Moderne Wiskunde A 12e ed/FLEX deel 3 - Hoofdstuk 16 - Samengestelde functies oefentoetsen & antwoorden

De twee schakels zijn $t(u)=\frac{2}{u}$ en $u=2r^{-6.4}+5$. De afgeleide geeft een negatieve uitkomst als we $x=2$ naderen. Dit weten we omdat de grafiek aan het dalen is als we $x=2$ naderen. Bij $x=2$ is een minimum, in dit punt is de afgeleide gelijk aan 0. De uitkomst van de afgeleide is negatief als we $x=2$ naderen maar wordt wel steeds groter, totdat hij op het punt $x=2$ gelijk aan 0 is. Stap 1: Deel eerst de breuk uit. $f(x)=\frac{x^3\sqrt[5]{x^2}}{2(\sqrt{x})^3\cdot \sqrt[3]{x}}+\frac{x^{0.4}}{2(\sqrt{x})^3\cdot \sqrt[3]{x}}$Stap 2: Schrijf alle wortels als macht van $x$.$f(x)=\frac{x^3\cdot x^{\frac{2}{5}}}{2(x^{\frac{1}{2}})^3\cdot x^{\frac{1}{3}}}+\frac{x^{0.4}}{2(x^{\frac{1}{2}})^3\cdot x^{\frac{1}{3}}}$ (gebruik $\sqrt[p]{x^q}=x^{\frac{q}{p}}$)Stap 3: Reken de haakjes uit. $f(x)=\frac{x^3\cdot x^{\frac{2}{5}}}{2x^{\frac{3}{2}}\cdot x^{\frac{1}{3}}}+\frac{x^{0.4}}{2x^{\frac{3}{2}}\cdot x^{\frac{1}{3}}}$ (gebruik $(x^a)^b=x^{a\cdot b}$)Stap 4: Voer de vermenigvuldigingen in de teller en noemer uit.$f(x)=\frac{x^{3+\frac{2}{5}}}{2x^{\frac{3}{2}+\frac{1}{3}}}+\frac{x^{0.4}}{2x^{\frac{3}{2}+\frac{1}{3}}}$ (gebruik $(x^a\cdot x^b=x^{a+b}$)$f(x)=\frac{x^{3\frac{2}{5}}}{2x^{\frac{11}{6}}}+\frac{x^{0.4}}{2x^{\frac{11}{6}}}$Stap 5: Voer de delingen uit.$f(x)=\frac{1}{2}x^{3\frac{2}{5}-\frac{11}{6}}+\frac{1}{2}x^{0.4-\frac{11}{6}}$ (gebruik $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$)$f(x)=\frac{1}{2}x^{\frac{47}{30}}+\frac{1}{2}x^{-\frac{43}{30}}$Conclusie $f(x)=\frac{1}{2}x^{\frac{47}{30}}+\frac{1}{2}x^{-\frac{43}{30}}$Om te differentiëren moeten we de functie noteren zonder wortels en breuken. Dat hebben we bij $a$ gedaan. We gebruiken het antwoord uit $a$. $f(x)=\frac{1}{2}x^{\frac{47}{30}}+\frac{1}{2}x^{-\frac{43}{30}}$$f’(x)=\frac{47}{30}\cdot \frac{1}{2}x^{\frac{47}{30}-1}+-\frac{43}{30}\cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{43}{30}-1}$$f’(x)=\frac{47}{60}x^{\frac{17}{30}}-\frac{43}{60}x^{-\frac{73}{30}}$ Stap 1: Werk de haakjes uit.$q=(\frac{1}{2})^{0.34}P^{-3\cdot 0.34}\cdot 2^5P^{1.2\cdot 5}$ (gebruik $\frac{1}{0.2}=\frac{1}{\frac{1}{5}}=5$  $q=0.790…P^{-1.02}\cdot 32P^{6}$Stap 2: Vermenigvuldig de machten.$q=0.790…\cdot 32P^{-1.02+6}$$q=25.28P^{-7.02}$Conclusie: $q=25.28P^{-7.02}$We moeten $P$ vrijmaken. Hiervoor moeten we functie $q$ eerst als macht van $P$ schrijven. Dit hebben we al gedaan bij opgave a, we gebruiken dit antwoord en werken verder. $q=25.28P^{-7.02}$$\frac{1}{25.28}q=P^{-7.02}$$P^{-7.02}=\frac{1}{25.28}q$ (draai beide leden om)$P=(\frac{1}{25.28}q)^{\frac{1}{-7.02}}$ (gebruik $x^p=y$ geeft $x=y^\frac{1}{p}$)$P=(\frac{1}{25.28})^{\frac{1}{-7.02}}q^{\frac{1}{-7.02}}$ (werk de haakjes uit)$P=0.63q^{0.14}$ Voor de afgeleide moeten we de wortels en breuken als macht van $x$, in dit geval $P$ schrijven. Dit hebben we gedaan bij a. We gebruiken dit antwoord.