Moderne Wiskunde A 12e ed/FLEX deel 3 - Hoofdstuk 15 - Normale verdelingen oefentoetsen & antwoorden

Een discrete variabele is een variabele waarbij slechts een “beperkt” aantal meetwaarden mogelijk zijn. Meestal is dat een telvariabele waarbij alleen gehele uitkomsten voorkomen. Neem bijvoorbeeld het aantal auto’s dat vandaag door rood heeft gereden; dit zijn er 1, 2, of 100, maar geen 100.1. Bij een continue variabele komt elke tussenliggende meetwaarde ook voor, neem bijvoorbeeld lengte; je kunt 160 cm zijn maar ook 160.1 cm of 160.00001 cm. We noemen dit een continuïteitscorrectie. Hierbij denk je na welke getallen afgerond nog mee zouden doen in het interval. De laagste mogelijkheid onder 2 om nog afgerond ‘door te gaan’ als 2 is 1.5. Als we namelijk 1.4 nemen zouden we afronden naar beneden, naar 1. Dus $1.5\leq X$. De hoogste mogelijkheid om nog onder 4 te blijven is eigenlijk 3.499999999… . Afgerond doet 3.5 nog net mee. Dus $X\leq 3.5$. Voor het berekenen van een percentage onder de normaalkromme gebruiken we optie: normaal cumulatief op de GR. Omdat we willen weten hoeveel procent van de pakken tussen de 385 en de 390 gram weegt, nemen we als ondergrens 385 en bovengrens 390.$P(385\leq X\leq 390)=normaal cum(385, 390, 390, 2.3)=0.485$ Bovenstaand antwoord is een kans, de opgave vraagt om een antwoord in procenten. We kunnen van kans naar procenten door te vermenigvuldigen met 100.$0.485\cdot 100 \% =48.5\%$Conclusie: $48.5\%$ van de pakken hagelslag weegt tussen de 385 en 390 gram.Als we iets over pakken hagelslag uit een steekproef willen berekenen moeten we eerste ons nieuwe gemiddelde en standaardafwijking uitrekenen. De standaardafwijking wordt namelijk in een steekproef van meerdere producten kleiner.Stap 1: Bereken de nieuwe standaardafwijking en het gemiddelde. We hebben drie dezelfde onafhankelijke stochasten dus: $E(\bar{X})=\frac{n\cdot \mu}{n}=\mu$. Dus aan het gemiddelde veranderd niets. $\sigma(\bar{X})=\frac{\sigma(x)}{\sqrt{n}}$ We delen dus de gegeven standaardafwijking door de wortel van het aantal elementen in de steekproef.$E(\bar{X})=390$ en $\sigma(\bar{X})=\frac{2.3}{\sqrt{3}}$Stap 2: Bereken de kans dat een pak hagelslag uit een steekproef van drie pakken meer dan 392 gram hagelslag bevat. We gebruiken optie normaal cumulatief met als ondergrens 392 en als bovengrens $10^{99}$.$P(X\geq 392)=normaal cum(392.10^{99}, 390, \frac{2.3}{\sqrt{3}}=0.093…$Nog niet afronden! We moeten nog verder rekenen met dit antwoord.Stap 3: De kans dat een pak uit een steekproef van drie pakken meer dan 392 gram weegt is $0.094$, de kans dat alledrie pakken uit deze steekproef meer dan 392 gram wegen: $P(Alle \ drie \ meer \ dan \ 392)=0.093…^3=0.001$ Conclusie: De kans is erg klein, namelijk $0.001$. Het gewicht van de boodschappentas en een pak hagelslag samen is ook weer normaal verdeeld. We berekenen eerst het nieuwe gemiddelde en de nieuwe standaardafwijking, daarmee kunnen we de kans berekenen dat een willekeurige boodschappentas met een pak hagelslag minder dan 430 gram weegt. Vervolgens berekenen we hoeveel van de 520 tassen naar verwachting minder dan 430 gram weegt. Stap 1: Bereken het nieuwe gemiddelde en de nieuwe standaardafwijking. Bij de som van meerdere normale verdelingen is het nieuwe gemiddelde $\mu_{som}=\mu_1+\mu_2$ De nieuwe standaardafwijking $\sigma_{som}=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$.$\mu_{som}=390+43=433$ $\sigma_{som}=\sqrt{2.3^2+1.2^2}=2.594$.Stap 2: Bereken de kans dat een boodschappentas mét een pak hagelslag minder dan 430 gram weegt. We gebruiken optie normaal cumulatief met als ondergrens $-10^{99}$ en als bovengrens $430$.