Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 3 - Hoofdstuk 13 - Cirkels oefentoetsen & antwoorden

De standaardformule van een middelpuntsvergelijking is $(x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$ waarbij $x_M$ de x-coördinaat van het middelpunt is en $y_M$ de y-coördinaat van het middelpunt. In dit geval is dus $x_M=-2$ en $y_M=3$ geeft $(-2,3)$ $r^2=5$ dus $r=\sqrt{5}$ We gaan kwadraat afsplitsen.$x^2+4x+y^2+2y+1=0$$(x+2)^2-4+(y+1)^2-1+1=0$Om het kwadraat af te splitsen kijken we eerst naar de term voor de losse $x$, voor $4x$ dus, dit is $4$, deze delen we door $2$, dit is $2$. Vervolgens schrijven we $(x+2)^2$. Als we nu de papegaaienbekmethode toepassen krijgen we $(x+2)^2=x^2+4x+4$ Terwijl we alleen $x^2+4x$ in onze originele formule hebben staan. Daarom trekken we er nog $4$ af en wordt het $(x+2)^2-4$. Hetzelfde doen we voor $y^2+2y$. We nemen het getal voor de losse $y$, $2$ dus, delen deze door $2$, maakt $1$. Dit geeft ons $(y+1)^2$, we rekenen nu $+1$ teveel en trekken dit er weer af geeft $(y+1)^2-1$.$(x+2)^2+(y+1)^2=4$Het middelpunt is $M(-2, -1)$ en de straal is $r=\sqrt{4}=2$.Bereken eerst de afstand tussen het punt $P$ en het middelpunt van de cirkel. Is deze afstand groter dan de straal, dan ligt punt $P$ buiten de cirkel. Is de afstand kleiner dan de straal, dan ligt punt $P$ binnen de cirkel.$d(P,M)=\sqrt{(-1- -2)^2+(-3- -1)^2}=\sqrt{5}$ De straal van de cirkel is 2: $\sqrt{5}>2$ dus het punt ligt buiten de cirkel. De lijn met de kortste afstand van de cirkel naar de lijn staat loodrecht op lijn $l$ en gaat door het middelpunt van de cirkel. Stap 1: Stel loodlijn $k$ op.De richtingscoëfficiënt van de lijn $k$ loodrecht op lijn $l$ krijgen we door gebruik te maken van de eigenschap $rc_l\cdot rc_k=-1$ voor lijnen die loodrecht op elkaar staan.$-\frac{1}{3}\cdot rc_k=-1$$rc_k=3$ Dus $k: y=3x+b$Door het middelpunt van de cirkel in te vullen verkrijgen we $b$:$-1=3\cdot -2 +b$$5=b$$k: y=3x+5$Stap 2: Bereken de coördinaten van lijn $l$ en zijn loodlijn $k$. $3x+5=-\frac{1}{3}x+1\frac{2}{3}$$3\frac{1}{3}x=-3\frac{1}{3}$$x=-1$$3\cdot -1+5=2$Het punt $Q(-1, 2)$ is nu het punt op de lijn $l$ die het dichtst bij de cirkel $c$ ligt.Stap 3: Om de afstand tussen $c$ en $l$ te berekenen, berekenen we eerst de afstand tussen het middelpunt van de cirkel en het punt $Q(-1,2)$$d(Q,M)=\sqrt{(-1- -2)^2+(2- -1)^2}=\sqrt{10}$ Stap 4: Vervolgens trekken we de straal van de afstand tussen het middelpunt en het punt op de lijn af en hebben we de afstand tussen de cirkel en de lijn. $d(l,c)=\sqrt{10}-2$ Werkwijze: Maak een schets van de situatie en bereken de richtingscoëfficiënten. Bereken vervolgens de grootte van de hoeken.Stap 1: Stap 2: Bereken $\angle A$.Hoek $A$ is de hoek tussen lijn $k$ en lijn $l$, we berekenen dus eigenlijk de hoek tussen deze twee lijnen. Hiervoor hebben we beide richtingscoëfficiënten nodig. $rc_k=3$ deze lezen we af uit de formule. Voor de richtingscoëfficiënt van lijn $l$ herschrijven we eerst de functie tot de vorm $y=ax+b$. $l: y=-2x+4$ dus $rc_l=-2$Bereken van beide lijnen de richtingshoek.