Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 4 - Hoofdstuk 15 - Afgeleiden en primitieven oefentoetsen & antwoorden

In een buigpunt gaat de grafiek van toenemend dalend over naar afnemend dalen of andersom.In een buigpunt gaat de grafiek van toenemend stijgend over naar afnemend stijgend of andersom. Stap 1: Druk de lengte van lijn $a$ uit in $x$.De lengte van lijn $a$ is gelijk aan $f(x)-l(x)$. Dus de y-coördinaat van $f$ bij een gegeven $x$ min de y-coördinaat van $l$ in dezelfde waarde van $x$. De y-waarde van $f$ in een willekeurige x-waarde is gelijk aan $y_f=(2-\sqrt{x})^2$De y-waarde van $l$ in een willekeurige x-waarde is gelijk aan $y_l=4-x$De lengte van $a=y_l-y_f=4-x-(2-\sqrt{x})^2$Stap 2: Met behulp van de afgeleide berekenen we voor welke $x$ deze lengte maximaal is. $a=4-x-(2-\sqrt{x})^2$$a=4-x-4+4\sqrt{x}-x$ (haakjes uitwerken)$a=4\sqrt{x}-2x$ (herleiden)$a’=\frac{2}{\sqrt{x}}-2$$a’=0$ geeft:$\frac{2}{\sqrt{x}}-2=0$$\frac{2}{\sqrt{x}}=2$$\sqrt{x}=1$$x=1$Stap 3: Nu we de $x$ gevonden hebben waarvoor de lengte maximaal is berekenen we de bijbehorende maximale lengte.$a=4\sqrt{1}-2(1)=2$Conclusie: De maximale lengte is $2$. Het midden van lijnstuk $PR$ is $M(\frac{1}{2}(a+0), \frac{1}{2}(0+8))=(\frac{1}{2}a, 4)$Omdat de parabool het lijnstuk in het midden moet snijden geldt $f(\frac{1}{2}a)=4$$8-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a)^2=4$$8-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}a^2=4$$-\frac{1}{8}a^2=-4$$a^2=32$$a=-\sqrt{32}$ (voldoet niet $a>4$) $\vee a=\sqrt{32}$$a=\sqrt{16}\cdot \sqrt{2}$$a=4\sqrt{2}$Voor $a=4\sqrt{2}$ snijdt de parabool de lijn $PR$ in het midden. Stap 1: Bereken $x_{top}$ met behulp van de afgeleide. $f_a’(x)=a\cdot e^{-x^2}+ax\cdot -2xe^{-x^2}$ (productregel+kettingregel). $f_a’(x)=ae^{-x^2}-2ax^2e^{-x^2}$$f_a’(x)=0$ geeft de x-coördinaat van de top.$ae^{-x^2}-2ax^2e^{-x^2}=0$$ae^{-x^2}=2ax^2e^{-x^2}$$1=2x^2$ ($a\neq 0$ en $e^{-x^2}\neq 0$ dus we kunnen deze wegdelen)$x^2=\frac{1}{2}$$x=-\frac{1}{2}\sqrt{2} \vee x=\frac{1}{2}\sqrt{2}$ De x-coördinaat van de top hangt dus niet af van $a$. We kunnen de afstand tussen de x-coördinaten van de top berekenen door $x_B-x_A$ te doen. $\frac{1}{2}\sqrt{2}--\frac{1}{2}\sqrt{2}=\sqrt{2}$Stap 2: Bereken voor welke waarde van $a$ de afstand tussen de y-coördinaten van de top ook gelijk is aan $\sqrt{2}$.Druk eerst de y-coördinaten van de toppen uit in $a$.