Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 3 - Hoofdstuk 17 - Goniometrische functies oefentoetsen & antwoorden

Zoals je in de afbeelding hierboven zien moeten we de functie $\sin(x)$ een $\frac{1}{2}\pi$ naar links verschuiven om hem samen te laten vallen met de functie $\cos(x)$. Een functie naar links verschuiven geeft $x+p$ waarbij $p$ het aantal stappen naar links is. Dus, om $\sin(x)$ samen te laten vallen met $\cos(x)$ doen we $\sin(x+\frac{1}{2}\pi)$ en dan is hij dus gelijk aan $\cos(x)$. In $x=\frac{1}{2}\pi+k\cdot \pi$ is $\cos(x)$ gelijk aan 0. $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, dus in de punten $x=\frac{1}{2}\pi+k\cdot \pi$ krijgen we $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{0}$, maar we kunnen niet delen door 0, dus is de functie niet gedefinieerd in deze punten en hebben we een asymptoot als de x-waarde $x=\frac{1}{2}\pi+k\cdot \pi$ nadert. De standaardfunctie is $u=a\sin(2\pi f t)$ waarbij $a$ de amplitude is en $f$ de frequentie. $a=0.3$, de amplitude is 0.3 mm.$2\pi f=122\pi$ Dus de frequentie $f=\frac{122\pi}{2\pi}=61$ hertz.De trillingstijd is $T=\frac{2\pi}{2\pi f}=\frac{2\pi}{122\pi}=0.0164$ seconden. Stap 1: We gebruiken de toppen. We weten het hoogste en het laagste punt. Namelijk $y=6$ (hoogste) en $y=-8$ (laagste). Hiermee kunnen we de evenwichtsstand en amplitude berekenen. Evenwichtsstand: $a=\frac{6+-8}{2}=-1$De evenwichtsstand ligt precies tussen het hoogste en het laagste punt, door deze op te tellen en te delen door twee vinden we dit midden. Amplitude: Manier 1: $b=\frac{6--8}{2}=7$ of manier 2: $6--1=7$De amplitude is de afstand van het hoogste tot het laagste punt delen door twee. (manier 1)De amplitude is de afstand van de evenwichtsstand tot het hoogste/laagste punt. Daarom trekken we de evenwichtsstand van het hoogste punt af. (manier 2)Stap 2: We hebben de x-coördinaten van het hoogste en het laagste punt. Namelijk $x=2$ (hoogste) en $x=5$ (laagste) Hiermee kunnen we de periode berekenen.Periode: $5-2=3$ is een halve periode. Dus de periode is $3\cdot 2=6$, $c=\frac{2\pi}{periode}=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}$.Omdat één periode pas voorbij is wanneer we terug zijn op de hoogte waar we zijn gestart, zijn we als we van het hoogste ($x=2$) naar het laagste punt ($x=5$) zijn gegaan nog maar op een halve periode.Door eerst te berekenen hoeveel een halve periode is en dit te vermenigvuldigen met twee krijgen we de lengte van een hele periode. Tot slot wordt de formule voor het berekenen van $c=\frac{2\pi}{periode}$ gebruikt.Stap 3: Het is het makkelijkste om een functie op te stellen van de vorm $y=a+b\cos(c(x-d))$ op te stellen. We hebben namelijk al het hoogste