Moderne Wiskunde A 12e ed/FLEX deel 3 - Hoofdstuk 17 - Hypothese toetsen oefentoetsen & antwoorden

Dit is een fout van de tweede soort. Leer nogmaals goed de volgende tabel:Een tweezijdige hypothesetoets. Deze herkennen we aan het $\neq$ teken. De toetsingsgrootheid $X$ is het aantal shirts met een draadje los. Het aantal shirts met een draadje los is binomiaal verdeeld.We hebben twee mogelijkheden, namelijk een draadje los, of geen draadje los. Met andere woorden, succes of geen succes. Daarom is $X$ binomiaal verdeeld. $H_0: p=\frac{1}{8}$De producent beweert dat de kans dat een shirt een draadje los heeft 1 op 8 is. Dit is de hypothese die we al dan niet willen weerleggen, daarom is dit onze $H_0$.$H_1: p>\frac{1}{8}$De klant beweert dat meer dan 1 op de 8 shirts een draadje los heeft. Oftewel dat de kans dat een draadje los is groter is dan $\frac{1}{8}$. Dit is onze alternatieve hypothese. Als er van de 70 shirts 7 shirts zijn met een draadje los is dat 7 op de 70 oftewel $\frac{7}{70}=\frac{1}{10}$ $\frac{1}{10}<\frac{1}{8}$ Dus we hoeven de bewering van de producent niet te verwerpen.Als er 14 shirts met een draadje los zijn is dat $\frac{14}{70}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$ $\frac{1}{5}>\frac{1}{8}$ Dus op basis van dit resultaat zouden we de bewering kunnen verwerpen. $X$ is binomiaal verdeeld. We willen de kans berekenen op een fout van de eerste soort. Dit betekent dat $H_0$ wordt verworpen terwijl $H_0$ juist is. Als $H_0$ juist is geldt $X$ is $Bin(70; \frac{1}{8})$-verdeeld. $H_0$ wordt niet verworpen als $P(X\leq 14)$ (maximaal 14 shirts met een draadje los)$P(X\leq 14)=Binomiaal cum(70, \frac{1}{8}, 14)=0.975$ $H_0$ wordt wel verworpen als $P(X\geq 15)$. Dit is de tegenovergestelde oplossing van $P(X\leq 14)$. $P(X\geq 15)=1-P(X\leq 14)=1-0.975=0.025$Conclusie: De kans op een fout van de eerste soort is $0.025$. Het is wel verstandig om de grens bij 14 shirts te leggen. De kans dat we dan een fout hebben van de eerste soort is namelijk erg klein. Stap 1: Benoem eerst de toetsingsgrootheid, $H_0$ en $H_1$, en de soort verdeling.Toetsingsgrootheid: $X=het aantal keer dat maandlenzen minder dan een maand meegaan.$H_0$ is de bewering van de opticien. $H_0: p=0.03$.$97 \%$ van de gevallen gaan ze een maand mee. Dus in $100-97=3 \%$ van de gevallen korter. $3:100=0.03$.Ineke denkt dat minder mensen een maand met hun maandlenzen kunnen. Dus meer dan $3%$ korter met hun maandlenzen doen. $H_1$: $p>0.03$. $X$ is $Bin(120, 0.03)$-verdeeld. Stap 2: We willen weten wat het maximaal aantal mensen van de steekproef mag zijn dat minder dan een maand met de maandlenzen doet om de kans op een fout van de eerste soort maximaal $0.015$ te laten zijn. $1-P(X\leq g)$ moet hoogstens $0.015$ zijn. $y_1=1-binomiaal cum(120; 0.03; x)$Optie tabel geeft:Je ziet dat vanaf $x=7$ de kans op een fout van de eerste soort groter is dan $0.015$. Dus het hoogste aantal mensen dat minder lang dan een maand met zijn maandlenzen doet mag maximaal 8 zijn. Conclusie: Maximaal 8 mensen uit de steekproef mogen minder dan een maand met hun maandlenzen doen om de bewering van de opticien niet te verwerpen. Dus vanaf 9 mensen verwerpt Ineke de bewering van de opticien.Gebruik het antwoord van opgave a bij stap 1: Stap 1: Benoem eerst de toetsingsgrootheid, $H_0$ en $H_1$, de soort verdeling en het significantieniveau.Toetsingsgrootheid: $X=het aantal keer dat maandlenzen minder dan een maand meegaan.