Moderne Wiskunde A 12e ed/FLEX deel 3 - Hoofdstuk 14 - Formules herleiden oefentoetsen & antwoorden

Gelijkwaardige functies zijn dezelfde functies die anders genoteerd zijn. Als twee functies gelijkwaardig zijn, zijn ze zo te herleiden dat ze allebei hetzelfde genoteerd zijn. Bijvoorbeeld $x+y=4$ en $2x+2y=8$. Als je beide tweede functies links en rechts deelt door 2 is het de eerste functie, deze functies zijn dus eigenlijk hetzelfde. Als we kkk willen uitdrukken in ttt moeten we uit functie A mmm wegwerken. We gebruiken functie B om mmm te substitueren voor iets dat afhangt van ttt. Maak mmm vrij uit functie B.t=8m−40t=8m-40t=8m−408m−40=t8m-40=t8m−40=t (draai beide leden om)8m=t+408m=t+408m=t+40 (40 naar rechts)m=18t+5m=\frac{1}{8}t+5m=81​t+5 (delen door 8)Substitueer mmm in formule A.k+8m=−20k+8m=-20k+8m=−20 met m=18t+5m=\frac{1}{8}t+5m=81​t+5k+8(18t+5)=−20k+8(\frac{1}{8}t+5)=-20k+8(81​t+5)=−20 (substitueer, denk aan haakjes!)k+t+40=−20k+t+40=-20k+t+40=−20 (werk de haakjes uit)k+t=−60k+t=-60k+t=−60 (40 naar rechts)k=−60−tk=-60-tk=−60−t (ttt naar rechts)Conclusie: k=−60−tk=-60-tk=−60−tMaak yyy vrij bij x=16y+2x=\frac{1}{6}y+2x=61​y+2 of xxx bij y=3(2x−6)y=3(2x-6)y=3(2x−6).We kiezen om yyy vrij te maken in x=16y+2x=\frac{1}{6}y+2x=61​y+2  x−2=16yx-2=\frac{1}{6}yx−2=61​y (2 naar de andere kant)6x−12=y6x-12=y6x−12=y (vermenigvuldigen met 6)3(2x−6)=y3(2x-6)=y3(2x−4)=y (3 buiten haakjes halen)Conclusie: Deze twee formules zijn gelijkwaardig. Maak rrr vrij bij q=4(r−7)q=4(r-7)q=4(r−7) of qqq bij r=14q+28 r=\frac{1}{4}q+28r=41​q+28.We kiezen om rrr vrij te maken in q=4(r−7)q=4(r-7)q=4(r−7)q=4(r−7)q=4(r-7)q=4(r−7)q=4r−28q=4r-28q=4r−28 (haakjes wegwerken)q+28=4rq+28=4rq+28=4r (28 naar links)14q+7=r\frac{1}{4}q+7=r41​q+7=r (delen door 4)Conclusie: Deze twee formules zijn NIET gelijkwaardig. $\frac{5}{y-2}=\frac{9}{6x+7}$$5(6x+7)=9(y-2)$ (kruislings vermenigvuldigen)$30x+35=9y-18$ (haakjes uitwerken)$30x=9y-18-35$ (beide leden -35)$30x=9y-53$$x=\frac{9y-53}{30}$ (beide leden delen door 30)$y=3\cdot \sqrt{\frac{1}{3}x-8}$$\frac{1}{3}y=\sqrt{\frac{1}{3}x-8}$ (beide kanten delen door 3)$(\frac{1}{3}y)^2=(\sqrt{\frac{1}{3}x-8})^2$ (kwadrateren)$(\frac{1}{3}y)^2=\frac{1}{3}x-8$ (door het kwadraat valt de wortel weg)$(\frac{1}{3})^2y^2=\frac{1}{3}x-8$ (gebruik $(ab)^2=a^2b^2$)$\frac{1}{9}y^2=\frac{1}{3}x-8$$\frac{1}{3}x-8=\frac{1}{9}y^2$ (draai de leden om)$\frac{1}{3}x=\frac{1}{9}y^2+8$ (beide leden +8)$x=\frac{3}{9}y^2+24$ (vermenigvuldig met 3)$x=\frac{1}{3}y^2+24$ $m=\sqrt{6.25B}$$m=\sqrt{6.25\cdot B}$ (als een getal en een letter vast aan elkaar staan staat er eigenlijk een keer tussen)$m=\sqrt{6.25}\cdot \sqrt{B}$ (gebruik $\sqrt{A\cdot B}=\sqrt{A}\cdot \sqrt{B}$$m=2.5\sqrt{B}$ ($\sqrt{6.25}=2.5$)$Z=\sqrt{\frac{n}{0.64}}$$Z=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{0.64}}$ (gebruik $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$)$Z=\frac{\sqrt{n}}{0.8}$ ($\sqrt{0.64}=0.8$)$Z=1.25\sqrt{n}$ ($\frac{1}{0.8}=1.25$)$w=(2z^3)^9\cdot z^4$$w=2^9(z^3)^9\cdot z^4$ (gebruik $(ab)^p=a^pb^p$)$w=512z^{27}\cdot z^4$ (gebruik $(a^q)^p=a^{q\cdot p}$)$w=512z^{27+4}$ (gebruik $a^p\cdot a^q=a^{p+q}$)$w=512z^{31}$$x=(\frac{y}{5.2})^{1.3}$$x=\frac{y^{1.3}}{5.2^{1.3}}$ (gebruik $(\frac{a}{b})^{p}=\frac{a^p}{b^p}$)$x=\frac{y^{1.3}}{8.527…}$ (rond niet af!)