Getal en Ruimte wisA 12e ed deel 3 - Hoofdstuk 9 - Kansverdelingen oefentoetsen & antwoorden

$E\left( X \right)=n\cdot p$ ${{\sigma }_{X}}=\sqrt{np\left( 1-p \right)}$ We gebruiken de grafische rekenmachine:$\text{Opp}=\text{normalcdf}\left( l,r,\mu ,\sigma  \right)$We zien dat $\mu =80$, $\sigma =7$, $l=75$ en $r=90$.Invoeren in de GR geeft:$\text{Opp}=\text{normalcdf}\left( 75,90,80,7 \right)\approx 0.686$We gebruiken de grafische rekenmachine:$\text{Opp}=\text{normalcdf}\left( l,r,\mu ,\sigma  \right)$We zien dat $\mu =80$, $\sigma =7$, $l=90$ en $r={{10}^{99}}$.Invoeren in de GR geeft:$\text{Opp}=\text{normalcdf}\left( {{90,10}^{99}},80,7 \right)\approx 0.077$ We willen een grenswaarde berekenen. Daarvoor gebruiken de functie  “invNorm” We gebruiken de grafische rekenmachine: $\text{Opp}=\text{invNorm}\left( \text{op}{{\text{p}}_{l}},\mu ,\sigma  \right)$We zien dat $\mu =80$, $\sigma =7$, $l=75$ en $\text{op}{{\text{p}}_{l}}=0.234$.Invoeren in de GR geeft: $\text{Opp}=\text{invNorm}\left( 0.234,80,7 \right)\approx 74.9$ Het toernooi kan twee of drie wedstrijden duren, want dan moet één van de twee broers twee keer gewonnen hebben. $V$ kan dus de waarden $2$ en $3$ aannemen. Wanneer het toernooi twee wedstrijden duurt, heeft Frank OF Ronald twee keer een wedstrijd gewonnen:  $P(V=2)=P\left( \text{Frank wint 2 keer} \right)+P\left( \text{Ronald wint 2 keer} \right)={{0.47}^{2}}+{{0.53}^{2}}=0.\text{502}$De (enige) andere mogelijk is dat het toernooi drie wedstrijden duurt.Dit kunnen we snel berekenen met $P(V=3)=1-P(V=2)=1-0.502\approx 0.498$De kansverdeling is:$v$$2$$3$$P\left( V=v \right)$ $0.502$$0.498$ $E\left( X \right)=5\cdot \frac{1}{10}+7.5\cdot \frac{2}{10}+\cdots +1000000\cdot \frac{1}{2900000}+10000000\cdot \frac{1}{2900000}\approx 7.853\cdots $ De verwachtingswaarde van de uitgekeerde prijs per lot is € $7.85$$\frac{7.85}{15.00}\cdot 100%\approx 52.3%$ De bewering van de staatsloterij klopt. $X=$ Aantal pijlen in trippel 20$X$ is binomiaal verdeeld met $n=15$ en $p=0.48.$ Methode 1:We gebruiken de formule $P\left( X=k \right)=\binom{n}{k}\cdot {{p}^{k}}\cdot {{\left( 1-p \right)}^{n-k}}$.Invullen geeft: $P\left( X=10 \right)=\binom{15}{10}\cdot {{0.48}^{10}}\cdot {{\left( 1-0.48 \right)}^{15-10k}}\approx0.074$Methode 2:We gebruiken de grafische rekenmachine$P\left( X=10 \right)=\text{binompdf}\left( 15,0.48,10 \right)\approx 0.074$We hebben hier te maken met met een cumulatieve kans. Immers, $P\left( X\le 5 \right)=P\left( X=1 \right)+P\left( X=2 \right)+P\left( X=3 \right)+P\left( X=4 \right)+P\left( X=5 \right)$We kunnen dit het snelst berekenen met de grafische rekenmachine. $P\left( X\le 5 \right)=\text{binomcdf}\left( 15,0.48,5 \right)\approx 0.190$ $X=$ Aantal keren een aas$X$ is binomiaal verdeeld met $n=100$ en $p=\frac{4}{52}$ $P\left( 4<X<9 \right)=P\left( X\le 8 \right)-P\left( X\le 4 \right)$$=\text{binomcdf}\left( 100,\tfrac{4}{52},8 \right)-\text{binomcdf}\left( 100,\tfrac{4}{52},4 \right)\approx 0.528$$X=$ Aantal keren een aas$X$ is binomiaal verdeeld met $n=?$ en $p=\frac{4}{52}.