Moderne Wiskunde A 12e ed/FLEX deel 3 - Hoofdstuk 14 - Rijen en recursie oefentoetsen & antwoorden

Een recursieve rij is een getallenrij waarbij je de volgende term kunt berekenen met voorafgaande termen met behulp van een recursieve formule. Als de formule alleen afhangt van het rangnummer $n$ en er dus geen voorgaande term in de formule staat. Bij een rekenkundige rij wordt er steeds bij de voorgaande term een constante opgeteld of afgetrokken. Bij een meetkundige rij wordt de voorgaande term steeds met een constante factor vermenigvuldigd. We analyseren de rij eerst. We zien dat het getal steeds ongeveer verdubbelt. Het nieuwe getal is steeds iets meer dan het dubbele van het vorige getal. Het dubbele van 6 is 12, +2 is 14. Dit patroon zet zich voort. De volgende twee termen zijn dus $254\cdot 2 +2=510$ en $510\cdot 2 +2=1022$De recursieve formule voor deze rij in woorden is $nieuwe \ waarde=2\cdot oude \ waarde +2$. In indexnotatie schrijf je: $u_{n+1}=2\cdot u_n +2$. In functienotatie is dit: $u(n+1)=2\cdot u(n)+2$ $u(1)=u(0+1)=-3\cdot u(0)+5=-3\cdot 2+5=-1$$u(2)=u(1+1)=-3\cdot u(1)+5=-3\cdot -1+5=8$$u(3)=u(2+1)=-3\cdot u(2)+5=-3\cdot 8+5=-19$$u_{0+1}=\frac{1}{3}\cdot u_0+8=\frac{1}{3}\cdot 3+8=9$$u_{1+1}=\frac{1}{3}\cdot u_1+8=\frac{1}{3}\cdot 9+8=11$$u_{2+1}=\frac{1}{3}\cdot u_2+8=\frac{1}{3}\cdot 11+8=11\frac{2}{3}$ We analyseren de rij getallen. We beginnen bij $u(1)=-7$, dit wordt dus onze beginterm. Verder zien we dat de positieve de negatieve getallen afwisselen. Er wordt dus vermenigvuldigd met een negatief getal. Ook zien we dat het getal steeds verdubbelt. Er wordt dus vermenigvuldigd met -2.Een recursieve formule is $u(n)=-2\cdot u(n-1)$ met $u(1)=-7$.Voor de directe formule moeten we eerst vanaf de beginterm terugrekenen naar rangnummer 0. $u(1)=7$, $u(0)=u(1):-2=-7:-2=3.5$ (voor de nieuwe term vermenigvuldigen we met -2, willen we terugrekenen doen we het tegenovergestelde, we delen door -2)$u(0)=3.5$Dit geeft de directe formule $u(n)=3.5\cdot (-2)^n$We analyseren de rij getallen. We beginnen bij $w_1=5$, dit wordt dus onze beginterm. Verder zien we dat het verschil tussen twee opeenvolgende getallen steeds 6 is. Elk volgend getal is steeds 6 minder dan de vorige. Een recursieve formule is $w_n=w_{n-1}-6$ met $w_1=5$.Voor de directe formule moeten we eerst vanaf de beginterm terugrekenen naar rangnummer 0. $w_1=5$, $w_0=w_1+6=5+6=11$ (voor de nieuwe term trekken we 6 van de oude term af, willen we terugrekenen doen we het tegenovergestelde, we tellen 6 bij de oude term op)$w_0=11$Dit geeft de directe formule $w_n=-6\cdot n +11$ De rij $u$ is een rekenkundige rij. Het aantal termen dat we optellen is 9. De eerste term is $u(0)=-3\cdot 0 +9=9$. De laatste term is $u(8)=-3\cdot 8 +9=-15$. De som=$\frac{1}{2}\cdot aantal termen \cdot (eerste \ term+ laatste \ term)=\frac{1}{2}\cdot 9 \cdot (9+-15)=\frac{9}{2}\cdot (-6)=27$.Voor $s(0)$ moeten we terugrekenen van beginterm $v(1)=44$ naar $v(0)$. Om de nieuwe term te berekenen vermenigvuldigen we de oude term met een half en tellen we er 4 bij op. Om terug te rekenen doen we het tegenovergestelde; we trekken 4 van de oude term af en we delen door $\frac{1}{2}$ (oftewel we vermenigvuldigen met 2). $44-4=40$$40 \cdot 2=80$ $v(0)=80$$s(0)=80$$s(1)=v(0)+v(1)=80+44=124$Voor $s(2)$ hebben we $v(2)$ nodig. $v(2)= \frac{1}{2}\cdot v(1)+4=\frac{1}{2}\cdot 44 +4=26$$s(2)=v(0)+v(1)+v(2)=80+44+26=150$De rij is een meetkundige rij. We gebruiken dus de formule voor de som: $som=\frac{eerstvolgende \ term-eerste \ term}{reden-1}$We moeten dus de reden bepalen en de eerste en eerstvolgende term berekenen. De reden is $r=\frac{2}{9}$. (dit is de term die tot de macht $n$ wordt gedaan)De eerste term is $u(5)=(80690\cdot (\frac{2}{9})^5)=43.727…$De eerstvolgende term is $u(9)=(80690\cdot (\frac{2}{9})^9)=0.106…$Reken verder met de onafgeronde termen.