Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 3 - Hoofdstuk 12 - Goniometrische functies oefentoetsen & antwoorden

De oplossing van deze vergelijking is $x=\frac{5}{6}\pi \vee x=1\frac{1}{6}\pi$. Deze oplossing volgt uit puntsymmetrie in $(\frac{1}{2}\pi, 0)$. Stap 1: We kunnen de y-coördinaten van het hoogste en het laagste punt aflezen. Namelijk $y=1$ (hoogste) en $y=-3$ (laagste). Hiermee kunnen we de evenwichtsstand en amplitude berekenen. Evenwichtsstand: $d=\frac{1+-3}{2}=-1$De evenwichtsstand ligt precies midden het hoogste en het laagste punt, door deze op te tellen en te delen door twee vinden we dit midden. Amplitude: Manier 1: $a=\frac{1--3}{2}=2$ of manier 2: $1--1=2$De amplitude is de afstand van het hoogste tot het laagste punt delen door twee. (manier 1)De amplitude is de afstand van de evenwichtsstand tot het hoogste/laagste punt. Daarom trekken we de evenwichtsstand van het hoogste punt af. (manier 2)Stap 2: We hebben de x-coördinaten van het hoogste punt en het punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat. Namelijk $x=\frac{1}{2}\pi$ (hoogste) en $x=\pi$ (laagste) Hiermee kunnen we de periode berekenen.Periode: $\pi-\frac{1}{2}\pi=\frac{1}{2}\pi$ is driekwart periode. Dus de periode is $\frac{1}{2}\pi :3\cdot 4=\frac{2}{3}\pi$ $b=\frac{2\pi}{periode}=\frac{2\pi}{\frac{2}{3}\pi}=3$.Omdat één periode pas voorbij is wanneer we terug zijn op de hoogte waar we zijn gestart, zijn we als we van het hoogste ($x=\frac{1}{2}\pi$) naar het punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat ($x=\pi$) zijn gegaan nog maar op driekwart periode.Door eerst te berekenen hoeveel driekwart periode is en dit te delen door 3 (leidt tot één kwart) en vervolgens te vermenigvuldigen met vier krijgen we de lengte van een hele periode. Tot slot wordt de formule voor het berekenen van $b=\frac{2\pi}{periode}$ gebruikt.Stap 3: De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand in $x=\pi$ dus $c=\pi$ voor de sinusoïde. De grafiek is op het hoogste punt in $x=\frac{1}{2}\pi$ dus $c=\frac{1}{2}\pi$ voor een cosinusoïde. Conclusie: $y=-1+2\sin(3(x-\pi)$ en $y=-1+2\cos(3(x-\frac{1}{2}\pi)$ Herschrijf de formule eerst naar de vorm $\cos(x)=…$$2\cos(x)=-1$ (1 naar de andere kant)$\cos(x)=-\frac{1}{2}$ (delen door 2)Bepaal de oplossing met behulp van symmetrie.$\cos(x)=\frac{1}{2}$ geeft $x=\frac{1}{3}\pi$ en $x=1\frac{2}{3}\pi$Symmetrie geeft $\cos(x)=-\frac{1}{2}\pi$ geeft $x=\frac{2}{3}\pi$ en $x=1\frac{1}{3}\pi$Bepaal de oplossingen in het interval. Steeds $2\pi$ verder ligt de volgende oplossing dus de oplossingen zijn $x=3\frac{1}{3}\pi \vee x=4\frac{2}{3}\pi$$x=\frac{1}{4}\pi+k\cdot 2\pi \vee x=\frac{3}{4}\pi+k\cdot 2\pi$We hebben geen interval gekregen dus bovenstaande oplossingen zijn alle oplossingen.Isoleer eerst $\sin(..)$$-2\sin(4x-\pi)=\sqrt{3}$ $\sin(4x-\pi)=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$ (delen door -2)$4x-\pi=1\frac{1}{3}\pi+k\cdot 2\pi \vee 4x-\pi=1\frac{2}{3}\pi+k\cdot 2\pi$$4x=2\frac{1}{3}\pi+k\cdot 2\pi \vee 4x=3\frac{2}{3}\pi+k\cdot 2\pi$ ($-\pi$ naar de andere kant)$x=\frac{7}{12}\pi+k\cdot \frac{1}{2}\pi \vee x=\frac{11}{12}\pi+k\cdot \frac{1}{2}\pi$ (delen door 4)Bepaal de oplossingen door verschillende waarden voor $k$ in te vullen.De oplossingen op het interval zijn $x=-\frac{5}{12}\pi \vee x=\frac{1}{12}\pi \vee x=\frac{7}{12}\pi \vee x=\frac{5}{12}\pi \vee x=\frac{11}{12}\pi$Isoleer eerst $\cos(..)