Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 3 - Hoofdstuk 13 - Cirkels oefentoetsen & antwoorden

De standaardformule van een middelpuntsvergelijking is $(x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$ waarbij $x_M$ de x-coördinaat van het middelpunt is en $y_M$ de y-coördinaat van het middelpunt. In dit geval is dus $x_M=0$ en $y_M=-3$ geeft $M(0,-3)$ $r^2=5$ dus $r=\sqrt{5}$ Stap 1: Het middelpunt van de cirkel vinden we door het midden van lijnstuk $AB$ te zoeken. Gebruik $M(\frac{1}{2}((x_A+x_B),(y_A+y_B))$: $M(\frac{1}{2}((-12+-8),(7+1))= M(-10,4)$Stap 2: De straal vinden we door de afstand van het middelpunt tot een willekeurig punt op de cirkel te berekenen. We nemen $B$.$d(M,B)=\sqrt{(x_B-x_M)^2+(y_B-y_M)^2}=\sqrt{(-8--10)^2+(1-4)^2}=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}=r$Stap 3: Stel de cirkelvergelijking op. $c: (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$$c: (x+10)^2+(y-4)^2=13$Conclusie: $c: (x+10)^2+(y-4)^2=13$ We gaan kwadraat afsplitsen.$x^2+4x+y^2+2y+1=0$$(x+2)^2-4+(y+1)^2-1+1=0$Om het kwadraat af te splitsen kijken we eerst naar de term voor de losse $x$, voor $4x$ dus, dit is $4$, deze delen we door $2$, dit is $2$. Vervolgens schrijven we $(x+2)^2$. Als we nu de papegaaienbekmethode toepassen krijgen we $(x+2)^2=x^2+4x+4$ Terwijl we alleen $x^2+4x$ in onze originele formule hebben staan. Daarom trekken we er nog $4$ af en wordt het $(x+2)^2-4$. Hetzelfde doen we voor $y^2+2y$. We nemen het getal voor de losse $y$, $2$ dus, delen deze door $2$, maakt $1$. Dit geeft ons $(y+1)^2$, we rekenen nu $+1$ teveel en trekken dit er weer af geeft $(y+1)^2-1$.$(x+2)^2+(y+1)^2=4$Het middelpunt is $M(-2, -1)$ en de straal is $r=\sqrt{4}=2$.Bereken eerst de afstand tussen het punt $P$ en het middelpunt van de cirkel. Is deze afstand groter dan de straal, dan ligt punt $P$ buiten de cirkel. Is de afstand kleiner dan de straal, dan ligt punt $P$ binnen de cirkel.$d(P,M)=\sqrt{(-1- -2)^2+(-3- -1)^2}=\sqrt{5}$ De straal van de cirkel is 2: $\sqrt{5}>2$ dus het punt ligt buiten de cirkel. De lijn met de kortste afstand van de cirkel naar de lijn staat loodrecht op lijn $l$ en gaat door het middelpunt van de cirkel. Stap 1: Stel loodlijn $k$ op.De richtingscoëfficiënt van de lijn $k$ loodrecht op lijn $l$ krijgen we door gebruik te maken van de eigenschap $rc_l\cdot rc_k=-1$ voor lijnen die loodrecht op elkaar staan.$-\frac{1}{3}\cdot rc_k=-1$$rc_k=3$ Dus $k: y=3x+b$Door het middelpunt van de cirkel in te vullen verkrijgen we $b$:$-1=3\cdot -2 +b$$5=b$$k: y=3x+5$Stap 2: Bereken de coördinaten van lijn $l$ en zijn loodlijn $k$. $3x+5=-\frac{1}{3}x+1\frac{2}{3}$$3\frac{1}{3}x=-3\frac{1}{3}$$x=-1$$3\cdot -1+5=2$Het punt $Q(-1, 2)$ is nu het punt op de lijn $l$ die het dichtst bij de cirkel $c$ ligt.Stap 3: Om de afstand tussen $c$ en $l$ te berekenen, berekenen we eerst de afstand tussen het middelpunt van de cirkel en het punt $Q(-1,2)$$d(Q,M)=\sqrt{(-1- -2)^2+(2- -1)^2}=\sqrt{10}$ Stap 4: Vervolgens trekken we de straal van de afstand tussen het middelpunt en het punt op de lijn af en hebben we de afstand tussen de cirkel en de lijn.