paren in de steekproef terecht kunnen komen waarbij de zoon aan een Londense universiteit studeerde en niet aselect uit de gehele Engelse bevolking wordt gekozen.  Rangschik de bekende gegevens in onderstaande tabel en pas de definitie toe:a) $\textit{Steekproefproportie}=\frac{\textit{Aantal klanten in steekproef}}{\textit{Aantal klanten in steekproef}}=\frac{21}{125}\approx 0.168$b) $\textit{Populatieproportie} = \frac{\textit{Aantal klanten in populatie}}{\textit{Aantal bezoekers in populatie}} = \frac{259}{\textit{Aantal bezoekers in populatie}}= 0.173$$\textit{Aantal bezoekers in populatie}=\frac{259}{0.173}=1497$ a) Steekproefproportie $p$$\textit{p}=\frac{\textit{Aantal relaties in steekproef}}{\textit{Aantal relaties in steekproef}}=\frac{87}{250}\approx 0.348$b) $95\%$-betrouwbaarheidsinterval voor het aantal klanten met vakantieplannen $\left [ p - 2 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot(1-p)}{n}} ; p +2 \cdot \sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}} \right ] =$$\left [0.3488-2\cdot \sqrt{\frac{0.348\cdot0.652}{250}};p+2\cdot   \sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}}   \right ]=$$[0.288;0.408]$Conclusie: het $95 \%$-betrouwbaarheidsinterval voor het aantal klanten met vakantieplannen is $[0.288;0.408]$. Met $95\%$zekerheid ligt het percentage relaties dat vakantieplannen heeft tussen $29\%$ en $41\%$. a) $95\%$-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde gewicht van de gehele partij.$95\%$-betrouwbaarheidsinterval voor de nauwkeurigheid van het gemiddelde van een populatie:$\left [\overline{x}-2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}};\overline{x}+2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \right ]$Hierbij is $\overline{x}$ het steekproefgemiddelde, $S$ de standaardafwijking en $n$ de steekproefomvang.Het gemiddelde gewicht van een bakje aardbeien is $\overline{x}=221$ gram en de standaardafwijking is $S=16$ gram. De steekproefomvang is $n=120$.Betrouwbaarheidsinterval:$\left [221-2\cdot \frac{16}{\sqrt{120}};221+2\cdot \frac{16}{\sqrt{120}}  \right ] =$$[218.07;223.92]=[218;224]$$95\%$-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde gewicht van de gehele partij is $[218;224]$. Dit wil zeggen dat met $95\%$ zekerheid het gemiddelde gewicht van een bakje aardbeien ligt tussen $218$ gram en $224$ gram.b) Foutenmarge: $\frac{224-218}{2}=3$ gram a) Gemiddelde inhoud fles bier.Redenering:Het percentage dat een fles bier is gevuld met minder dan $33.0$ ml is $2.5\%$. Dit komt overeen met het gebied onder de kromme tot $33.0$ ml.De grens van $33.0$ ml komt dan overeen met $\mu-2\sigma$, waarbij $\mu$ het gemiddelde is en $\sigma$ de standaardafwijking.De standaardafwijking $\sigma=1.1$ mlDus$\mu-2\sigma=33.0$$\mu=2\sigma+33.0$$\mu=2\cdot 1.1+33.0=35.2$Conclusie: de gemiddelde inhoud van een fles bier is $35.2$ ml.b) $95\%$-betrouwbaarheidsinterval voor flessen gevuld met minimaal $33.0$ ml:Het gaat hier om het bepalen van een betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie.Steekproefproportie $p$:De steekproef omvat $500$ flessen bier. Er zijn $16$ flessen in de steekproef die gevuld zijn met minder dan $33.0$ ml bier. $500-16=484$ flessen zijn gevuld met minimaal $33.0$ ml.Steekproefproportie: $p=\frac{484}{500}=0.968$$95\%$-betrouwbaarheidsinterval:$\left [p-2\cdot \sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}};p+2\cdot \sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}}   \right ]=$Met $n=500$ volgt: $\left [0.968-2\cdot \sqrt{\frac{0.968\cdot 0.032}{500}}; 0.968+2\cdot \sqrt{\frac{0.968\cdot 0.032}{500}}   \right ]=$$[0.952;0.984]$Foutenmarge: $\frac{0.984-0.952}{2} = 0.016 $Conclusie: met $95\%$ zekerheid is het percentage flessen bier dat is gevuld met minimaal $33.0$ ml tussen $95.2\%$ en $98.4\%$. De foutenmarge is $1.6\%$.c) Gemiddelde inhoud fles bier: Het gaat hier om het bepalen van de populatiegemiddelde op basis van de steekproef.Redenering:Steekproefgemiddelde $\overline{x}=35.3$ ml.Standaardafwijking steekproef $S=1.2$ ml.Steekproefomvang $n=500$$95 \%$-betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde inhoud:$\left [\overline{x}-2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}};\overline{x}+2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}  \right ]$$\left [35.3-2\cdot \frac{1.2}{\sqrt{500}};35.3+2\cdot \frac{1.2}{\sqrt{500}}  \right ]$$[35.19;35.41 ]\approx [35.2;35.4]$Foutenmarge: $\frac{35.4-35.2}{2}=0.1 $Conclusie: met $95\%$ zekerheid is de gemiddelde inhoud van een fles bier tussen $35.2$ ml en $35.4$ ml.  De foutenmarge voor het gemiddelde is $0.1$ ml.