$f_a(-\frac{1}{2}\sqrt{2})=a(-\frac{1}{2}\sqrt{2})e^{-(-\frac{1}{2}\sqrt{2})^2}=-\frac{a}{2}\sqrt{2}e^{-\frac{1}{2}}=-\frac{a}{2\sqrt{e}}\sqrt{2}$ (gebruik $e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$)$f_a(\frac{1}{2}\sqrt{2})=a(\frac{1}{2}\sqrt{2})e^{-(\frac{1}{2}\sqrt{2})^2}=\frac{a}{2}\sqrt{2}e^{-\frac{1}{2}}=\frac{a}{2\sqrt{e}}\sqrt{2}$De afstand tussen de y-coördinaten van de toppen is gelijk aan $y_B-y_A=\frac{a}{2\sqrt{e}}\sqrt{2}--\frac{a}{2\sqrt{e}}\sqrt{2}=\frac{2a}{2\sqrt{e}}\sqrt{2}$Stel de afstand tussen de y-waarden gelijk aan $\sqrt{2}$ (de afstand tussen de x-waarden).$\frac{2a}{2\sqrt{e}}\sqrt{2}=\sqrt{2}$$\frac{2a}{2\sqrt{e}}=1$ (delen door $\sqrt{2}$)$2a=2\sqrt{e}$$a=\sqrt{e}$Conclusie: voor $a=\sqrt{e}$ is de afstand tussen de x-coördinaten van de toppen gelijk aan de afstand tussen de y-coördinaten van de toppen. Stap 1: Druk de omtrek van de rechthoek uit in $x$. De breedte van de rechthoek heeft lengte $x$, we hebben twee zijden met lengte $x$.De lengte van de rechthoek heeft lengte $\frac{4}{(x+1)^3}$, twee zijden hebben deze lengte.De totale omtrek is dus $O=x+x+\frac{4}{(x+1)^3}+\frac{4}{(x+1)^3}=2x+\frac{8}{(x+1)^3}$Stap 2: Gebruik de afgeleide om te bepalen voor welke waarde van $x$ de omtrek minimaal is.$O=2x+8(x+1)^{-3}$$O’=2+-3\cdot 8(x+1)^{-4}\cdot 1$$O’=2-\frac{24}{(x+1)^4}$Stel de afgeleide gelijk aan 0 om de waarde vinden waarvoor de omtrek minimaal is. $O’=0$:$2-\frac{24}{(x+1)^4}=0$$\frac{24}{(x+1)^4}=2$$2(x+1)^4=24$$(x+1)^4=12$$x+1=\sqrt[4]{12}$$x=\sqrt[4]{12}-1$Conclusie: Voor $x=\sqrt[4]{12}-1$ is de omtrek minimaal. We willen weten op welke manier de moeilijkheidsgraad van de problemen, oftewel formule $D$ stijgt. Met behulp van de kettingregel bereken we de afgeleide. $D’=1.945e^{0.533t}$$0.533t$ wordt groter naarmate $t$ groter wordt. $e$ is een getal groter dan 1 dus $e^{0.533t}$ wordt ook groter naarmate $t$ groter wordt. $1.945e^{0,533t}$ wordt dus ook groter als $t$ groter wordt. De helling is positief en wordt dus steeds groter, oftewel toenemend stijgend. De afstand van Else tot de lamp is anderhalve meter oftewel $d=150$ cm. $I$ is 0.014. Vul deze waarden in in de standaardformule. $I=\frac{a}{d^{1.88}}$ $0.014=\frac{a}{150^{1.88}}$$a=173$$I=\frac{173}{d^{1.88}}$ We tonen het gevraagde met de afgeleide aan.$I=\frac{173}{d^{1.88}}$ $I=173\cdot d^{-1.88}$$I’=-1.88\cdot 173d^{-2.88}$$I’=-325.24d^{-2.88}$$I’=-\frac{325.24}{d^{2.88}}$Er staat een – voor de breuk, de helling zal dus altijd negatief zijn, het is dus een dalende grafiek.Als $D$ groter wordt, wordt $d^{2.88}$ ook groter. We delen 325.24 dus door een steeds groter getal, waardoor de uitkomst steeds kleiner wordt. Het is dus een afnemend dalende grafiek. De oppervlakte van de rechthoek is gelijk aan $O(rechthoek)=l\cdot b=4\cdot q=4q$. De oppervlakte onder functie $f$ moet dus gelijk zijn aan de helft van de oppervlakte van de hele rechthoek, oftewel $2q$. We drukken de oppervlakte onder de grafiek eerst uit in $q$ en stellen deze dan gelijk aan $2q$. Stap 1: Primitiveer $f$. $f(x)=\frac{4}{\sqrt{x+1}}$$f(x)=4(x+1)^{-\frac{1}{2}}$$F(x)=2\cdot 4(x+1)^{\frac{1}{2}}$$F(x)=8\sqrt{x+1}$Stap 2: Druk de oppervlakte onder $f$ uit in $q$. $O(V)=\int_{0}^{q} \frac{4}{\sqrt{x+1}} dx=\bigg[8\sqrt{x+1} \bigg]_{0}^{q}$$=8\sqrt{q+1}-8$Stap 3: Stel de oppervlakte uitgedrukt in $q$ gelijk aan $2q$.