$H_0: p=0.03$.$H_1$: $p>0.03$. $X$ is $Bin(120, 0.03)$-verdeeld. Het significantieniveau is $2.5:100=0.025$. Stap 2: Bereken de kans dat 6 of meer mensen minder dan een maand met hun maandlenzen doen. $P(X\leq 6)=1-P(X\geq 5)=1-Binomiaal cum(120; 0.03; 6)=0.070$. Conclusie: $0.070>0.025$, dus $H_0$ wordt niet verworpen. Zes mensen die minder dan een maand met hun maandlenzen doen is niet te veel. Stap 1: Benoem eerst de toetsingsgrootheid, $H_0$ en $H_1$, en de soort verdeling.Toetsingsgrootheid: $X=$het gewicht van een pak hagelslag $H_0$ is de bewering van de fabrikant. $H_0: \mu=394$.$H_1$ is het vermoeden van de baas van de supermarkt $H_1: \mu>394$. $X$ is $Norm(394, 2.1)$-verdeeld. Stap 2: We vragen ons af bij welk steekproefgemiddelde $\bar{X}$ we $H_0$ moeten verwerpen. $\bar{X}$ is $Norm(392, \frac{2.1}{\sqrt{50}})$ (let op dat het hier om een steekproefgemiddelde gaat en we dus gebruik maken van de wortel-n wet. We weten het oppervlakte al dus we moeten de volgende vergelijking oplossen: $P(X\leq g)=normaal cum(x, 10^{99}, 394, \frac{2.1}{\sqrt{50}})=0.05$$y_1=normaal cum(x, 10^{99}, 394, \frac{2.1}{\sqrt{50}})$$y_2=0.05$Optie snijpunt geeft $x=394.49$.Conclusie: Het kritieke gebied bestaat uit uit de steekproefgemiddeldes $394.49$ en hoger. Gebruik je antwoord uit opgave a voor stap 1:Stap 1: Benoem eerst de toetsingsgrootheid, $H_0$ en $H_1$, de soort verdeling en het significantieniveau.Toetsingsgrootheid: $X=$het gewicht van een pak hagelslag $H_0: \mu=394$.$H_1: \mu>394$. $X$ is $Norm(394, 2.1)$-verdeeld.$\alpha=2.5:100=0.025$Stap 2: Bereken de kans dat het gemiddelde van de steekproef groter is dan $395$.Het steekproefgemiddelde $\bar{X}$ is $Norm(392, \frac{2.1}{\sqrt{50}})$. $P(\bar{X}\leq 395)=normaal cum(395, 10^{99}, 392, \frac{2.1}{\sqrt{50}})=0.0003$ Conclusie: $0.0003<0.025$ dus $H_0$ wordt verworpen. Dit is een tweezijdige toets, we willen weten óf $30 \%$ van de gasten zijn espresso laat bijvullen, we hebben geen vermoeden dat dit percentage hoger of lager ligt.Stap 1: Benoem eerst de toetsingsgrootheid, $H_0$ en $H_1$, en de soort verdeling.Toetsingsgrootheid: $X=$ het aantal mensen dat zijn espresso laat bijvullen. $H_0$ is het vermoeden van de koffietenthouder. $H_0: p=0.3$.$H_1$ is het tegenovergestelde van het vermoeden van de koffietenthouder. $H_1: p \neq 0.3$$X$ is $Bin(35; 0.3)$-verdeeld. Stap 2: Bereken de kans dat 14 van de 35 gasten gebruik hebben gemaakt van het gratis bijvullen.$\frac{14}{35}=0.4$$0.4>0.3$ dus we rekenen rechts van de verdeling.$P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)=1-Binomiaal cum(35; 0.3; 13)=0.135$Stap 3: Ga na of de kans buiten het kritieke gebied ligt. $10:100=0.1$, aangezien dit een tweezijdige toets hebben hebben we aan beide kanten van de verdeling een kritiek gebied, deze kritieke gebieden moeten samen een oppervlakte van $0.1$ hebben. Dus één kritiek gebied heeft de oppervlakte van $0.1:2=0.05$.  $0.135>0.05$, Dus de kans op 13 bijvullers ligt buiten het kritieke gebied. We hoeven $H_0$ niet te verwerpen. Conclusie: Op basis van deze steekproef kunnen we concluderen dat $30 \%$ van de gasten zijn espresso bijvult.