$d(l,c)=\sqrt{10}-2$ Werkwijze: Het middelpunt van de omgeschreven cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden. Stap 1: Stel de middelloodlijn van twee zijden op en bereken het snijpunt. De derde middelloodlijn zal deze lijnen in hetzelfde punt snijden.Stel middelloodlijn $l$ van $AB$ op. $l$ loodrecht op $AB$ dus gebruik de richtingsvector van $AB$ als normaalvector van lijn $l$. $\vec{r_{AB}}=\vec{b}-\vec{a}=\begin{pmatrix}-4 \\ 7 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-6 \\ 4 \end{pmatrix}$$\vec{n_l}= \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \end{pmatrix}$ dus $l: -6x+4y=c$De lijn $l$ gaat door het midden van lijnstuk $AB$, we zoeken dit midden: $M_1(\frac{1}{2}(2+-4), \frac{1}{2}(3+7))=M_1(-1, 5)$$l: -6x+4y=c$ door $M_1(-1, 5)$ geeft $6+20=26$ $l: -6x+4y=26$Stel middelloodlijn $k$ van $BC$ op. $k$ loodrecht op $BC$ dus gebruik de richtingsvector van $BC$ als normaalvector van lijn $k$. $\vec{r_{BC}}=\vec{c}-\vec{b}=\begin{pmatrix} -6 \\ 15 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}$$\vec{n_k}= \begin{pmatrix}-1 \\ 4 \end{pmatrix}$ dus $k: -x+4y=c$De lijn $k$ gaat door het midden van lijnstuk $BC$, we zoeken dit midden: $M_2(\frac{1}{2}(-6+-4), \frac{1}{2}(15+7))=M_2(-5, 11)$$k: -x+4y=c$ door $M_2(-5, 11)$ geeft $5+44=49$ $k: -x+4y=49$Stap 3: Bereken punt $M$. $M$ is het snijpunt van lijn $k$ en $l$ dus we stellen deze aan elkaar gelijk. $\begin{cases} -6x+4y=26 \\ -x+4y=49 \end{cases}$Aftrekken geeft $-5x=-23$$x=4\frac{3}{5}$$-4\frac{3}{5}+4y=49$ geeft $4y=53\frac{3}{5}$ dus $y=13\frac{2}{5}$$M(4\frac{3}{5}, 13\frac{2}{5})$Stap 4: Voor de straal berekenen we de afstand van het middelpunt tot een willekeurig punt op de cirkel. $A, B$ en $C$ liggen alle drie op de cirkel, we berekenen de afstand van $A$ tot het middelpunt.$d(A,M)=\sqrt{(4\frac{3}{5}-2)^2+(13\frac{2}{5}-3)^2}=\sqrt{6\frac{19}{25}+108\frac{4}{25}}=\sqrt{114\frac{23}{25}}$Conclusie: $c: (x-4\frac{3}{5})^2+(y-13\frac{2}{5})^2=114\frac{23}{25}$ Werkwijze: Stel eerst lijn $l$ op. Bereken vervolgens het snijpunten van de lijn en de cirkel door substitutie. Stap 1: Stel lijn $l$ op. $l: y=ax+b$. Richtingscoëfficiënt $-1$ dus $a=-1$.$l: y=-x+b$ door $A(4,4)$, vul $A$ in.$4=-4+b$ geeft $b=8$$l: y=-x+8$Stap 2: Substitueer lijn $l$ in $c$. Vul op de plek van $y$ tussen haakjes $-x+8$ in.$x^2+(-x+8)^2-10x+16(-x+8)=56$$x^2+x^2-16x+64-10x-16x+128=56$$2x^2-42x+136=0$$x^2-21x+68=0$$(x-4)(x-17)=0$$x=4 \vee x=17$$A$ is $x=4$, dus $B$ is $x=17$Stap 3: Vul de x-coördinaat in in de lijn om de y-coördinaat van punt $B$ te vinden.$y=-17+8=-9$Conclusie: $B(17,-9)$. Werkwijze: Eerst stellen we de cirkelvergelijking van $c$ op. Vervolgens substituteren we lijn $m$ in de cirkelvergelijking om na te gaan wanneer de lijn de cirkel raakt. Stap 1: We stellen de cirkervergelijking van $c$ op.De straal van de cirkel is de afstand van het middelpunt van de cirkel tot een punt op de cirkel. Daarom berekenen we de afstand tussen $B$ en $M$. Omdat $B$ en $M$ op een horizontale lijn liggen berekenen we deze afstand door $x_B-x_M$ te doen. $10-6=4$. Geeft $r=4$.