$2q=8\sqrt{q+1}-8$$2q+8=8\sqrt{q+1}$$(2q+8)^2=64(q+1)$ (kwadrateren)$4q^2+32q+64=64q+64$$4q^2-32q=0$$4q(q-8)=0$$4q=0$ (geen oplossing, $q>0$)$\vee q=8$Conclusie: Voor $q=8$ is de oppervlakte van de rechthoek onder $f$ precies even groot als de oppervlakte van de rechthoek boven $f$.Er staat ‘Bereken’, we mogen dus de GR gebruiken. Stap 1: Bepaal de inverse van $f$ door $x$ vrij te maken. $y=\frac{4}{\sqrt{x+1}}$$y\sqrt{x+1}=4$ (kruislings vermenigvuldigen)$\sqrt{x+1}=\frac{4}{y}$$x+1=\frac{16}{y^2}$ (kwadrateren)$x=\frac{16}{y^2}-1$$f_{inv}(x)=g(x)=\frac{16}{x^2}-1$Stap 2: Bepaal de grenzen van het oppervlakte. De rechtergrens van het oppervlakte is af te lezen, namelijk $x=4$, voor de linkergrens stellen we $f$ en $g(x)$ aan elkaar gelijk.$\frac{4}{\sqrt{x+1}}=\frac{16}{x^2}-1$Deze vergelijking hoeven we dus niet handmatig op te lossen! $y_1=\frac{4}{\sqrt{x+1}}$$y_2=\frac{16}{x^2}-1$Optie snijpunt geeft: $x=2.22…$ Stap 3: Bereken de oppervlakte.$f$ ligt boven $g$, dus we trekken de oppervlakte onder $g$ van de oppervlakte onder $f$ af. $O(V)=\int_{2.22…}^{4} f(x)-g(x) dx=\int_{2.22…}^{4} \frac{4}{\sqrt{x+1}}-(\frac{16}{x^2}-1) dx=2.1$ (gebruik wederom de GR).Conclusie: De gevraagde oppervlakte is 2.1. Er moet gelden: $2\cdot I(V)=I(W)$Stap 1: Druk $I(V)$ uit in $p$. We wentelen om de x-as. De inhoud is $I(V)=\pi \int_{0}^{p} y^2 dx$$I(V)=\pi \int_{0}^{p} 16x^8 dx$$=\pi \bigg[\frac{16}{9}x^9 \bigg]_{0}^{p}=\frac{16}{9}p^9\pi$Stap 2: Druk $I(W)$ uit in $p$. $I(W)=\pi \int_{0}^{4p^4} x^2 dy$We hebben $x^2$ nodig, maak deze vrij uit de functie $f$.$y=4x^4$$\frac{y}{4}=x^4$$\frac{\sqrt{y}}{2}=x^2$Primitiveer $x^2$$g=\frac{1}{2}\cdot y^{\frac{1}{2}}$$G=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}y^{\frac{3}{2}}$$G=\frac{1}{3}y^{\frac{3}{2}}$$I(W)=\pi \int_{0}^{4p^4} \frac{\sqrt{y}}{2} dy$$=\pi \bigg[\frac{1}{3}y^{\frac{3}{2}} \bigg]_{0}^{4p^4}=\pi \frac{1}{3}(4p^4)^{\frac{3}{2}}=\frac{8}{3}p^6\pi$Stap 3: Los op $2\cdot I(V)=I(W)$.$2\cdot \frac{16}{9}p^9\pi=\frac{8}{3}p^6\pi$$\frac{32}{9}p^9=\frac{8}{3}p^6$ (delen door $\pi$)$\frac{32}{9}p^3=\frac{8}{3}$ (delen door $p^6$ dit kan omdat $p\neq 0$)$p^3=\frac{3}{4}$Conclusie: Voor $p=\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ verhouden de inhoud van $V$ en $W$ zich tot elkaar met 1:2.