Moderne Wiskunde A 12e ed/FLEX deel 3 - Hoofdstuk 13 - Binomiale verdelingen oefentoetsen & antwoorden

In dit geval is er geen sprake van een binomiale verdeling. Er zijn meer dan twee opties, rood branden, groen branden of niet branden. We kunnen dit dus niet opdelen in succes en mislukking. Hier is sprake van een binomiale verdeling. We hebben twee opties. Een mailtje valt onder spam (succes) of niet (mislukking). $X=$het aantal mails die je binnen hebt gekregen die vallen onder spam. De kans dat een mail spam is, is $p=4:100=0.04$. Het kansexperiment wordt 50 keer herhaald dus $n=50$. Er is hier wél sprake van succes en mislukking, een willekeurige passagier heeft namelijk wél (succes) of niet (mislukking) voor de vegetarische optie gekozen. Het probleem hier echter is dat de kans op succes niet steeds gelijk is. Bij de eerste persoon die we vragen is de kans op succes namelijk $p=\frac{gunstig \ aantal   mogelijkheden}{totaal \ aantal \ mogelijkheden}=\frac{33}{400}$. Bij de tweede persoon die je vraagt is het totaal aantal mogelijkheden nog maar 399, omdat je van 1 persoon het al weet. De kans is dan als de eerste persoon vegetarisch gekozen heeft $p=\frac{32}{399}$ en als deze dat niet gekozen heeft $p=\frac{33}{399}$. Zo verandert de kans bij elke volgende persoon die je vraagt. Bij een binomiaal kansexperiment is de kans steeds gelijk. Omdat het verschil in kansen steeds zo klein is, $p=\frac{33}{400}=0.0825$ en $p=\frac{32}{399}=0.0802$ en $p=\frac{33}{399}=0.0827$ enz. is dit verschil in kansen verwaarloosbaar. We mogen deze verdeling van $X$ dus binomiaal benaderen.De stochast is $X=$het aantal mensen dat een vegetarische maaltijd heeft gekozen. $n=3$ en $p=\frac{33}{400}$. $X$ is Bin(3; 0.0825)-verdeeld. $P(X=1)={3\choose 1} \cdot 0.0825^1\cdot (1-0.0825)^{3-1}={3\choose 1} \cdot 0.0825^1\cdot (0.9175)^2=0.208$ (gebruik $P(X=x)={n\choose k} \cdot p^k (1-p)^{n-k}$)De stochast is $X=$het aantal mensen dat een vegetarische maaltijd heeft gekozen. $n=3$ en $p=\frac{33}{400}$. $X$ is Bin(3; 0.0825)-verdeeld.Hoogstens 1, dus $X$ is kleiner of gelijk aan 1. $P(X\leq 1)=Binomiaal cum(3; 0.0825, 1)=0.981$De stochast is $X=$het aantal mensen dat een vegetarische maaltijd heeft gekozen. $n=3$ en $p=\frac{33}{400}$. $X$ is Bin(3; 0.0825)-verdeeld.Minstens 2, dus $X$ is groter of gelijk aan 2, $P(X\geq 2)$. De rekenmachine rekent echter automatisch links. Als je dus twee bij de optie binomiaal cumulatief 2 invult berekent hij $P(X\leq 2)$. We lossen dit op door het tegenovergestelde van minstens 2 van 1 af te trekken. $P(X\geq 2)=1-P(X\leq 1)$.