$k: $\tan(\angle \alpha)=3$$\angle \alpha=\tan^{-1}(3)=71.565\degree$$l: \tan(\angle \beta)=-2$$\angle \beta=\tan^{-1}(-2)=-63.435\degree$Trek de kleinste richtingshoek van de grootste af: $71.565- -63.435=135\degree$In het plaatje zien we nu dat we de verkeerde hoek tussen lijn $k$ en $l$ hebben berekend, dus $\angle A=180-135=45\degree$Stap 3: Bereken hoek $B$. Om hoek $B$ te berekenen moeten we meer weten over de lijn tussen $B$ en $C$. We berekenen de richtingscoëfficiënt van deze lijn.$rc=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-2- -4}{3- -1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$Hoek $B$ is de hoek tussen lijn $l$ en het lijnstuk $BC$. De richtingshoek van lijnstuk $BC$ is:$tan(\angle \alpha)=\frac{1}{2}$$\angle \alpha=tan^{-1}(\frac{1}{2})=26.565\degree$De richtingshoek van lijn $l$ is:$tan(\angle \beta)=-2$$\angle \beta=tan^{-1}(-2)=-63.435\degree$$\angle B=\angle(k, BC)=26.565- -63.435=90\degree$Stap 3: Als we twee hoeken weten van een driehoek kunnen we de derde hoek berekenen met behulp van de hoekensom van de driehoek.$\angle C=180-90-45=45\degree$Omdat hoek $B$ $90\degree$ is hoeven we niet de lijn loodrecht op lijn $l$ door $C$ op te stellen, BC staat namelijk al loodrecht op lijn $l$. We kunnen dus simpelweg de afstand tussen de twee punten berekenen.$d(C,B)=\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}=\sqrt{(3- -1)^2+(-2- -4)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$We tekenen eerst de bissectrices. We gaan verder rekenen binnen driehoek $\triangle BCM$ omdat we van deze driehoek ook al zijde $BC$ weten. Stap 1: Bereken binnen driehoek $\triangle BCM$ $\angle C_2$, $\angle M$ en $\angle B_1$. $\angle C_2=45:2=22.5\degree$ (bissectrice snijdt een hoek middendoor)$\angle B_1=90:2=45\degree$$\angle M=180-22.5-45=112.5 \degree$ (hoekensom driehoek)Stap 2: We weten ook de lengte van zijde $BC$, met de sinusregel kunnen we binnen driehoek $\triangle BCM$ ook zijde $CM$ berekenen.$\frac{a}{\sin(\angle \alpha)}=\frac{b}{\sin(\angle \beta)}=\frac{c}{\sin(\angle \gamma)}$$\frac{BM}{\sin(\angle C_2)}=\frac{CM}{\sin(\angle B_1)}=\frac{BC}{\sin(\angle M)}$$\frac{BM}{\sin(22,5)}=\frac{CM}{\sin(45)}=\frac{2\sqrt{5}}{\sin(112.5)}$$CM=\frac{2\sqrt{5}\cdot \sin(45)}{\sin(112.5)}=3.4228$ Stap 3: Bereken de straal van de cirkel.We hebben vanuit $M$ loodrecht op $BC$ een lijn getekend. Dit is tevens de straal van de ingeschreven cirkel, aangezien de zijden van de driehoek de ingeschreven cirkel raken. Aangezien de nieuwe driehoek die ontstaan is