$\Sigma_{n=5}^{13} (8060\cdot (\frac{2}{9})^n)=\frac{43.727…-0.106…}{\frac{2}{9}-2}=56.08$ Als je twee opeenvolgende getallen door elkaar deelt zie je dat er steeds met dezelfde factor wordt vermenigvuldigd. Er zit dus inderdaad een patroon in deze rij. De rij is een meetkundige rij. We gebruiken dus de formule voor de som: $som=\frac{eerstvolgende \ term-eerste \ term}{reden-1}$We moeten dus de reden en de eerstvolgende term berekenen. De reden is $r=\frac{18.6}{3}=6.2$De eerste term is $3$.De eerstvolgende term is de laatste term vermenigvuldigd met de reden: $4432.9008\cdot 1.6=27483.98496$Bereken de som.$3+18.6+115.32+…+4432.9008=\frac{27483.98496-3}{6.2-1}=5284.8084$  Elke maand wordt 40% van de bloemen geplukt, dit betekent dat 60% van de bloemen overblijft. Om te weten hoeveel van de bloemen er over blijven na een maand plukken doen we $0.6 \cdot aantal \ bloemen$, oftewel, $a=0.6$.Elke maand worden er weer 30.000 nieuwe bloemen geplant. Dus bij het aantal bloemen dat overgebleven is moeten we nog 30000 bloemen optellen. $b=30000$. In de tekst staat dat er 82000 bloemen in de kas staan. $B(0)=82000$. Zie opgave a en b: $B(t)=0.6\cdot B(t-1)+30000$ met $B(0)=82000$. Na een half jaar zijn er 6 maanden voorbij gegaan. Dus $t=6$$B(1)=0.6\cdot B(0)+30000=0.6\cdot 82000+30000=79200$$B(2)=0.6\cdot B(1)+30000=0.6\cdot 79200+30000=77520$$B(3)=0.6\cdot B(2)+30000=0.6\cdot 77520+30000=76512$$B(4)=0.6\cdot B(3)+30000=0.6\cdot 76512+30000=75907,2$$B(5)=0.6\cdot B(4)+30000=0.6\cdot 75907,2+30000=75544.32$$B(6)=0.6\cdot B(5)+30000=0.6\cdot 75544.32+30000=75326.592$Conclusie: na een half jaar staan er nog 75327 bloemen in de kas. Je had de formule ook in je GR kunnen zetten en het vervolgens af kunnen lezen in de tabel. Beschrijf dan wel wat je gedaan hebt om punten te krijgen voor de berekening.Lees af in de tabel: 75000. Als er 75000 bloemen in de kas staan, worden er steeds evenveel bloemen geplukt als dat er gepland worden. Het aantal bloemen in de kas blijft dan constant. Door meer bloemen te planten elke maand. Als je bijvoorbeeld 32001 in plaats van 30000 bloemen plant neemt het aantal bloemen toe. $0.6\cdot 82000=48000$. Door steeds 32000 bloemen te planten blijft het aantal bloemen gelijk, als je er één meer plant neemt het aantal bloemen toe. Als $w$ een rekenkundige rij is gaat er bij elke term dezelfde constante op of af om de nieuwe term te krijgen. Van $w_1$ naar $w_7$, dus 6 termen verder, is er in totaal $-3-30=-33$. Er is dus in 6 termen 33 af gegaan. Per term is er dan $\frac{33}{6}=5.5$ afgegaan. Een recursieve formule is $w_{n+1}=w_n-5.5$ met beginterm $w_1=30$.Voor de directe formule moeten we terug naar de term met rangnummer 0. Als we voor elke volgende term de oude waarde $-5.5$ doen, dan moeten we voor de vorige term het tegenovergestelde, de nieuwe waarde $+5.5$ doen. $w_0=30+5.5=35.5$Een directe formule is dan $w_n=-5.5n+35.5$.We zijn een even aantal stappen verder en zijn uitgekomen op een negatief getal. Maar er is geen manier om in een even aantal keer vermenigvuldigen op een negatief getal uit te komen, en we moeten dus vermenigvuldigen met een constante factor om het een meetkundige rij te laten zijn. Een even aantal keer vermenigvuldigen met een negatief getal zorgt voor een positief getal. En vermenigvuldigen met een positief getal komt al helemaal niet uit op een negatief getal.