$q=25.28P^{-7.02}$$\frac{dq}{dP}=-7.02\cdot 25.28P^{-7.02-1}=-177.47\cdot P^{-8.02}$ Stap 1: Schrijf $f$ zonder wortels en breuken.$f(x)=frac{2}{3}x^{-2}-6^{\frac{2}{3}}$Stap 2: Neem de afgeleide. $f’(x)=-2\cdot frac{2}{3}x^{-2-1}$ ($-6^{\frac{2}{3}}$ hangt niet af van $x$ dus valt weg in de afgeleide)$f’(x)=-\frac{-4}{3}x^{-3}$Stap 1: $A$ is een samengestelde functie. We scheiden dus eerst de schakels.$A(u)=\frac{4}{u^5}$ en $u=\frac{1}{2}x+9$Stap 2: Schrijf de schakels zonder wortels en breuken.$A(u)=4u^{-5}$ en $u=\frac{1}{2}x+9$Stap 3: Neem de afgeleide van beide schakels. $A’(u)=-5\cdot 4u^{-5-1}=-20u^{-6}$ en $u’=\frac{1}{2}$Stap 4: Vermenigvuldig de afgeleiden van de schakels met elkaar. $A’(u)=-20u^{-6}\cdot \frac{1}{2}=-10u^{-6}$Stap 5: Zet $u$ terug.$A’(x)=-10(\frac{1}{2}x+9)^{-6}$Stap 6: Herschrijf de afgeleide functie. $A’(x)=\frac{-10}{(\frac{1}{2}x+9)^{6}}$Van het eerste deel van $k$ kunnen we gewoon de afgeleide nemen. Voor het tweede deel hebben we de kettingregel nodig. Stap 1: Scheid de schakels van het tweede deel van de functie. $k(u)=u^{-1}$ en $u=9s+2$Stap 2: Neem de afgeleide van beide schakels.$k’(u)=-u^{-2}$ en $u’=9$Stap 3: Vermenigvuldig de afgeleiden van de schakels en zet $u$ terug. $k’(u)=-u^{-2}\cdot 9=-9(9s+2)^{-2}$Stap 4: Neem de afgeleide van heel functie $k$.$k’(s)=-1.54s^{-1.77}-9(9s+2)^{-2}$ Stap 1: Bereken de afgeleide van $f$.$f’(x)=3x^2+5$Stap 2: Plot de grafiek.$y_1=3x^2+5$Conclusie: In de grafiek van $f’$ is te zien dat $f’$ voor $x>0$ boven de x-as ligt. Oftewel, de helling is positief als $x>0$. Als de helling positief is, stijgt de originele grafiek.Dit is een toenemende stijging. Ook dit zien we aan de grafiek van $f’$. De grafiek van de afgeleide stijgt als $x>0$. De afgeleide levert dus voor een grotere x-waarde een steeds grotere helling op. Als de helling steeds groter wordt is dat een toenemende stijging. We kijken weer naar de grafiek van $f’$ die we hebben geplot. We zien dat de grafiek van $f’$ tussen $x=-3\frac{1}{3}$ tot $x=0$ onder de x-as ligt. De helling is hier dus negatief. Dat betekent dat de originele grafiek $f$ aan het dalen is op dit interval. De grafiek van $f’$ is onder de x-as eerst aan het dalen, hier is dus sprake van een toenemende daling in de grafiek van $f$. Vervolgens gaat de grafiek van $f’$ stijgen onder de x-as, hier is sprake van een afnemende daling in de grafiek van $f$. Een vlieg weegt 80 mg, dus $G=80$. We berekenen de snelheid van zijn metabolisme met de formule. We vullen $G=80$ in. $M=4.1\cdot 80^{0.66}=73.93… mm^3 \ O_2$ per uur. Per dag is dit $73.93…\cdot 24=1774.33 \ mm^3 \ O_2$. (24 uur in een dag)We willen $G$ vrijmaken. $M=4.1\cdot G^{0.66}$$4.1\cdot G^{0.66}=M$ (draai beide leden om)$G^{0.66}=\frac{1}{4.1}M$ (deel door $4.1$)$G=(\frac{1}{4.1}M)^{\frac{1}{0.66}}$ (gebruik $x^p=y$ geeft $x=y^\frac{1}{p}$)$G=(\frac{1}{4.1})^{\frac{1}{0.66}}M^{\frac{1}{0.66}}$ (werk de haakjes uit)$G=0.12\cdot M^{1.52}$$M=4.1\cdot G^{0.66}$ met $M=55$ geeft de vergelijking $4.1\cdot G^{0.66}=55$.Omdat er staat ‘bereken’ mogen we deze vergelijking oplossen met de GR. $y_1=4.1\cdot G^{0.66}$$y_2=55$Optie snijpunt geeft $x=51.1$Dus een insect die $51.1$ milligram weegt heeft een metabolisme van $55 \ mm^3 \ O_2$ per uur.Om te berekenen hoe snel de snelheid toeneemt hebben we de afgeleide nodig. $M’=0.66\cdot 4.1\cdot G^{0.66-1}$$M’=2.706\cdot G^{-0.34}$Vul $G=4$ in in de afgeleide om te berekenen hoe snel de snelheid toeneemt in dat punt.