Moderne Wiskunde AC 12e ed/FLEX deel 2 - Hoofdstuk 10 - Verdelingen en steekproeven oefentoetsen & antwoorden

De waarde van een kwantitatieve variabele is een getal en de ‘waarde’ van een kwalitatieve variabele geeft een kenmerk weer.Een discrete variabele neemt alleen bepaalde waarden aan en een continue variabele kan alle waarden aannemen op een interval. Dat zijn het gemiddelde en de standaardafwijking ($\mu$ en $\sigma$).Tussen $\mu$ en $\mu +\sigma$ zit $34\%$ van de gevallen.Tussen $\mu +\sigma$ en $\mu +2\cdot \sigma$ zit $13.5\%$ van de gevallen. Meer dan $\mu +2\cdot \sigma$ is $2.5\%$ van de gevallen. Tussen $\mu$ en $\mu -\sigma$ zit $34\%$ van de gevallen.Tussen $\mu -\sigma$ en $\mu -2\cdot \sigma$ zit $13.5\%$ van de gevallen. Minder dan $\mu -2\cdot \sigma$ is $2.5\%$ van de gevallen. Een goede steekproef moet voldoende groot zijn en aselect. Je kunt zien dat $C$ en $D$ hetzelfde gemiddelde hebben en $A$ en $B$ ook$A$ en $C$ hebben dezelfde vorm en dus dezelfde standaardafwijkingHetzelfde geldt voor $B$ en $D$. Een smallere normale verdeling betekent een kleinere standaardafwijking.De volgorde is $D, C, B$ en $A$. Zie de verdeling hieronder. De frequentie zet je langs de y-as. De klassen van cijfers op de x-as.Dit is een normale verdeling: In het midden is de frequentie het hoogst en naarmate men meer naar buiten gaat vanaf het midden neemt de frequentie af. De modale klasse is de klasse met de hoogste frequentie: Dit is de klasse $6-<7$.Voor het gemiddelde nemen we de klassenmiddens. Dus we werken met $3.5; 4.5; 5.5; 6.5; 7.5; 8.5$ en $9.5$.We zeggen dat er $1$ keer een $3.5$ is behaald, $3$ keer een $4.5$, $5$ keer een $5.5 \%$ etc. Samen is dit $1 \cdot 3.5+3\cdot 4.5 + 5\cdot 5.5+7\cdot 6.5 +6\cdot 7.5+4\cdot 8.5+ 3\cdot 9.5=197.5$Dit delen we door het aantal behaalde cijfers, de som van de frequenties: $1+3+5+7+6+4+3=29$Het gemiddelde is $\frac{197.5}{29}\approx 6.8$.Er zijn in elk geval $4$ leerlingen met een cijfer lager dan een $5$.Verder zijn er $5$ leerlingen met een cijfer tussen de $5$ en de $6$.Hoeveel leerlingen hebben dan minder dan een $5.5$? We schatten de helft, dus $2.5$. In totaal zijn er dan $6.5$ van de $29$ met een onvoldoende.Dit is $\frac{6.5}{29}\cdot 100\approx 22.4 \%$. Je verwacht dat elk getal $1$ tot en met $6$ even vaak voorkomt.Dan zou je $\frac{1}{6}\cdot 180=30$ zessen verwachten. Het gemiddelde van een dobbelsteen is $3.5$, immers je kan $1$ of $6$ gooien (met gemiddelde $3.5$) of $2$ of $5$ (met gemiddelde $3.5$) of $3$ of $4$ (met gemiddelde $3.5$). Hoe vaker je gooit, hoe beter dit gemiddelde wordt benaderd.De som wordt dan $180\cdot 3.5=630$.De verhouding blauw : rood is $200:350$, oftewel $2:3.5$. Samen is dit $5.5$We delen de $110$ knikkers door deze $5.5$. Dit is $20$. Nu is het aandeel van de blauwe knikkers van de $110$ naar verwachting $2\cdot 20=40$ (en het aantal rode $3.5\cdot 20=70$, ga na dat het aantal samen $110$ is en de verhouding $40:70$ is hetzelfde als $2:3.5$).  Merk op dat $240=\mu-2\cdot \sigma$ en  $255=\mu + \sigma$.Samen is dit dus $13.5+34+34 \%=81.5 \%$. Zoals opgemerkt is $240=\mu-2\cdot \sigma$.Er ligt $2.5\%$ onder deze waarde. De normale verdeling is symmetrisch. $252.5$ ligt $2.5$ van het gemiddelde, het gebied rechts daarvan is $30\%$.Er ligt dan ook $30\%$ links van $247.5$. Dit ligt immers $2.5$ links van het gemiddelde. (Tip: maak een schets) Merk eerst op dat $257.5$ ligt tussen $255=\mu + \sigma$ en $260=\mu + 2\cdot \sigma$ en dit gebied komt overeen met $16\%$.Er ligt in ieder geval $2.5\%$ rechts van $260=\mu + 2\cdot \sigma$.Het is nu verleidelijk om te zeggen dat, omdat $257.5$ precies in het midden ligt we $16 \%$ moeten delen door $2$. Maar de verdeling is geen rechte lijn. De oppervlakte tussen $255$ en $257.5$ is immers groter dan de oppervlakte tussen $257.5$ en $260$.Met de grafische rekenmachine kunnen we het exacte antwoord uitrekenen, maar dat is hier niet de vraag, het gaat hier om een schatting. Dus zeg $9\%$ ligt tussen $255$ en $257.5$ en $7\%$ tussen $257.5$ en $260$.Conclusie: het geschatte gebied groter