$P(X\leq 400)=normaal cum(-10^{99}, 430, 433, 2.594)=0.123…$Stap 3: In totaal hebben we 520 boodschappentassen, het aantal dat naar verwachting minder dan 400 gram wegen is: $0.123…\cdot 520=64$Conclusie: 63 boodschappentassen wegen naar verwachting minder dan 400 gram.In dit geval willen we een grenswaarde berekenen. Het gaat weer over een boodschappentas en een pak hagelslag samen, dus we gebruiken het gemiddelde en de standaardafwijking uit c: $\mu_{som}=433$  en $\sigma_{som}=\sqrt{2.3^2+1.2^2}$. We weten nu juist de oppervlakte al onder de normaalkromme al. 15% geeft $opp=15:100=0.15$. We gebruiken intersect om de bijbehorende grenswaarde te berekenen.We noemen de grenswaarde die we zoeken $x$. We weten het volgende:$P(X\geq x)=normaal cum(x, 10^{99}, 433, \sqrt{2.3^2+1.2^2})=0.15$$y_1=normaal cum(x, 10^{99}, 433, \sqrt{2.3^2+1.2^2})$$y_2=0.15$Denk goed na over je window, de zwaarste 15% wegen sowieso zwaarder dan het gemiddelde, 433, meer dan twee standaardafwijkingen zwaarder kan in ieder geval niet, gok bijvoorbeeld op 440 (neem het bij de window altijd ruim). Denk eraan dat een kans kleiner is dan 1 en niet negatief kan zijn. Dus $y$ tussen 0 en 1 ligt. We zien het snijpunt inderdaad goed. Optie snijpunt geeft: $x=435.69$Dus de zwaarste 15% van de boodschappentassen wegen meer dan 435.7 gram. Stap 1: Het aantal mensen dat een reis boekt is een discrete stochast. Er kan bijvoorbeeld geen halve reis geboekt worden in een week. Daarom doen we een continuïteitscorrectie.$P(X=70)=P(69.5 \leq X \leq 70,5)$We bedenken hier weer, wat is afgerond nog 70? 69.5 is de kleinste waarde onder 70. De hoogste waarde boven 70 is eigenlijk 70.499999999… Echter maakt die 0.00000000000…0001 verschil niet uit voor de kans. Dus nemen we gewoon 70.5.Stap 2: Bereken de kans met behulp van $normalcdf$.  $P(69.5 \leq X \leq 70.5)=normaal cum(69.5 ; 70.5 ; 62.9 ; 8.5)=0.033$Conclusie: De kans dat er in een week 70 reizen worden geboekt bij het reisbureau is 0.033. Werkwijze: Bereken eerst de kans dat er in een week minder dan 50 reizen worden geboekt bij het reisbureau. Bereken vervolgens hoeveel weken dat in een jaar zijn, een jaar heeft totaal 52 weken.Stap 1: Het aantal mensen dat een reis boekt is een discrete stochast. Er kan bijvoorbeeld geen halve reis geboekt worden in een week. Daarom doen we een continuïteitscorrectie.$P(X<50)=P(X\leq 49.5)$We bedenken hier weer, wat is afgerond nog 50? 49.5 is de grootste waarde onder 50. 50 doet zelf niet mee in het interval, dus wordt het kleiner of gelijk aan 49.5. Zie in stap 2 hoe dit er visueel uitziet.Stap 2: Bereken de kans met behulp van optie normaal cumulatief. $ P(X\leq 49.5)=normaal cum(-10^{99} ; 49.5 ; 62.9 ; 8.5)=0.057$Stap 3: Bereken hoeveel weken in het jaar er naar verwachting minder dan 50 reizen worden geboekt bij het reisbureau. $0.057 \cdot 52=3 \ weken$.Conclusie: Drie weken in het jaar worden er naar verwachting minder dan 50 reizen geboekt bij het reisbureau.  In dit geval hebben we het totaal aantal reizen dat over een jaar geboekt wordt nodig. We moeten dus het nieuwe gemiddelde en de nieuwe standaardafwijking berekenen die gelden in een jaar. Vervolgens berekenen we de kans dat er meer dan 3300 reizen geboekt worden.Stap 1: Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking in een jaar. $T=aantal \ boekingen \ over \ een \ jaar$.$E(T)=n\cdot E(X)=52\cdot 62.9=3270.8$$\sigma(T)=\sqrt{n} \cdot \sigma(X)=\sqrt{52}\cdot 8.5=8.5\sqrt{52}$Stap 2: Het aantal reizen dat in een jaar wordt geboekt is een discrete stochast. We doen een continuïteitscorrectie.$P(X>3300)=P(X \reg 3300.5)$Dit keer moet het interval precies boven 3300 zitten. Meer dan 3300 betekent dat 3300 zelf niet mee doet. 3300.5 is de kleinste waarde boven 3300 die afgerond niet gelijk is aan 3300.Stap 3: Bereken de kans met behulp van optie normaal cumulatief $P(X\reg 3300.5)=normaal cum(3300.5; 10^{99}; 3270.8; 8.5\sqrt{52})=0.314 $Conclusie: De kans dat er in een jaar meer dan 3300 vakanties worden geboekt bij het reisbureau is 0.314. Bereken eerst in kansen het deel van de tijd dat de luchtvochtigheid naar verwachting te laag is. Bereken dan hoeveel dagen in het jaar dit betreft. Stap 1: Bereken de kans dat de luchtvochtigheid te laag is. De luchtvochtigheid is te laag als hij onder