$P(X\geq 2)=1-P(X\leq 1)=1-Binomiaal cum(3; 0.0825; 1)=0.019$$X$ is Bin(3; 0.0825)-verdeeld. De verwachtingswaarde $E(X)=n\cdot p=3\cdot 0.0825=0.2475$De standaardafwijking $\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{3\cdot 0.0825 \cdot (1-0.0825)}=0.477$ Dit is een binomiale verdeling, de rivier overstroomt (succes) of niet (mislukking). De stochast is $X=$het aantal keer dat de rivier overstroomt. $n=20$, het stormt 20 keer. $p=7:100=0.07$. $X$ is Bin(20; 0.07)-verdeeld.Een kwart van de keren is $20:4=5$ keer. Meer dan een kwart van de keren is $P(X>5)=P(X\geq 6)$. Meer dan, is dus vaker dan 5 keer, dus vanaf 6 keer en vaker.$P(X\geq 6)$ moeten we herschrijven omdat de functie binomiaal cumulatief op de GR altijd links rekent. $P(X\geq 6)=1-P(X\leq 5)$$P(X\geq 6)=1-P(X\leq 5)=1-Binomiaal cum(20; 0.07; 5)=0.002$De kans dat de rivier in meer dan een kwart van de stormen overstroomt is 0.002.De stochast is $X=$het aantal keer dat de rivier overstroomt. $n=20$, het stormt 20 keer. $p=7:100=0.07$. $X$ is Bin(20; 0.07)-verdeeld.$P(2<X<6)=P(X\leq 5)-P(X\leq 2)$Minder dan 6 is dus maximaal 5, geeft $P(X\leq 5)$. Maar nu doen 0, 1 en 2 keer ook nog mee, terwijl meer dan twee keer gevraagd wordt. Daarom trekken we $P(X\leq 2)$ er nog af. $P(2<X<6)=P(X\leq 5)-P(X\leq 2)=Binomiaal cum(20; 0.07; 5)- Binomiaal cum(20; 0.07; 2)=0.159$$X$ is Bin(20; 0.07)-verdeeld. De verwachtingswaarde $E(X)=n\cdot p=20\cdot 0.07=1.4$De standaardafwijking $\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{20\cdot 0.07 \cdot (1-0.07)}=1.141$ Eigenlijk wordt hier de verwachtingswaarde gevraagd. Deze bereken je als volgt. $E(X)=n\cdot p$Neem $X$=het aantal bestellingen dat retour gezonden wordt. $X$ is Bin(70; 0.35)-verdeeld. $E(X)=70\cdot 0.35=24.5$Naar verwachting worden er ongeveer 25 bestellingen teruggestuurd. Neem $X$=het aantal bestellingen dat retour gezonden wordt. $X$ is Bin(70; 0.35)-verdeeld. Minstens 30, oftewel, 30 of meer. $P(X\geq 30)$.We kunnen niet rechts rekenen met binomiaal cumulatief op de GR. We herschrijven dus $P(X\geq 30)=1-P(X\leq 29)$$P(X\geq 30)=1-P(X\leq 29)=1-Binomiaal cum(70; 0.35; 29)=0.106$ $X$ is Bin(70; 0.35)-verdeeld. Er wordt hier gevraagd naar één specifieke waarde voor $X$, namelijk $X=15$ dus we gebruiken $P(X=x)={n\choose k} \cdot p^k (1-p)^{n-k}$$P(X=15)={70\choose 15} \cdot 0.35^{15}\cdot (1-0.35)^{70-15}={70\choose 15} \cdot 0.35^{15}\cdot (0.65)^{55}=0.005$ $X$=het aantal bestellingen per week dat retour gezonden wordt $X$ is Bin(70; 0.35)-verdeeld. We moeten de kans berekenen dat er meer dan 10 maar minder dan 20 bestellingen worden teruggestuurd in een week en dit omrekenen naar procenten.$P(10<X<20)=P(X\leq 19)-P(X\leq 10)$Minder dan 20 is dus maximaal 19, geeft $P(X\leq 19)$. Maar nu doen nul tot en met tien retours ook nog mee, terwijl meer dan 10 retourzendingen gevraagd wordt. Daarom trekken we $P(X\leq 10)$ er nog af. $P(10<X<20)=P(X\leq 19)-P(X\leq 10)=Binomiaal cum(70; 0.35; 19)- Binomiaal cum(70; 0.35; 10)=0.103$$0.103$ is een kans terwijl we ons antwoord in procenten moeten geven, $0.103\cdot 100=10.3\%$Conclusie: In $10.3 \%$ van de weken worden er meer dan 10 maar minder dan 20 bestellingen teruggestuurd.