een rechthoekige driehoek is kunnen we soscastoa gebruiken om de straal te berekenen. We weten $\angle C_2=22.5\degree$ en $CM=3.4228$, dit is de schuine zijde van de driehoek. Ten opzichte van hoek $\angle C_2$  is de straal van de cirkel de overstaande zijde. We gebruiken dus sos, $\sin(\angle C_2)=\frac{r}{CM}$$\sin(22.5)=\frac{r}{3.4228}$$r=\sin(22.5)\cdot 3.4228=1.3$De straal van de cirkel is $r=1.3$ Tip: maak een schets! Zie hieronder.Omdat de straal van de cirkels 4 is en de cirkels de x-as raken moeten de y-waarden van de cirkels wel $y=4$ en $y=-4$ zijn.Met behulp van lijn $k$ kunnen we nu de coördinaten van de middelpunten vinden:$y=-4$$x+2\cdot-4=6$$x-8=6$$x=14$$M_1(14,-4)$$c_1: (x-14)^2+(y+4)^2=16$$y=4$$x+2\cdot4=6$$x+8=6$$x=-2$$M_2(-2,4)$$c_2: (x+2)^2+(y-4)^2=16$Conclusie: $c_1: (x-14)^2+(y+4)^2=16$ en $c_2: (x+2)^2+(y-4)^2=16$$c_1: (x-14)^2+(y+4)^2=16$ en $c_2: (x+2)^2+(y-4)^2=16$We berekenen eerst de afstand tussen de twee middelpunten, de afstand tussen de cirkels is gelijk aan $d(M_1,M_2)-r_1-r_2$ oftewel de afstand tussen de twee middelpunten min de straal van beide cirkels.De middelpunten zijn $M_1(14, -4)$ en $M_2(-2, 4)$.$d(M_1,M_2)=\sqrt{(14- -2)^2 +(-4-4)^2}=\sqrt{320}=\sqrt{64}\cdot \sqrt{5}=8\sqrt{5}$De straal van beide cirkels is 4.$d(c_1,c_2)=8\sqrt{5}-4-4=8\sqrt{5}-8$ Werkwijze: Eerst stellen we de middelpuntsvergelijking van $c$ op. Vervolgens substituteren we lijn $m$ in de middelpuntsvergelijking om na te gaan wanneer de lijn de cirkel raakt. Stap 1: We stellen de cirkervergelijking van $c$ op.Het middelpunt is $M(6,3)$.De straal is de afstand van $M$ tot $A$: $r=d(M,A)=\sqrt{(10-6)^2+(3-3)^2}=\sqrt{(4)^2+(0)^2}=\sqrt{16}=4$. $c: (x-6)^2+(y-3)^2=16$Stap 2: Stel lijn $m$ op. Lijn dus $m: y=ax+b$ Aangezien lijn $m$ door het punt $C(0,7)$ gaat en dit het snijpunt met de y-as is ($x=0$), weten we dat $b=7$. Geeft $y=ax+7$.Stap 3: Substitueer $m$ in $c$. De lijn raakt de cirkel dus het punt $(x, ax+7)$ ligt op de cirkel. Vul dit punt in in de cirkel.$(x-6)^2+(ax+7-3)^2=16$$(x-6)^2+(ax+4)^2=16$$x^2-12x+36+a^2x^2+8ax+16-16=0$ (haakjes uitwerken)$(a^2+1)x^2+(8a-12)x+36=0$Stap 4: Gebruik de discriminant om de juiste waarde voor $a$ te vinden.Een raaklijn en een cirkel hebben altijd maar één snijpunt (het raakpunt) dus de discriminant van deze vergelijking moet gelijk zijn aan $0$. Als de discriminant gelijk is aan nul hebben we namelijk één oplossing. $D=0$ geeft $(8a-12)^2-4\cdot (a^2+1)\cdot 36=0$$(8a-12)^2-4\cdot (a^2+1)\cdot 36=0$$64a^2-192a+144-(4a^2+4)\cdot 36=0$$64a^2-192a+144-144a^2-144=0$$-80a^2-192a=0$ (delen door -16)$5a^2+12a=0$$a(5a+12)=0$$a=0 \vee 5a+12=0$$a=0 \vee 5a=-12$$a=0 \vee a=-\frac{12}{5}$De raaklijn is niet horizontaal (zie afbeelding) dus moet $a=-\frac{12}{5}$ wel de oplossing zijn die we zoeken.$m: y=-\frac{12}{5}x+7$