Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 3 - Hoofdstuk 18 - Toepassingen van integreren oefentoetsen & antwoorden

$I(L)=\pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx$Als we wentelen om de y-as kijken we ook vanuit de y-as. Als we vanuit de y-as kijken zou de y-waarde onze onafhankelijke variabele moeten zijn. Daarom moeten we de $x$ waarde uitdrukken in $y$. Werkwijze: We delen het vlakdeel $V$ eerst op in twee delen omdat een deel aan de bovenkant wordt ingesloten door de lijn $y=2$ (I) en een deel aan de bovenkant wordt ingesloten door de functie $f$ (II). Zie de figuur hieronder. Deze oppervlaktes moeten dus los van elkaar berekend worden.Stap 1: Bereken eerst de oppervlakte van vlakdeel $V_1$. Hiervoor moeten we de boven- en ondergrens van het vlakdeel weten. De ondergrens is $x=0$, de bovengrens is het snijpunt van $y=2$ met $f$:$f(x)=2$$\frac{1}{x-1}=2$$2(x-1)=1$ (kruislings vermenigvuldigen)$2x-2=1$$2x=3$$x=\frac{3}{2}$$O(V_1)=\int_{0}^{\frac{3}{2}} 2-1 dx$ ($y=2$ ligt boven $y=1$)$=\bigg[x]_{0}^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}$Of merk op dat $V_1$ een rechthoek is en gebruik $O(V_1)=lengte \cdot breedte=\frac{3}{2}\cdot 1=\frac{3}{2}$Stap 2: Bereken de oppervlakte van vlakdeel $V_2$.Hiervoor moeten we de boven- en ondergrens van het vlakdeel weten. De ondergrens is $x=\frac{3}{2}$, de bovengrens is het snijpunt van $y=1$ met $f$:$f(x)=1$$\frac{1}{x-1}=1$$x-1=1$$x=2$$O(V_2)=\int_{\frac{3}{2}}^{2} f(x)-1 dx$$O(V_2)=\int_{\frac{3}{2}}^{2} \frac{1}{x-1}-1 dx$  ($f(x)$ ligt boven $y=1$)$=\bigg[\ln|x-1|-x]_{\frac{3}{2}}^{2}$ (primitiveren)$=\ln|2-1|-2-(\ln|\frac{3}{2}-1|-\frac{3}{2})$ (grenzen invullen)$=0-2-\ln(\frac{1}{2})+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}-\ln(\frac{1}{2})$Stap 3: Bereken de oppervlakte van $V$ door de oppervlakte vavn $V_1$ en $V_2$ op te tellen.$O(V)=O(V_1)+O(V_2)=\frac{3}{2}+-\frac{1}{2}-\ln(\frac{1}{2})=1-\ln(\frac{1}{2})$Conclusie: $O(V)=1-\ln(\frac{1}{2})$Voor het wentelen om de y-as geldt de formule: $I(L)=\pi \int_{a}^{b} (f^{inv}(x))^2 dy$Stap 1: Stel het functievoorschrift van de inverse op.$y=\frac{1}{x-1}$$y(x-1)=1$$xy-y=1$$xy=1+y$$x=\frac{1+y}{y}$$x=\frac{1}{y}+1$$f^{inv}(x)=\frac{1}{x}+1$Stap 2: Bereken de inhoud.$I(L)=\pi \int_{1}^{2} (\frac{1}{y}+1)^2 dy=\pi \int_{1}^{2} \frac{1}{y^2}+\frac{2}{y}+1 dy=\pi \int_{1}^{2} y^{-2}+\frac{2}{y}+1 dy$$=\pi \bigg[-y^{-1}+2\ln|y|+y]_{4}^{8}$ (primitiveren)$=\pi(-8^{-1}+2\ln|8|+8-(-4^{-1}+2\ln|4|+4))=\pi(-\frac{1}{8}+2\ln(8)+8+\frac{1}{4}-2\ln(4)-4)=4\frac{1}{8}\pi+2\ln(2)\pi$In de laatste stap gebruiken we $\ln(a)-\ln(b)=\ln(\frac{a}{b})$Conclusie: $I(L)=4\frac{1}{8}\pi+2\ln(2)\pi$ Werkwijze: We kunnen een vlakdeel