punt, dat is waar de cosinusoïde start. Dit geeft ons $d=2$.Conclusie: $y=-1+7\cos(\frac{\pi}{3}(x-2))$. Alternatieve stap 3: We kun ook een functie opstellen van de vorm $y=a+b\sin(c(x-d))$. Het beginpunt van een sinusoïde vinden we waar de sinusoïde stijgend door de evenwichtsstand gaat. Voordat de sinusoïde bij het maximum $(2, 6)$ kwam moet hij stijgend door de evenwichtsstand zijn gegaan. Dit is een kwart periode voor het hoogste punt. Een kwart periode is $6:4=1\frac{1}{2}$ (de hele periode delen door 4)$2-1\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ (we zoeken naar het punt een kwart periode voor het hoogste punt)$d=\frac{1}{2}$. Alternatieve conclusie: $y=-1+7\sin(\frac{\pi}{3}(x-\frac{1}{2}))$Stap 1: We kunnen de y-coördinaten van het hoogste en het laagste punt aflezen. Namelijk $y=5$ (hoogste) en $y=1$ (laagste). Hiermee kunnen we de evenwichtsstand en amplitude berekenen. Evenwichtsstand: $a=\frac{5+1}{2}=3$De evenwichtsstand ligt precies tussen het hoogste en het laagste punt, door deze op te tellen en te delen door twee vinden we dit midden. Amplitude: Manier 1: $b=\frac{5-1}{2}=2$ of manier 2: $5-3=2$De amplitude is de afstand van het hoogste tot het laagste punt delen door twee. (manier 1)De amplitude is de afstand van de evenwichtsstand tot het hoogste/laagste punt. Daarom trekken we de evenwichtsstand van het hoogste punt af. (manier 2)Stap 2: We hebben de x-coördinaten van het hoogste en het laagste punt. Namelijk $x=5$ (hoogste) en $x=1$ (laagste). Hiermee kunnen we de periode berekenen.Periode: $5-1=4$ is een halve periode. Dus de periode is $4\cdot 2=8$, $c=\frac{2\pi}{periode}=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{2}$.Omdat één periode pas voorbij is wanneer we terug zijn op de hoogte waar we zijn gestart, zijn we als we van het laagste ($x=5$) naar het hoogste punt ($x=1$) zijn gegaan nog maar op een halve periode.Door eerst te berekenen hoeveel een halve periode is en dit te vermenigvuldigen met twee krijgen we de lengte van een hele periode. Tot slot wordt de formule voor het berekenen van $c=\frac{2\pi}{periode}$ gebruikt.Stap 3: Het is het makkelijkste om een functie op te stellen van de vorm $y=a+b\cos(c(x-d))$ op te stellen. We hebben namelijk al het hoogste punt, dat is waar de cosinusoïde start. Dit geeft ons $d=5$.Conclusie: $y=3+2\cos(\frac{\pi}{2}(x-5))$. Alternatieve stap 3: We kun ook een functie opstellen van de vorm $y=a+b\sin(c(x-d))$. Het beginpunt van een sinusoïde vinden we waar de sinusoïde stijgend door de evenwichtsstand gaat. We lezen af dat dit in $x=3$ is.Alternatieve conclusie: $y=3+2\sin(\frac{\pi}{2}(x-3))$ Uit de translatie van de grafieken volgt $\sin(x)=\cos(x-\frac{1}{2}\pi)$. Dit