$M’=2.706\cdot 4^{-0.34}=1.69$ Werkwijze: Om een maximum te bepalen moeten we de afgeleide gelijkstellen aan 0. De functie is een samengestelde functie, namelijk een kwadratische functie in een wortelfunctie. We gebruiken dus de kettingregel.Stap 1: Bereken de afgeleide met behulp van de afgeleide. De factor -2 heeft geen invloed op onze afgeleide, dus deze laten we weg.$H=3\sqrt{u}$ met $u=-v^2+5v+7$ (schakels scheiden)$H=3u^{\frac{1}{2}}$ met $u=-v^2+5v+7$ (schrijf de wortel als gebroken macht zodat we de afgeleide kunnen nemen)$H’=\frac{1}{2}\cdot 3u^{\frac{1}{2}-1}$ met $u’=-2v+5$ (neem de afgeleide van de schakels)$H’=\frac{3}{2}u^{-\frac{1}{2}}$ met $u’=-2v+5$$H’=\frac{3}{2}(-v^2+5v+7)^{-\frac{1}{2}}\cdot (-2v+5)$ (vermenigvuldig de schakels en zet $u$ terug)$H’=\frac{3(-2v+5)}{2\sqrt{-v^2+5v+7}}$ (herschrijf)Stap 2: Stel de afgeleide gelijk aan 0. $H’=0$ geeft $\frac{3(-2v+5)}{2\sqrt{-v^2+5v+7}}=0$. Deze vergelijking mogen we met de GR oplossen.$y_1=\frac{3(-2v+5)}{2\sqrt{-v^2+5v+7}}$Optie nulpunt geeft $x=2.5$.Stap 3: Om te bepalen hoe hoog de pijl dan is vullen we $x=2.5$ in in de originele formule. $H=3\sqrt{-2.5^2+5\cdot 2.5+7}-2=8.92$ meterConclusie: Na 2.5 meter is de pijl $8.92$ meter hoog. Als we ons afvragen na hoeveel tijd de concentratie zout lager is dan 30 gram per liter krijgen we de volgende ongelijkheid $c(t)<30$ oftewel $\frac{2000}{40+2t}<30$Omdat er staat ‘bereken’ mogen we de GR gebruiken.$y_1=\frac{2000}{40+2t}$$y_2=30$Optie snijpunt geeft: $x=13.33…$Om te weten hoeveel seconden 0.33… minuten zijn, vermenigvuldigen we deze met 60. Er zit immers 60 seconden in een minuut.$0.33… \cdot 60=20$Conclusie: Na 13 minuten en 20 seconden is de concentratie zout lager dan 30 gram. De snelheid waarmee de concentratie afneemt op een bepaald moment berekenen we met de afgeleide. Stap 1: Bereken de afgeleide.$c(u)=\frac{2000}{u}$ met $u=40+2t$ (scheid de schakels)$c(u)=2000u^{-1}$ met $u=40+2t$ (herschrijf de functie zodat je de afgeleide kunt nemen)$c’(u)=-2000u^{-2}$ en $u’=2$ (neem de afgeleide van de schakels)$c’(t)=-2000(40+2t)^{-2}\cdot 2$ (vermenigvuldig de afgeleiden van de schakels en zet $u=40+2t$ terug)$c’(t)=-4000(40+2t)^{-2}$$c’(t)=-\frac{4000}{(40+2t)^2}$Stap 2: Vul $t=10$ in in de afgeleide.$c’(10)=-\frac{4000}{(40+2\cdot 10)^2}=-\frac{4000}{60^2}=-1.111$ De concentratie suiker neemt af. Dit zien we aan de functie omdat we 2000 delen door een steeds groter getal. Hoe groter de noemer van de breuk, hoe kleiner de uitkomst is. De helling van een dalende functie is negatief. Dus welk getal we ook voor $t$ invullen in de afgeleide, de uitkomst is altijd een negatief getal.