Moderne Wiskunde A 12e ed/FLEX deel 4 - Hoofdstuk 18 - Periodieke functies oefentoetsen & antwoorden

Bij een functie $y=a\cdot \sin(bx)$ is $a$ de amplitude. Als $a$ negatief is laten we de – weg voor het benoemen van de amplitude. De amplitude is in dit geval dus $\frac{3}{4}$. De amplitude is 1. De – valt weg omdat $a$ negatief is (zie opgave a). Het getal voor de $x$ noemen we $b$, hiermee berekenen we de periode. $b=\frac{2}{3}$. $periode=\frac{2\pi}{b}=\frac{2\pi}{\frac{2}{3}}=3\pi$ Dit is een minimum. Dit zien we aan de y-coördinaat. Bij $y=-1$ hebben we te maken met een minimum, bij $y=1$ met een maximum. Alle toppen van een sinusoïde liggen bij $\frac{1}{2}\pi$ + of – een geheel getal. Vul de x-coördinaat in in de functie om te kijken of er inderdaad -1 uit komt en het punt dus op de grafiek ligt. $f(-2\frac{1}{2}\pi)=\sin(-2\frac{1}{2}\pi)=-1$, dus hij ligt op de grafiek.$y=0$ dus dit zou een snijpunt met de x-as moeten zijn. De snijpunten met de x-as liggen echter bij veelvouden van $\pi$ bijv. $\pi, 2\pi, 3\pi, -4\pi$. Dit punt ligt dus niet op de grafiek. Vul $x=-\frac{1}{2}\pi$ in om dit te controleren. $f(-\frac{1}{2}\pi)=\sin(-\frac{1}{2}\pi)=-1$. Dus ons vermoeden klopt. Dit is een snijpunt met de x-as. Dit zien we aan de y-coördinaat die nul is en het veelvoud van $\pi$. Vul $x=533\pi$ in om het te controleren. $f(533\pi)=\sin(533\pi)=0$, dit klopt.De y-coördinaat doet denken dat dit een maximum is. De maxima van een sinusoïde liggen echter langs de positieve x-as bij een even getal $+\pi$. 11 is oneven. Controleer voor de zekerheid: $f(11\frac{1}{2}\pi)=\sin(11\frac{1}{2}\pi)=-1$. Dit punt ligt dus niet op de grafiek. We gebruiken $y=d+\sin(x-c)$ waarbij $d$ de evenwichtsstand is en $(c,d)$ het beginpunt van de grafiek. In het beginpunt gaat de grafiek stijgend door de evenwichtsstand.$d=-4$ dus de evenwichtsstand is $y=-4$. $c=-7$ (let op, als er een + voor de $c$ staat is je eigenlijke $c$ negatief) dus het beginpunt is $(-7,-4)$. Elke periode verder gaat de grafiek weer stijgend door de evenwichtsstand. We hebben hier geen waarde $b$ voor de $x$. Dus de periode is gewoon $2\pi$. Drie punten waarin de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat zijn $(-7, -4)$, $(-7+2\pi, -4)$ en $(-7+4\pi, -4)$. Allereerst valt ons op dat de amplitude hier negatief is. In het beginpunt gaat de grafiek dus niet stijgend, maar dalend door de evenwichtsstand. $d=2$ dus de evenwichtsstand is $y=2$. $c=-\frac{1}{2}\pi$ (let op, als er een + voor de $c$ staat is je eigenlijke $c$ negatief) dus het beginpunt is $(-\frac{1}{2}\pi,2)$. Hier gaat de grafiek dalend door de evenwichtsstand.Elke halve periode verder gaat de grafiek stijgend door de evenwichtsstand. We hebben hier geen waarde $b$ voor de $x$. Dus de periode is gewoon $2\pi$. Een halve periode is dan $\pi$.Drie punten waarin de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat zijn $(-\frac{1}{2}\pi +\pi,2)=(\frac{1}{2}\pi,2)$, $(\frac{1}{2}\pi +\pi,2)=(\frac{3}{2}\pi,2)$ en $(\frac{3}{2}\pi +\pi,2)=(\frac{5}{2}\pi,2)$ We gebruiken $y=d+a\sin(b(x-c))$ waarbij $a$ de amplitude is, $b$ de periode bepaald, $d$ de evenwichtsstand is en $(c,d)$ is het beginpunt van de grafiek. $a=-9$ dus de amplitude is 9. (let op de amplitude is altijd een positief getal!)$b=2$ dus de $periode=\frac{2\pi}{b}=\frac{2\pi}{2}=\pi$$d=-3$ dus de evenwichtsstand is $y=-3$. $c=5$ dus het beginpunt is $(5,-3)$. De eerste top ligt een kwart periode verder dan het beginpunt. Een kwart periode is $\pi:4=\frac{1}{4}\pi$Omdat de $a$ negatief is gaat deze grafiek dalend door de evenwichtsstand, de eerste top waar de grafiek langskomt is dus een minimum. Reken vanaf het beginpunt.$(5+\frac{1}{4}\pi,-3-9)$. (De y-coördinaat van het minimum ligt een amplitude onder de evenwichtsstand, dus $-3-9$)$(5+\frac{1}{4}\pi,-12)$De volgende top is een maximum. Deze ligt een halve periode verder dan de eerste top. $\pi:2=\frac{1}{2}\pi$, reken voor de x-coördinaat vanaf de eerst gevonden top verder. De y-coördinaat van het maximum ligt een amplitude hoger dan de evenwichtsstand.$(5+\frac{1}{4}\pi+\frac{1}{2}\pi,-3+9)$$(5+\frac{3}{4}\pi, 6)$$a=2$ dus de amplitude is 2.