geeft:$\sin(2x+\frac{1}{3}\pi)=\cos(2x+\frac{1}{3}\pi-\frac{1}{2}\pi)=\cos(2x+\frac{2}{6}\pi-\frac{3}{6}\pi)=\cos(2x-\frac{1}{6}\pi)$Uit de translatie van de grafieken volgt $\cos(x)=\sin(x+\frac{1}{2}\pi)$. Dit geeft:$-\cos(3(x-\frac{1}{4}\pi))=-\sin(3(x-\frac{1}{4}\pi)+\frac{1}{2}\pi)=-\sin(3x-\frac{3}{4}\pi+\frac{1}{2}\pi)=-\sin(3x-\frac{1}{4}\pi)$Gebruik $-\sin(x)=\sin(x+\pi)$$-\sin(3x-\frac{1}{4}\pi)=\sin(3x-\frac{1}{4}\pi+\pi)=\sin(3x+\frac{3}{4}\pi)$ Gebruik $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$, substitueer hierin $\cos(x)=\frac{5}{36}$ geeft:$\sin^2(x)+(\frac{5}{7})^2=1$$\sin^2(x)+\frac{25}{49}=1$$\sin^2(x)=1-\frac{25}{49}$$\sin^2(x)=\frac{24}{49}$$\sin(x)=\sqrt{\frac{24}{49}} \vee \sin(x)=-\sqrt{\frac{24}{49}}$$\sin(x)=\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{49}} \vee \sin(x)=-\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{49}}$$\sin(x)=\frac{2\sqrt{6}}{7} \vee \sin(x)=-\frac{2\sqrt{6}}{7}$Voor $\frac{1}{2}\pi<x<\pi$ is $\sin(x)$ positief dus $\sin(x)=\frac{2\sqrt{6}}{7}$ Om de vergelijking op te lossen moeten we een uitdrukking van de vorm $\sin(A)=\sin(B)$ krijgen.De $-$ aan de rechterkant werken we dus weg:$\sin(x+\frac{1}{5}\pi)=\sin(2x+\pi)$ (gebruik $-\sin(x)=\sin(x+\pi)$)$x+\frac{1}{5}\pi=2x+\pi+k\cdot 2\pi \vee x+\frac{1}{5}\pi=\pi-(2x+\pi)+k\cdot 2\pi$$x-2x =\pi-\frac{1}{5}\pi+k\cdot 2\pi \vee x+2x=-\frac{1}{5}\pi+k\cdot 2\pi$$-x=\frac{4}{5}\pi+k\cdot 2\pi \vee 3x=-\frac{1}{5}\pi+k\cdot 2\pi$$x=-\frac{4}{5}\pi+k\cdot 2\pi \vee x=-\frac{1}{15}\pi+k\cdot \frac{2}{3}\pi$Om de vergelijking op te lossen moeten we een uitdrukking van de vorm $\cos(A)=\cos(B)$ of $\sin(A)=\sin(B)$ hebben. We kiezen ervoor om het rechterlid naar $\cos$ te schrijven.$\cos(\frac{1}{2}x-\pi)=\cos(2x+\frac{3}{4}\pi-\frac{1}{2}\pi)$ (gebruik $\sin(x)=\cos(x-\frac{1}{2}\pi)$)$\cos(\frac{1}{2}x-\pi)=\cos(2x+\frac{1}{4}\pi)$$\frac{1}{2}x-\pi=2x+\frac{1}{4}\pi+k\cdot 2\pi \vee \frac{1}{2}x-\pi=-(2x+\frac{1}{4}\pi)+k\cdot 2\pi$$-1\frac{1}{2}x=1\frac{1}{4}\pi+k\cdot 2\pi \vee 2\frac{1}{2}x=\frac{3}{4}\pi)+k\cdot 2\pi$$x=-\frac{10}{12}\pi+k\cdot \frac{4}{3}\pi \vee x=\frac{6}{20}\pi)+k\cdot \frac{4}{5}\pi$$x=-\frac{5}{6}\pi+k\cdot \frac{4}{3}\pi \vee x=\frac{3}{10}\pi)+k\cdot \frac{4}{5}\pi$Gebruik $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ geeft $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$$3\cos^2(2x)=2-(1-\cos^2(2x))$$3\cos^2(2x)=2-1+\cos^2(2x)$$2\cos^2(2x)=1$$\cos^2(2x)=\frac{1}{2}$$\cos(2x)=\sqrt{\frac{1}{2}} \vee \cos(2x)=-\sqrt{\frac{1}{2}}$$\cos(2x)=\frac{1}{2}\sqrt{2} \vee \cos(2x)=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$$2x=\frac{1}{4}\pi+k\cdot \frac{1}{2}\pi$$x=\frac{1}{8}\pi+k\cdot \frac{1}{4}\pi$Gebruik $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ geeft $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$$\cos^2(x)=-1-\sin(x)$$1-\sin^2(x)=-1-\sin(x)$$-\sin^2(x)+\sin(x)+2=0$$\sin^2(x)-\sin(x)-2=0$Stel $p=\sin(x)$$p^2-p-2=0$$(p-2)(p+1)=0$$p=2$ (voldoet niet) $\vee p=-1$$\sin(x)=-1$$x=1\frac{1}{2}\pi+k\cdot 2\pi$Omdat de $\sin$ en $\cos$ beide hetzelfde tussen de haakjes hebben staan is het hier het handigst om de regel $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ te gebruiken. Deze regel kun je ook alleen gebruiken als hetzelfde tussen de haakjes staat!$\sin(\frac{2}{3}\pi x)=-\frac{1}{\sqrt{3}}\cos(\frac{2}{3}\pi x)$ (beide leden delen door $\sqrt{3}$$\frac{\sin(\frac{2}{3}\pi x)}{\cos(\frac{2}{3}\pi x)}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$\tan(\frac{2}{3}\pi x)=-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ (beide leden herschrijven)$\tan(\frac{2}{3}\pi x)=-\frac{1}{3}\sqrt{3}$ (rechterlid de breuk in de noemer weggewerkt)$\frac{2}{3}\pi x=\frac{5}{6}\pi+k\cdot \pi$$x=\frac{15}{12} \cdot \frac{3}{2}$ Deze functie is een product van twee functies, namelijk van de functie $\cos^2(x)$ en $\sin(x)$. We hebben dus de productregel nodig. $\cos^2(x)$ is ook nog een samengestelde functie, hiervoor hebben we de kettingregel nodig.Kettingregel $\cos^2(x)$:$f(u)=u^2$ met $u=\cos(x)$$f’(u)=2u$ en $u’=-\sin(x)$$f’(x)=2\cos(x)\cdot -\sin(x)=-2\cos(x)\sin(x)$Productregel hele functie $g$$g’(x)=-2\cos(x)\sin(x)\cdot \sin(x)+\cos^2(x)\cdot \cos(x)$$g’(x)=-2\cos(x)\sin^2(x)+\cos^3(x)$De functie is een breuk dus we gebruiken de quotiëntregel. De noemer is een samengestelde functie, daarvoor gebruiken we de kettingregel. $f(u)=\sqrt{u}$ en $u=2\cos(x)-1$$f(u)=u^{\frac{1}{2}}$ en $u=2\cos(x)-1$$f’(u)=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}$ en $u’=-2\sin(x)$$f’(x)=\frac{1}{2}(2\cos(x)-1)^{-\frac{1}{2}}\cdot -2\sin(x)=\frac{-2\sin(x)}{2\sqrt{2\cos(x)-1}}=\frac{-\sin(x)}{\sqrt{2\cos(x)-1}}$Gebruik de quotiëntregel.$h’(x)=\frac{\sqrt{2\cos(x)-1}\cdot 1-x\cdot \frac{-\sin(x)}{\sqrt{2\cos(x)-1}}}{2\cos(x)-1}$$h’(x)=\frac{\sqrt{2\cos(x)-1}+\frac{x\sin(x)}{\sqrt{2\cos(x)-1}}}{2\cos(x)-1}$Een breuk in een breuk werken we weg dus we vermenigvuldigen met de noemer van de breuk in de breuk.$h’(x)=\frac{\sqrt{2\cos(x)-1}+\frac{x\sin(x)}{\sqrt{2\cos(x)-1}}}{2\cos(x)-1}\cdot \frac{\sqrt{2\cos(x)-1}}{\sqrt{2\cos(x)-1}}$$h’(x)=\frac{2\cos(x)-1+x\sin(x)}{(2\cos(x)-1)\sqrt{2\cos(x)-1}}$We gebruiken de kettingregel:$k(u)=e^u$ met $u=\tan(x)$$k’(u)=e^u$ en $u’=1+\tan^2(x)$$k’(x)=e^{\tan(x)}\cdot (1+\tan^2(x))$ Zorg dat je compenseert voor de kettingregel.