$We moeten $n$ bereken als$P\left( X\ge 3 \right)>0.9$. Oftewel, als $1-P\left( X\le 2 \right)>0.9$.We gebruiken de grafische rekenmachine.GR: Invoer:   ${{y}_{1}}=1-\text{binomcdf}\left( 100,\tfrac{4}{52},2 \right)$ Optie: Calc $\to $  Tabel   $n$$1-P\left( X\le 2 \right)$$67$$0.897$$68$$0.903$Uitkomst: Nick moet 68 keer een kaart trekken. We berekenen eerst de verwachtingswaarde:$E\left( X \right)=n\cdot p=120\cdot 0.4=48$Nu de standaardafwijking:${{\sigma }_{X}}=\sqrt{np\left( 1-p \right)}=\sqrt{120\cdot 0.4\left( 1-0.4 \right)}=5.366\cdots $Let op! We ronden niet af, want we rekenen nog verder met de standaardafwijking.$E\left( X \right)-2\cdot {{\sigma }_{X}}=48-2\cdot 5.366\cdots  =37.266\cdots $$E\left( X \right)+2\cdot {{\sigma }_{X}}=48+2\cdot 5.366\cdots =58.733\cdots $De kans is nu $P\left( 37.266\cdots <X<58.733\cdots  \right)$, maar omdat $X$ alleen hele waarden kan aannemen, herschrijven we dit tot $P\left( 38\le X\le 58 \right)$.Dit berekenen we door van de cumulatieve kans $P\left( X\le 58 \right)$ de cumulatieve kans $P\left( X\le 37 \right)$af te halen. Immers, $P\left( X=38 \right)$doet gewoon mee.Dus $P\left( 38\le X\le 58 \right)=P\left( X\le 58 \right)-P\left( X\le 37 \right)$We gebruiken nu de rekenmachine en we krijgen:$P\left( 38\le X\le 58 \right)=P\left( X\le 58 \right)-P\left( X\le 37 \right)$$=\text{binomcdf}\left( 120,0.4,58 \right)-\text{binomcdf}\left( 120,0.4,37 \right)\approx 0.950$ De uitgaven zijn normaal verdeeld met $\mu =8.37$ en $\sigma =2.14$We willen de oppervlakte onder de normaalkromme met rechtergrens $6.00$ en linkergrens $-{{10}^{99}}$Invoeren in de GR geeft:$\text{Opp}=\text{normalcdf}\left( -{{10}^{99}},6,8.37,2.14 \right)\approx 0.134$Dus $13.4%$ van de bezoekers geeft minder dan € 6,00 uit aan etenswarenDe uitgaven zijn normaal verdeeld met $\mu =8.37$ en $\sigma =2.14$We willen de oppervlakte onder de normaalkromme met linkergrens $6.50$ en rechtergrens $7.50$ Invoeren in de GR geeft:$\text{Opp}=\text{normalcdf}\left( 6.5,7.5,8.37,2.14 \right)\approx 0.151$Dus $15.1%$ van de bezoekers geeft een bedrag van tussen de € 6,50 en € 7,50 uit aan etenswarenDe uitgaven zijn normaal verdeeld met $\mu =8.37$ en $\sigma =2.14$We willen de oppervlakte onder de normaalkromme met linkergrens $10.00$ en rechtergrens ${{10}^{99}}$.Invoeren in de GR geeft:$\text{Opp}=\text{normalcdf}\left( {{10,10}^{99}},8.37,2.14 \right)\approx 0.223$Dus $22.3%$ van de bezoekers geeft een bedrag van meer dan € 10,00 uit aan etenswaren.Dit zijn  $882\cdot 0.223\approx 196$ bezoekers (let op… we ronden af naar beneden).De uitgaven zijn normaal verdeeld met $\mu =8.37$ en $\sigma =2.14$We willen de rechtergrens $X$ van het deel met een oppervlakte van $0.25$ onder de normaalkromme met linkergrens $8.50$.We gaan de vergelijking $\text{0}\text{.25}=\text{normalcdf}\left( 8,5,X,8.37,2.14 \right)$ oplossen.GR:Invoer: ${{Y}_{1}}=0.25$ en ${{Y}_{2}}=\text{normalcdf}\left( 8,5,X,8.37,2.14 \right)$Optie: $\text{Calc }\to \text{ intersect geeft }X=9.981\cdots $Uitkomst: Er wordt maximaal € 9,98 uitgegeven.