de 40% ligt. $P(X\leq 40)=normaal cum(-10^{99}, 40, 43, 4.83)=0.267…$Stap 2: Bereken hoeveel dagen van het jaar de luchtvochtigheid naar verwachting te laag is. $0.267…\cdot 365=97.5$Conclusie: 98 dagen van het jaar. We moeten nu een grenswaarde berekenen, dus we gebruiken intersect.Stap 1: Bij 80% van de tijd hoort het oppervlakte onder de normaalkromme:$80:100=0.8$Stap 2: Bereken de grens bij de oppervlakte van 0.8 aan de rechterkant van de normaalkromme.De ondergrens is ons onbekend, die noemen we $x$. We weten al wel dat optie normaal cumulatief ons oppervlakte 0.8 moet opleveren. Dit levert de volgende vergelijking op:$P(X\geq x)=normaal cum(x, 10^{99}, 43, 4.83)=0.8$$y_1=normaal cum(x, 10^{99}, 43, 4.83)$$y_2=0.8$De ondergrens van ons oppervlakte ligt onder het gemiddelde 43, maar ligt niet meer dan twee standaardafwijkingen van het gemiddelde af, oftewel hij komt niet onder de 30. De y waarde ligt tussen 0 en 1 omdat het bij normalcdf om een kans gaat en de oppervlakte onder een normaalkromme dus maximaal 1 is. We zien het snijpunt weer goed.Optie snijpunt geeft: $x=38.93$Conclusie: De luchtvochtigheid ligt dus 80% van de tijd boven de 38.9%De luchtvochtigheid kan 25% onder het gemiddelde liggen maar ook 25% boven het gemiddelde. We moeten dus twee grenzen weten waarvoor de luchtvochtigheid meer dan 25% van het gemiddelde afwijkt. ‘Stap 1: Als de luchtvochtigheid 25% van het gemiddelde (ligt bij 50%) afwijkt moeten we dus de bovengrens van 50%-25%=25% van de laagste luchtvochtigheid percentages weten. En de ondergrens van de 25% hoogste luchtvochtigheidpercentages. De oppervlakte: $25:100=0.25$Stap 2: Bereken de grenzen met behulp van de optie snijpunt. $P(X\leq x)=normaal cum(-10^{99}, x, 43, 4.83)=0.25$$y_1=normaal cum(-10^{99}, x, 43, 4.83)$$y_2=0.25$De bovengrens van ons oppervlakte ligt onder het gemiddelde 43, maar ligt niet meer dan een standaardafwijking van het gemiddelde af, oftewel hij komt niet onder de 30. De y-waarde ligt tussen 0 en 1 omdat het bij normalcdf om een kans gaat en de oppervlakte onder een normaalkromme dus maximaal 1 is.Optie snijpunt geeft: $x=39.7$$P(X\geq x)=normaal cum(-10^{99}, x, 43, 4.83)=0.25$$y_1=normaal cum(x, 10^{99}, 43, 4.83)$$y_2=0.25$De ondergrens van ons oppervlakte ligt boven het gemiddelde 43, maar ligt niet meer dan een standaardafwijking van het gemiddelde af, oftewel hij komt niet boven de 50. De y-waarde ligt tussen 0 en 1 omdat het bij optie normaal cumulatief om een kans gaat en de oppervlakte onder een normaalkromme dus maximaal 1 is.Optie intersect geeft: $x=46.3$Conclusie: Op de dagen dat de luchtvochtigheid meer dan 25% van het gemiddelde afwijkt ligt de luchtvochtigheid onder de 39.7% of boven de 46.3%.Als de luchtvochtigheid 90% van de tijd in orde is, moet de luchtvochtigheid dus 90% van de tijd tussen de 40% en 60% liggen. De standaardafwijking willen we berekenen, deze noemen we x.Stap 1: Het gedeelte onder de normaalkromme tussen 40% en 60% moet dus een oppervlakte hebben van:$90:100=0,9$Stap 2: Gebruik intersect om een standaardafwijking te vinden die voldoet aan de voorwaarden. $P(40\leq X \leq 60)=normaal cum(40, 60, 43, x)=0.9$$y_1=normaal cum(40, 60, 43, x)$$y_2=0.9$De standaardafwijking ligt sowieso onder het gemiddelde, we nemen dus $x$ tussen 0 en 43. Optie snijpunt geeft: $x=2.341$Conclusie: De standaardafwijking mag maximaal 2.341 zijn om de luchtvochtigheid 90% van de tijd in orde te laten zijn. 320 dagen van het jaar is $320:365=0.877$. Dus het gedeelte onder de normaalkromme met bovengrens 50% heeft een oppervlakte van 0.877. Stap 1: De oppervlakte is $320:365=0.877$. Stap 2: We willen het gemiddelde berekenen, deze noemen we $x$ de gegevens geven ons de volgende vergelijking: $P(42\leq X\leq 50)=normaal cum(42, 50, x, 2.3)=0.877$$y_1=normaal cum(-10^{99}, 50, x, 2.3)$$y_2=0.877$Het gemiddelde is sowieso lager dan 50.Optie snijpunt geeft $x=47.33$Conclusie: De gemiddelde luchtvochtigheid in het huis van Lize is 47.33.