$G(x)=\frac{1}{2}\cdot 2x^2--\frac{1}{\frac{1}{3}\pi}\cdot 4\sin(3\pi-\frac{1}{3}\pi x)$$=x^2+\frac{12}{\pi}\sin(3\pi-\frac{1}{3}\pi x)$$H(x)=-\frac{1}{4\pi}\cdot \frac{1}{2}\pi\cos(4\pi x)$$=-\frac{1}{8\pi}\cos(4\pi x)$ Voor de snijpunten van de twee grafieken stellen we ze aan elkaar gelijk. We herschrijven het rechterlid naar $\cos$$\cos(\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\pi)=\sin(x-\frac{1}{7}\pi)$$\cos(\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\pi)=\cos(x-\frac{1}{7}\pi-\frac{1}{2}\pi)$ (gebruik $\sin(x)=\cos(x-\frac{1}{2}\pi)$)$\cos(\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\pi)=\cos(x-\frac{9}{14}\pi)$$\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\pi =x-\frac{9}{14}\pi+k\cdot 2\pi \vee \frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\pi =-(x-\frac{9}{14}\pi)+k\cdot 2\pi$$-\frac{5}{6}x=-\frac{16}{14}\pi+k\cdot 2\pi \vee 1\frac{1}{6}x=\frac{1}{7}\pi+k\cdot 2\pi$$x=\frac{96}{70}\pi+k\cdot \frac{12}{5}\pi \vee x=\frac{6}{49}\pi+k\cdot \frac{12}{7}\pi$$x=\frac{6}{49}\pi \vee x=\frac{96}{70}\pi \vee x=\frac{90}{49}\pi$Voor de richtingcoëfficiënt van de raaklijn hebben we de afgeleide nodig van de functie $f$. Hierin vullen we vervolgens het raakpunt in. De functie $f$ is een samengestelde functie dus we moeten de kettingregel gebruiken.$f(x)=\cos(\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\pi)$$f(u)=\cos(u)$ met $u=\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\pi$$f’(u)=-\sin(u)$ en $u’=\frac{1}{6}$$f’(x)=-\sin(\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\pi)\cdot \frac{1}{6}$$f’(x)=-\frac{1}{6}\cdot \sin(\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\pi)$Invullen van het raakpunt $x=-\frac{1}{4}\pi$ geeft:$f’(-\frac{1}{4}\pi)=-\frac{1}{6}\cdot \sin(\frac{1}{6}(-\frac{1}{4}\pi) +\frac{1}{2}\pi)=-\frac{1}{6}\cdot \sin(-\frac{1}{24}\pi+\frac{1}{2}\pi)= -\frac{1}{6}\cdot \sin(\frac{11}{24}\pi)=0.165$Conclusie: De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is $0.165$.We gebruiken een integraal. De ondergrens en bovengrens hebben we bij a berekend: $x=\frac{6}{49}\pi \vee x=\frac{96}{70}\pi$. $g$ ligt boven $f$ dus we trekken $f$ van $g$ af.$O(V)=\int_{\frac{6}{49}\pi}^{\frac{96}{70}\pi} g(x)-f(x) dx$$=\int_{\frac{6}{49}\pi}^{\frac{96}{70}\pi} \sin(x-\frac{1}{7}\pi)- \cos(\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\pi) dx$$=\bigg[-\cos(x-\frac{1}{7}\pi)-6\sin(\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\pi)]_{\frac{6}{49}\pi}^{\frac{96}{70}\pi}$ (primitiveren, houdt rekening met het compenseren van de kettingregel)$=-\cos(\frac{96}{70}\pi-\frac{1}{7}\pi)-6\sin(\frac{1}{6}(\frac{96}{70}\pi )+\frac{1}{2}\pi)-(-\cos(\frac{6}{49}\pi-\frac{1}{7}\pi)-6\sin(\frac{1}{6}(\frac{6}{49}\pi)+\frac{1}{2}\pi))$ (grenzen invullen)$=3.22$