niet wentelen om een andere lijn dan de y-as en de x-as. We moeten de functie dus eerst verschuiven om te zorgen dat hij om de x-as wentelt. Vervolgens gebruiken we voor wentelen om de x-as: $I(L)=\pi \int_{a}^{b} f(x)^2 dx$Stap 1: Schuif de grafiek 4 naar beneden zodat hij om de x-as wentelt. $f(x)=\sqrt{x^2-2x-8}+4-4=\sqrt{x^2-2x-8}$Stap 2: Bereken de inhoud. We hebben eerst de ondergrens nodig, de bovengrens weten we al, deze is $x=8$. Voor de ondergrens zoeken we het snijpunt van $f$ met de x-as. $f(x)=0$$\sqrt{x^2-2x-8}=0$$x^2-2x-8=0$ (kwadrateren)$(x-4)(x+2)=0$$x=4 \vee x=-2$In het plaatje zien we dat we de positieve oplossing nodig hebben, dus $x=4$$I(L)=\pi \int_{4}^{8} f(x)^2 dx=\pi \int_{4}^{8} (\sqrt{x^2-2x-8})^2 dx=\pi \int_{4}^{8} \sqrt{x^2-2x-8} dx$$=\pi(\bigg[\frac{1}{3}x^3-x^2-8x]_{4}^{8}$ (primitiveren)$=\pi(\frac{1}{3}\cdot 8^3-8^2-8\cdot 8-(\frac{1}{3}\cdot 4^3-4^2-8\cdot 4))=\pi(170\frac{2}{3}-64-64-(21\frac{1}{3}-16-32))=69\frac{1}{3}\pi$ Stap 1: Plot eerst de functie en de lijn $y=10$. Je ziet dan dat de lijn $y=10$ voor $x>1$ boven de functie $f$ ligt. Stap 2: Druk de oppervlakte van $V$ uit in $p$. De ondergrens van het oppervlakte kunnen we berekenen door $f$ gelijk te stellen aan $y=10$$\frac{10}{x\sqrt{x}}=10$$10x\sqrt{x}=10$ (kruislings vermenigvuldigen)$x\sqrt{x}=1$$x^{\frac{3}{2}}=1$$x=1^{\frac{2}{3}}=1$$O(V)=\int_{1}^{p} 10-f(x) dx=\int_{1}^{p} 10-\frac{10}{x\sqrt{x}} dx$ ($y=10$ ligt boven $f$)$=\int_{1}^{p} 10-10x^{\frac{3}{2}} dx$ (herschrijf de wortel zodat je kunt primitiveren)$=\bigg[10x-\frac{2}{5}\cdot 10x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{p}$ (primitiveren)$=\bigg[10x-4x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{p}$$=10p-4p^{\frac{5}{2}}-(10\cdot 1-4\cdot 1^{\frac{5}{2}})$$=10p-4p^{\frac{5}{2}}-6$Stap 3: Los op $O(V)=20$$10p-4p^{\frac{5}{2}}-6=20$$y_1=10p-4p^{\frac{5}{2}}-6$$y_2=20$Optie snijpunt geeft $p=4$ Stap 1: Het vlakdeel $V$ wordt aan de bovenkant begrensd door $g$, aan de onderkant door $f$. De y-as geeft als ondergrens $x=0$, voor de bovengrens stellen we $f$ gelijk aan $g$. $e^{\frac{1}{2}x-1}=2e-e^{\frac{1}{2}x-1}$$2e^{\frac{1}{2}x-1}=2e$$e^{\frac{1}{2}x-1}=e$$\frac{1}{2}x-1=1$$\frac{1}{2}x=2$$x=4$Stap 2: Bereken de inhoud van $I(L)$$=\pi \int_{0}^{4} (g(x))^2-(f(x))^2 dx$ ($g$ ligt boven $f$)$=\pi \int_{0}^{4} (2e-e^{\frac{1}{2}x-1})^2-(e^{\frac{1}{2}x-1})^2 dx$$=\pi \int_{0}^{4} 4e^2-4e^{\frac{1}{2}x}+e^{x-2}-e^{x-2} dx$$=\pi \int_{0}^{4} 4e^2-4e^{\frac{1}{2}x} dx$$=\pi(\bigg[4e^2x-8e^{\frac{1}{2}x}]_{0}^{4})$ (primitiveren)$=\pi(4e^2\cdot 4-8e^{\frac{1}{2}\cdot 4}-(4e^2\cdot 0-8e^{\frac{1}{2}\cdot 0}))$$=\pi(16e^2-8e^2+8e^0)$$=8e^2\pi+8\pi$Conclusie: $I(L)=8e^2\pi+8\pi$