$c: (x-6)^2+(y-3)^2=16$Stap 2: We substitueren lijn $m$ in de cirkel om te bepalen wanneer de lijn de cirkel raakt. $m: \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 7 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}1 \\ m \end{pmatrix}$Aangezien lijn $m$ door het punt $(0,7)$ gaat kunnen we deze als steunvector gebruiken. Substitutie van $x=t$ en $y=7+tm$ in $c: (x-6)^2+(y-3)^2=16$Omdat we weten dat lijn $m$ de cirkel raakt, moeten lijn $m$ en de cirkel wel een snijpunt hebben, namelijk het raakpunt. We kunnen dus de $x$ en y-coördinaat van de lijn invullen in de cirkel voor dit raakpunt.$(t-6)^2+(7+tm-3)^2=16$$(t-6)^2+(tm+4)^2=16$$t^2-12t+36+m^2t^2+8mt+16=16$$(m^2+1)t^2+(8m-12)t+36=0$Stap 3: Gebruik de discriminant om de richtingscoëfficiënt van de raaklijn te vinden. $D=0$ geeft $(8m-12)^2-4\cdot (m^2+1)\cdot 36=0$Een raaklijn en een cirkel hebben altijd maar één snijpunt (het raakpunt) dus de discriminant van deze vergelijking moet gelijk zijn aan $0$. Als de discriminant gelijk is aan nul hebben we namelijk één oplossing. $(8m-12)^2-4\cdot (m^2+1)\cdot 36=0$$64m^2-192m+144-(4m^2+4)\cdot 36=0$$64m^2-192m+144-144m^2-144=0$$-80m^2-192m=0$ (delen door -16)$5m^2+12m=0$$m(5m+12)=0$$m=0 \vee 5m+12=0$$m=0 \vee 5m=-12$$m=0 \vee m=-\frac{12}{5}$De raaklijn is niet horizontaal (zie figuur) dus moet $m=-\frac{12}{5}$ wel de oplossing zijn die we zoeken.Conclusie: $m: \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 7 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}1 \\ \frac{12}{5} \end{pmatrix}$$m: \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 7 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix}5 \\ 12\end{pmatrix}$ De eerste gemeenschappelijke raaklijn volgt uit dat de cirkels elkaar raken. Ze moeten dan wel een gemeenschappelijke raaklijn hebben. Omdat de straal van $c_1$ gelijk is aan 3 en het middelpunt $(0,0)$ is dit in $x=3$.De andere twee gemeenschappelijke raaklijnen zijn van de vorm $y=ax+b$ of $-ax+y=b$. De afstand van het middelpunt van de cirkel tot de raaklijn is gelijk aan de straal. Dus $d(M_1,l)=3$ en $d(M_2,l)=12$, $M_1(0,0)$ en $M_2(15,0)$.$\frac{|-a\cdot 0+0-b|}{\sqrt{(-a)^2+1^2}}=3$ en $\frac{|-a\cdot15+0-b|}{\sqrt{(-a)^2+1^2}}=12$$\frac{|-b|}{\sqrt{a^2+1}}=3$ en $\frac{|-15a-b|}{\sqrt{a^2+1}}=12$Als we de eerste vergelijking vermenigvuldigen met 4 en schrijven als $\frac{4\cdot|-b|}{\sqrt{a^2+1}}=12$kunnen we deze combineren met de tweede vergelijking. Dit geeft:$4\cdot |-b|=|-15a-b|$$-4b=-15a-b \vee 4b=-15a-b$$3b=15a \vee 5b=-15a$$b=5a \vee b=-3a$$b=5a$ substitueren in $\frac{|-b|}{\sqrt{a^2+1}}=3$ geeft $\frac{|-5a|}{\sqrt{a^2+1}}=3$$|-5a|cdot 1=\sqrt{a^2+1}\cdot 3$ (kruislings vermenigvuldigen)$25a^2=9(a^2+1)$ (kwadrateren)$16a^2=9$$a^2=\frac{9}{16}$$a=-\sqrt{\frac{9}{16}} \vee a=-\sqrt{\frac{9}{16}}$$a=-\frac{3}{4} \vee a=\frac{3}{4}$$b=-3a$ substitueren in $\frac{|-b|}{\sqrt{a^2+1}}=3$ geeft $\frac{|3a|}{\sqrt{a^2+1}}=3$$|3a|cdot 1=\sqrt{a^2+1}\cdot 3$ (kruislings vermenigvuldigen)$a^2=a^2+1$$0=1$ heeft geen oplossingen.Dus de raaklijnen zijn $\frac{3}{4}x+y=b$ en $-\frac{3}{4}x+y=b$. $a=\frac{3}{4}$ en $b=5a$ geeft $b=5\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{4}$$a=-\frac{3}{4}$ en $b=5a$ geeft $b=5\cdot -\frac{3}{4}=-\frac{15}{4}$Conclusie: de raaklijnen zijn $x=3, \frac{3}{4}x+y=-\frac{15}{4}$ en $-\frac{3}{4}x+y=\frac{15}{4}$.