Moderne Wiskunde A 12e ed/FLEX deel 3 - Hoofdstuk 12 - Logaritmische functies oefentoetsen & antwoorden

6 want $2^6=64$216, want $6^3=216$.Als je een vergelijking exact moet oplossen, moet je het antwoord geven zonder afrondingen. Een breuk, wortel en logaritme herleid je zover mogelijk en laat je staan. $f(x)=^{\frac{1}{3}}\log(x-2)+2$. Het is een dalende grafiek, het grondtal is dus sowieso kleiner dan 1, hiermee vallen al twee opties met grondtal 3 af. De grafiek is naar rechts verschoven, waardoor hij niet meer ‘tegen’ de y-as ligt. Naar rechts schuiven geeft $x-p$, met $p$ het aantal stapjes naar rechts. Hierdoor valt de laatste grafiek af, die juist naar links geschoven is door $x+p$ te doen.  Stap 1: Isoleer eerst de macht, probeer altijd naar de vorm $g^a=g^b$ te werken, in dit geval dus $12^a=12^b$.$12^{\frac{1}{2}x+1}=144$ (beide leden delen door 2, nu is de macht geïsoleerd)Stap 2: Kijk of je beide leden als macht van 12 kunt schrijven. Links is dat al het geval. $12^{\frac{1}{2}x+1}=12^2$ (gebruik $144=12^2$)$\frac{1}{2}x+1=2$ (gebruik $g^a=g^b$ geeft $a=b$)$\frac{1}{2}x=1$ (beide leden -1)$x=2$ (vermenigvuldigen met 2)Conclusie: $x=2$In dit geval staat de macht al geïsoleerd. We kunnen niet naar de vorm $g^a=g^b$ werken omdat 15 niet te schrijven is als macht van 3. We gebruiken de logaritme. $3^{t-2}=15$$t-2=^3\log(15)$ (gebruik $a^x=y$ geeft $x=^a\log(y)$) $t=^3\log(15)+2$ (we moeten het antwoord exact geven, reken de logaritme dus niet uit) 23 is niet te schrijven als macht van 7 dus gebruiken we de logaritme. $b=^7\log(23)=1,611$ (gebruik $a^x=y$ geeft $x=^a\log(y)$) 512 is te schrijven als macht van 8, namelijk $8^3=512$.$x=3$12 is niet te schrijven als macht van 4 dus gebruiken we de logaritme. $3-t=^4\log(12)$ (gebruik $a^x=y$ geeft $x=^a\log(y)$) $-t=^4\log(12)-3$ (3 naar de andere kant)$t=-^4\log(12)+3$ (delen door -1)$t=1.208$ (in de opgave staat geen ‘exact’ dus reken de logaritme uit) $^3\log(f+1)+^3\log(27f)-2$$^3\log((f+1)27f)-2$ (gebruik $^a\log(b)+^a\log(c)=^a\log(b\cdot c)$)$^3\log(27f^2+27f)-^3\log(3^2)$ (gebruik $a=^b\log(b^a)$)$^3\log(27f^2+27f)-^3\log(9)$$^3\log(\frac{27f^2+27f}{9})$ (gebruik $^a\log(b)-^a\log(c)=^a\log(\frac{b}{c})$)$^3\log(3f^2+3f)$$a\cdot ^{\frac{1}{2}}\log(3)+7$$a\cdot ^{\frac{1}{2}}\log(3)+^{\frac{1}{2}}\log(\frac{1}{2}^7)$ (gebruik $a=^b\log(b^a)$)$^{\frac{1}{2}}\log(3^a)+^{\frac{1}{2}}\log(\frac{1}{128})$ (gebruik $a\cdot \log(b)=\log(b^a)$)$^{\frac{1}{2}}\log(3^a(\frac{1}{128}))$ (gebruik $^a\log(b)+^a\log(c)=^a\log(b\cdot c)$)$^{\frac{1}{2}}\log(\frac{3^a}{128})$$^2\log(3)+^4\log(2x)$$^2\log(3)+\frac{^2\log(2x)}{^2\log(4)}$ (gebruik $^g\log(a)=\frac{^b\log(a)}{^b\log(g)}$)$^2\log(3)+\frac{^2\log(2x)}{2}$$^2\log(3)+\frac{1}{2}\cdot ^2\log(2x)$$^2\log(3)+^2\log((2x)^{\frac{1}{2}})$ (gebruik $a\cdot \log(b)=\log(b^a)$)$^2\log(3(2x)^{\frac{1}{2}})$ (gebruik $^a\log(b)+^a\log(c)=^a\log(b\cdot c)$) $y=(\frac{1}{3})^{-2t}\cdot (\frac{1}{3})^{-5}$ (gebruik $x^{a+b}=x^a\cdot x^b$)$y=((\frac{1}{3})^{-2})^t\cdot 243$ ($(\frac{1}{3})^{-5}=243$)$y=9^t\cdot 243$ ($(\frac{1}{3})^{-2}=9$)$y=8^{\frac{1}{3}(t+12)}$$y=8^{\frac{1}{3}t+4}$$y=8^{\frac{1}{3}t}\cdot 8^4$ (gebruik $x^{a+b}=x^a\cdot x^b$)$y=(8^{\frac{1}{3}})^t\cdot 4096$$y=2^t\cdot 4096$ We moeten $x$ vrijmaken, hiervoor moeten we eerst de macht isoleren.$2y=8-5\cdot \frac{2}{5}^x$$2y-8=-5\cdot \frac{2}{5}^x$$\frac{2y-8}{-5}=\frac{2}{5}^x$$\frac{2}{5}y+\frac{8}{5}=\frac{2}{5}^x$$x=^{\frac{2}{5}}\log(\frac{2}{5}y+\frac{8}{5})$ (gebruik $a^x=y$ geeft $x=^a\log(y)$) $y_1=^5\log(A)$Let op dat je geen negatief aantal zeepaardjes kunt hebben, houd hier rekening mee bij je venster. Neem als ondergrens voor $y$ 0. Het grondtal van de logaritme is groter dan 1. Afnemend stijgendAls je raaklijnen langs de grafiek tekent, zie hierboven, zie je dat hoe hoger A is, de lijnen steeds minder steil worden. Dus afnemend stijgend. Reken uit $t(125)=^5\log(125)=3$. Dus na 3 jaar.$t=^5\log(A)$$A=5^t$ (gebruik $y=^a\log(x)$ geeft $a^y=x$)Gebruik uit e: $A=5^t$. Bij de verdubbelingstijd is de groeifactor gelijk aan 2. Als iets vermenigvuldigd is met twee is het namelijk verdubbeld. $5^t=2$$t=^5\log(2)=0.431$ Als een grafiek op enkellogaritmisch papier een rechte lijn is hebben we te maken met een exponentieel verband. Met behulp van twee punten op de lijn kunnen we de formule opstellen.Lees af.$(0,1)$ Het tweede puntje op de lijn ligt precies bij $T=0$ en $P=1$.$(1,7)$ Het derde puntje op de lijn ligt precies bij $T=1$. Voor de P-waarde moet je de lijntjes tellen. Bij de dikke lijn waar ook het punt $T=0$ op ligt is P gelijk aan 1. Eén lijntje hierboven is $P=2$. Weer een lijntje daarboven is $P=3$ en zo tellen we door tot we zijn bij de lijn waar het punt $T=1$ op ligt. Dit is bij $P=7$.Bereken de groeifactor: $g_{1 graad}=\frac{nieuwe \ P}{oude \ P}=\frac{7}{1}=7$Omdat we hier al de groeifactor per 1 stap hebben, $(1,7)$ ligt 1 stap verder dan $(0,1)$, hoeven we niet terug te rekenen naar eenheid 1.Lees het begingetal af $b=1$ (het snijpunt met de y-as).$P=1\cdot 7^T$Bij de verdubbelingstijd is de groeifactor gelijk aan 2. Als iets vermenigvuldigd is met twee is het namelijk verdubbeld. $7^t=2$$t=^7\log(2)=0.356$