$x=0.117y^{1.3}$ ($\frac{1}{8.527…}=0.117$, nu kun je wel afronden) We moeten een functie $p$ krijgen die afhangt van $r$. De $u$ uit de eerste functie moet dus weg. Vul op de plek van $u$ in de eerste functie $u=7r+1$ in. $p=2(7r+1)^2+4(7r+1)-9$$p=2(7r+1)(7r+1)+4(7r+1)-9$$p=2(49r^2+7r+7r+1)+28r+4-9$$p=2(49r^2+14r+1)+28r-5$$p=2(49r^2+14r+1)+28r-5$$p=98r^2+28r+2+28r-5$$p=98r^2+54r-3$De winst is de omzet min de kosten. Dus $W=O-K$.$W=6q+15-(2q+300)$ (let op de haakjes!)$W=6q+15-2q-300$ (haakjes uitwerken)$W=4q-285$ Fleur heeft een tafelmodel koelkast, dus $P=185$ en $V=84$. Haar koelkast ging 12 jaar mee, dus $t=12$. Vul deze waarden in.$K(12)=\frac{185+84\cdot 12}{12}=99.42$ euroHaar jaarlijkse kosten zijn €$99.42$. In de formule voor een Amerikaanse koelkast is $P=700$ en $V=235$. Dus $K(t)=\frac{700+235\cdot t}{t}$. We vragen ons af wat $t$ moet zijn om $K$ onder de 300 te krijgen. Oftewel $K<300$. Hiervoor gebruiken we onze GR.$y_1=\frac{700+235\cdot t}{t}$$y_2=300$$t$ kan alleen positief zijn, je kunt je koelkast niet -3 jaar hebben. Dus zet je venster voor $x$ van 0 tot bijvoorbeeld 20. Voor je keuze voor de y-as houd je er rekening mee dat de lijn $y=300$ zichtbaar moet zijn. Dus bijvoorbeeld van 250 tot 500. De optie snijpunt geeft: $x=10.769$Je moet de koelkast dus in iedergeval 11 jaar hebben om de jaarlijkse kosten kleiner te krijgen dan 300.We weten in dit geval dat $t=25$ en $V=800$. Dit geeft $K(25)=\frac{P+800\cdot 25}{25}$ Oftewel $K=\frac{P+20000}{25}$Druk nu $P$ uit in $K$.$K=\frac{P+20000}{25}$$\frac{K}{1}=\frac{P+20000}{25}$ (schrijf het linkerlid als een breuk)$25K=P+20000$ (kruislings vermenigvuldigen)$P+20000=25K$ (draai de leden om)$P=25K-20000$ (beide kanten -20000)Als je er bij c uit bent gekomen is het het makkelijkst om je formule voor de prijs van c te gebruiken. Je kunt dan je maximale jaarlijkse kosten invullen.$P=25\cdot 1000-20000=25000-20000=5000 euro$Als je er niet uit bent gekomen bij c kun je deze vraag ook beantwoorden door alle gegevens in te vullen in je originele formule. We weten $t=25$, $V=800$ en $K=1000$. $1000=\frac{P+20000}{25}$ (deze vergelijking kun je ook oplossen met optie snijpunt op je GR, hieronder lees je hoe je deze handmatig oplost)$\frac{1000}{1}=\frac{P+20000}{25}$ (schrijf links als breuk)$25000=P+20000$ (kruislings vermenigvuldigen)$25000-20000=P$ (beide kanten -20000)$5000=P$Conclusie: De koelkast die de caféhouder koopt mag maximaal €5000,- kosten. $t(v)=\sqrt{\frac{v}{16}}$$t(v)=\frac{\sqrt{v}}{\sqrt{16}}$ (gebruik $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$)$t(v)=\frac{\sqrt{v}}{4}$ ($\sqrt{16}=4$)$t(v)=0.25\sqrt{v}$ ($\frac{1}{4}=0.25$)$t(225)=0.25\sqrt{225}=3.75$ seconden$t=0.25\sqrt{v}$ $t=\frac{1}{4}\sqrt{v}$$4t=\sqrt{v}$ (vermenigvuldig beide leden met 4, je had ook de stap naar de breuk kunnen overslaan en beide leden kunnen delen door 0.25. Dat is hetzelfde)$(4t)^2=v$ (kwadrateren, de wortel valt weg)$16t^2=v$ (gebruik $(ab)^p=a^pb^p$)$v=16t^2$Vul 3 in voor $t$. $v=16\cdot 3^2=144$ voetOf, als c niet is gelukt: $3=0.25\sqrt{v}$$12=\sqrt{v}$$v=144$ (kwadrateren)Conclusie: Je moet het object van een hoogte van 144 voet laten vallen.$t(v)=(\frac{v}{16})^{\frac{1}{2}}$$t(v) = \frac{v^{\frac{1}{2}}}{16^{\frac{1}{2}}}$ (gebruik $(\frac{a}{b})^{p}=\frac{a^p}{b^p}$)$t(v)=\frac{v^{\frac{1}{2}}}{4}$$t(v)=0.25v^{\frac{1}{2}}$ ($\frac{1}{4}=0.25$)$t(v)=0.25v^{\frac{1}{2}}$ en $v=0.3048\cdot m$$t(v)=0.25(0.3048\cdot m )^{\frac{1}{2}}$ (vul op de plek van $v$ tussen haakjes $0.3048\cdot m$ in)$t(v)=0.25(0.3048)^{\frac{1}{2}}\cdot m^{\frac{1}{2}}$ (gebruik $(ab)^p=a^pb^p$)$t(v)=0.25\cdot 0.552… \cdot m^{\frac{1}{2}}$ ($(0.3048)^{\frac{1}{2}}=0.552…$, rond niet tussendoor af!)$t(v)=0.138m^{\frac{1}{2}}$