$$6\cos(\frac{1}{5}\pi(x-2))=-3\sqrt{3}$ ($4\sqrt{3}$ naar de andere kant)$\cos(\frac{1}{5}\pi(x-2))=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$ (delen door 6)$\frac{1}{5}\pi(x-2)=\frac{5}{6}\pi+k\cdot 2\pi \vee \frac{1}{5}\pi(x-2)=1\frac{1}{6}\pi+k\cdot 2\pi$$\frac{1}{5}\pi x-\frac{2}{5}\pi=\frac{5}{6}\pi+k\cdot 2\pi \vee \frac{1}{5}\pi x-\frac{2}{5}\pi =1\frac{1}{6}\pi+k\cdot 2\pi$ (haakjes uitwerken)$\frac{1}{5}\pi x=\frac{37}{30}\pi+k\cdot 2\pi \vee \frac{1}{5}\pi x =\frac{47}{30}\pi+k\cdot 2\pi$ ($-\frac{2}{5}\pi$ naar de andere kant)$x=6\frac{1}{6}+k\cdot 10 \vee x =7\frac{1}{6}\pi+k\cdot 10$ (delen door $\frac{1}{5}\pi$)We hebben nu geen interval gekregen dus we geven alle oplossingen, oftewel $x=6\frac{1}{6}+k\cdot 10 \vee x =7\frac{1}{6}\pi+k\cdot 10$$5\sin(2\pi x)(\cos(\pi(x-\frac{1}{2}))-\frac{1}{2}\sqrt{2})=0$Dit is een vergelijking van de vorm $A\cdot B=0$ dus $A=0 \vee B=0$ geeft de oplossingen.$5\sin(2\pi x)=0 \vee \cos(\pi(x-\frac{1}{2}))-\frac{1}{2}\sqrt{2}=0$$\sin(2\pi x)=0$ (delen door 5) $\vee \cos(\pi(x-\frac{1}{2}))=\frac{1}{2}\sqrt{2}$ ($-frac{1}{2}\sqrt{2}$ naar de andere kant)$2\pi x=k\cdot \pi \vee \pi(x-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}\pi+k\cdot 2\pi \vee \pi(x-\frac{1}{2})=1\frac{3}{4}\pi+k\cdot 2\pi$$x=k\cdot \frac{1}{2}$ (delen door $2\pi$) $\vee x-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+k\cdot 2 \vee x-\frac{1}{2}=1\frac{3}{4}+k\cdot 2$ (delen door $\pi$, dit mag alleen eerst omdat er haakjes staan, anders had je eerst moeten optellen/aftrekken)$x=k\cdot \frac{1}{2} \vee x=\frac{3}{4}+k\cdot 2 \vee x=2\frac{1}{4}+k\cdot 2$ ($-\frac{1}{2}$ naar de andere kant)Binnen het interval $[-1, 1]$ zijn de oplossingen: $x=-1 \vee x=-\frac{1}{2} \vee x=0 \vee x=\frac{1}{2} \vee x=\frac{3}{4} \vee x=\frac{1}{4}$ Stap 1: Los eerst de vergelijking $f(x)=1$ op.$2+2\sin(2x-\frac{1}{6}\pi)=1$$2\sin(2x-\frac{1}{6}\pi)=-1$ (2 naar de andere kant)$\sin(2x-\frac{1}{6}\pi)=-\frac{1}{2}$ (delen door 2)$2x-\frac{1}{6}\pi=1\frac{1}{6}\pi+k\cdot 2\pi \vee 2x-\frac{1}{6}\pi=1\frac{5}{6}\pi+k\cdot 2\pi$$2x=1\frac{1}{3}\pi+k\cdot 2\pi \vee 2x=2\pi+k\cdot 2\pi$ ($-\frac{1}{6}\pi$ naar de andere kant)$x=\frac{2}{3}\pi+k\cdot \pi \vee x=\pi+k\cdot \pi$ (delen door 2)Binnen het interval $[-\frac{1}{2}\pi, \pi]$ zijn de oplossingen:$x=-\frac{1}{3}\pi \vee x=0 \vee x=\frac{2}{3}\pi \vee x=\pi$Stap 2: Bekijk in de GR de oplossing, controleer ook of de oplossingen uit stap 1 kloppen in de grafiek, anders heb je misschien een fout gemaakt. We zien dat vanaf $x=-\frac{1}{3}\pi$ tot $x=0$ de grafiek $f$ onder $y=1$ ligt. Vervolgens ligt de grafiek vanaf $x=\frac{2}{3}\pi$ tot $x=\pi$ onder $y=1$.Conclusie: $f(x)<1$ voor $-\frac{1}{3}\pi<x<0 \vee \frac{2}{3}\pi<x<\pi$ In de tekst staat dat de zandbank dus droog ligt als deze niet geheel onder water ligt. De hoogte van de zandbank is 40 cm. Als de waterhoogte dus lager is dan 40 cm ligt de zandbank (gedeeltelijk) droog. We lossen op $h<40$, los eerst de gelijkheid op.$125\cdot \cos(\frac{2\pi}{745})=40$Er staat niet bereken exact of bereken algebraïsch, we mogen dus de GR gebruiken.$y_1=125\cdot \cos(\frac{2\pi}{745})$$y_2=40$Optie snijpunt geeft: $t_1=147.6$ en $t_2=597.4$In de figuur zien we dat de zandbank (gedeeltelijk) droog ligt tussen $t_1$ en $t_2$. De droogligtijd is dus $597.4-147.6=450$De zandbank ligt 450 minuten (gedeeltelijk) droog.