$b=\frac{1}{8}\pi$ dus de $periode=\frac{2\pi}{b}=\frac{2\pi}{\frac{1}{8}\pi }=16$$d=8$ dus de evenwichtsstand is $y=8$. $c=-3$ dus het beginpunt is $(-3, 8)$. De eerste top ligt een kwart periode verder dan het beginpunt. Een kwart periode is $16:4=4$Een sinusoïde gaat stijgend door de evenwichtsstand. De eerste top waar de grafiek langskomt is dus een maximum. $(-3+4, 8+2)$. (De y-coördinaat van het maximum ligt een amplitude boven de evenwichtsstand)$(1, 10)$De volgende top is een minimum. Deze ligt een halve periode verder dan de eerste top. $16:2=8$, reken voor de x-coördinaat vanaf de eerst gevonden top verder. De y-coördinaat van het minimum ligt een amplitude lager dan de evenwichtsstand.$(1+8,8-2)$$(9, 6)$ Stap 1: We kunnen de y-coördinaten van het hoogste en het laagste punt aflezen. Namelijk $y=1 (hoogste) en $y=-5$ (laagste). Hiermee kunnen we de evenwichtsstand en amplitude berekenen. Evenwichtsstand: $d=\frac{1+-5}{2}=-2$De evenwichtsstand ligt precies midden het hoogste en het laagste punt, door deze op te tellen en te delen door twee vinden we dit midden. Amplitude: Manier 1: $a=\frac{1--5}{2}=3$, of Manier 2: $1--2=3$De amplitude is de afstand van het hoogste tot het laagste punt delen door twee. (manier 1)De amplitude is de afstand van de evenwichtsstand tot het hoogste/laagste punt. Daarom trekken we de evenwichtsstand van het hoogste punt af. (manier 2)Stap 2: We hebben de x-coördinaten van het hoogste en het laagste punt. Namelijk $x=5$ (hoogste) en $x=2$ (laagste) Hiermee kunnen we de periode berekenen.Periode: $5-2=3$ is een halve periode. Dus de periode is $3\cdot 2=6$ $b=\frac{2\pi}{periode}=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}$.Omdat één periode pas voorbij is wanneer we terug zijn op de hoogte waar we zijn gestart, zijn we als we van het laagste ($x=2$) naar het hoogste punt ($x=5$) zijn gegaan nog maar op een halve periode.Door eerst te berekenen hoeveel een halve periode is en dit te vermenigvuldigen met twee krijgen we de lengte van een hele periode. Tot slot wordt de formule voor het berekenen van $b=\frac{2\pi}{periode}$ gebruikt.Stap 3: Het beginpunt lezen we af. De sinusoïde gaat stijgend door de evenwichtsstand in $x=3,5$. Dus $c=3\frac{1}{2}$Conclusie: $y=-2+3\sin(\frac{\pi}{3}(x-3\frac{1}{2}))$. 10 centimeter. De amplitude is 10. Hier wordt eigenlijk gevraagd naar een periode. Een periode start als de sinusoïde stijgend door de x-as gaat, vervolgens een keer het maximum en het minimum bereikt en weer terug is bij de x-as. Dit is eigenlijk wat gevraagd wordt, maar in de vorm van een verhaaltje. $periode=\frac{2\pi}{b}$ en $b=\frac{2}{3}\pi$$periode=\frac{2\pi}{\frac{2}{3}\pi}=3$Het duurt dus 3 seconden.De andere jojo komt 15 cm boven de vensterbank dus de amplitude is 15. Geeft $a=15$. De periode van de andere jojo is 2 seconden dus $2=\frac{2\pi}{b}$$\frac{2}{1}=\frac{2\pi}{b}$ (maak een breuk van het linkerlid)$2b=2\pi$ (kruislings vermenigvuldigen)$b=\pi$ (beide kanten delen door 2)Jojo 2: $A_2(t)=15\sin(\pi t)$$A(t)=10\sin(\frac{2}{3}\pi t)+51$ De vensterbank is 51 centimeter van haar hand. Dus bij de afstand van de jojo tot de vensterbank moet steeds 51 centimeter opgeteld worden.  Voor de bovendruk berekenen we het maximum en voor de onderdruk het minimum. We moeten ook het tijdstip weten, dus eigenlijk hebben we de coördinaten van de twee eerste toppen nodig. $a=18$ dus de amplitude is 18.$b=146\pi$ dus de $periode=\frac{2\pi}{b}=\frac{2\pi}{146\pi}=73$$d=103$ dus de evenwichtsstand is $B=103$. $c=0$ dus het beginpunt is $(0, 103)$. De eerste top ligt een kwart periode verder dan het beginpunt. Een kwart periode is $73:4=18\frac{1}{4}$Een sinusoïde gaat stijgend door de evenwichtsstand. De eerste top waar de grafiek langskomt is dus een maximum. $(18\frac{1}{4}, 103+18)$. (De y-coördinaat van het maximum ligt een amplitude boven de evenwichtsstand)$(18\frac{1}{4}, 121)$De volgende top is een minimum. Deze ligt een halve periode verder dan de eerste top. $73:2=36\frac{1}{2}$, reken voor de x-coördinaat vanaf de eerst gevonden top verder. De y-coördinaat van het minimum ligt een amplitude lager dan de evenwichtsstand.$(18\frac{1}{4}+36\frac{1}{2},103-18)$$(54\frac{3}{4},85)$Conclusie: Na 18,25 seconden is er sprake van een bovendruk van 121 en na 54,75 seconden is er sprake van een onderdruk van 85.