dan $257.5$ is dan $7+2.5 \%=9.5\%$. Bas zit ver onder het gemiddelde, namelijk meer dan $1$ standaardafwijking. De score $4.2$ zit $3.6$ van het gemiddelde af.Hoeveel keer is dit de standaardafwijking? We lossen daartoe op $3.6=a\cdot \sigma=a\cdot 3.4$.Hieruit volgt $a=\frac{3.6}{3.4}=1.06$Dus $1.06\cdot \sigma$ van het gemiddelde af.Dit is categorie $3$, want de grenzen van deze categorie liggen $1.25\cdot \sigma$ van het gemiddelde en $0.75\cdot \sigma$ van het gemiddelde. De grenzen in deze opgave zijn anders dan normaal.We kunnen wel aan de figuur zien dat $7+12+17+20+17+12+7 =92\%$ van de gevallen ligt tussen $m -2\cdot s$ en $m +2\cdot s$, oftewel tussen $\mu -2\cdot \sigma$ en $\mu +2\cdot \sigma$. Het gebied tussen $\mu -2\cdot \sigma$ en $\mu +2\cdot \sigma$ dus $95\%$ zou heel goed mogelijk kunnen zijn.De normale verdeling is symmetrisch, $50\%$ ligt boven het gemiddelde en $50\%$ ligt onder het gemiddelde. Het middelste streepje van de ‘box’ ligt dus bij $m$. Categorie $1.2$ en $3$ zijn samen $23\%$. Dat is net te weinig, want de boxplot is verdeeld in $4$ kwartielen van elk $25%$. De linkerlijn van de ‘box’ zit dus iets rechts van de rechtergrens van categorie $3$.Zelfde redenering geldt voor de rechterlijn van de ‘box’. Deze zit iets links van de linkergrens van catégorie $6$.De boxplot kan nu worden getekend:   Het is duidelijk een meertoppige verdeling. Bij $4$ zit een top en bij $6.7$ zit een top.In totaal zijn er $764$ cijfers (gegeven). Totaal aantal punten dat is gescoord is $18 \cdot 1+39\cdot 2+...+18 \cdot 9+2\cdot 10=4104$Het gemiddelde is $\frac{4104}{764}\approx 5.37$.De mediaan van een even aantal cijfer krijg je door het gemiddelde te bepalen van de middelste twee cijfers. Er zijn $764$ cijfers behaald, de middelste twee zijn de $382$ste en de $383$ste.Er zijn in  totaal $18+39+73+173+48=351$ onvoldoendes gehaald. Het $382$ste en de $383$ste liggen beide in de categorie cijfer $6$.De mediaan is $\frac{6+6}{2}=6$. En cijfer is een discrete variabele. Meestal wordt het cijfer afgerond op decimaal, in dit geval zelfs op helen. Tussenliggende waarden, zoals een $7.13$ wordt niet gegeven.$\mu-\sigma=5.4-1.9=3.5$ en $\mu-sigma=5.4+1.9=7.3$? Omdat het examencijfer is afgerond op helen vallen alleen de cijfers $4,5,6$ en $7$ in dit gebied. Dit zijn in totaal $173+48+162+145=528$ cijfersIn totaal zijn er $764$ cijfers. In procenten is dit $\frac{528}{764}\cdot 100\approx 69.1 \%$.(zie vraag c): het aantal onvoldoendes is $351$In totaal zijn er $764$ cijfers behaald.In procenten is dit $\frac{351}{764}\cdot 100\approx 45.9 \%$.Om kansen uit te rekenen delen we het aantal gunstige gevallen door het totaal aantal gevallen. Maar omdat de noemer in beide gevallen hetzelfde is, kijken we alleen naar de teller: het aantal gunstige gevallen. Het aantal cijfers hoger dan een $6$ is $145+86+18+2=251$. Dit is minder dan de helft van het totaal aantal cijfers.Conclusie: Is de kans op hoger dan een zes is kleiner dan de kans op een zes of lager. Dit is een uniforme verdeling. Alle aantal ogen hebben immers dezelfde kans bij een zuivere dobbelsteen.  Gemiddeld verwacht je per aantal ogen dat deze $\frac{10000}{6}\approx 1667$ voorkomt. De grootste afwijkingen van deze verwachting zijn $43=1710-1667$ en $42=1667-1635$. Dit is niet heel veel. Dus dit is inderdaad een logische uitkomst (want kleine afwijkingen van de verwachting komen natuurlijk voor).Dit zou je precies moeten berekenen, maar als je bijvoorbeeld $1767$ of meer keer een $1$ gooit dan kun je wel gaan twijfelen aan de zuiverheid van de dobbelsteen. Het totaal aantal ogen is $1650\cdot 1+ 188\cdot 2+1642\cdot 3 + 1675 \cdot 4+ 1635\cdot 5 +1710\cdot 6=35087$Er zijn $10000$ worpenHet gemiddelde is $\frac{35087}{10000}\approx 3.5$.Hoe vaker je gooit, des te beter het gemiddelde de verwachting van $3.5$ benadert. $10000$ worpen is een vrij grote simulatie, dus het gemiddelde moet in de buurt van $3.5$ zitten. Een gemiddelde boven de $3.6$ of onder de $3.4$ zou al verdacht moeten zijn (ook dit kun je berekenen, maar dat valt buiten de stof van dit hoofdstuk)