Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 4 - Hoofdstuk 13 - Limieten en asymptoten oefentoetsen & antwoorden

$-\infty$. Omdat het grondtal tussen 0 en 1 ligt is dit een dalende grafiek. Als $x$ groter wordt gaat $^g\log(x)$ dus naar – oneindig. Ontbind eerst zowel de teller als de noemer in factoren.$\lim_{x\rightarrow -3} \frac{(x+3)(x-4)}{(x-7)(x+3)}$Bij een limiet naderen we een bepaalde x-waarde, we bereiken hem niet. In dit geval naderen we dus $x=-3$, omdat de x-waarde in de limiet nooit werkelijk $x=-3$ wordt zal $(x+3)$ nooit gelijk aan 0 worden. We kunnen dus de $(x+3)$ wegdelen. $x$ gaat naar -3, we vullen dus $x=-3$ daarna in om te kijken naar welk getal de functie nadert. $\lim_{x\rightarrow -3} \frac{(x+3)(x-4)}{(x-7)(x+3)}=\lim_{x\rightarrow -3} \frac{x-4}{x-7}=\frac{-7}{-10}=\frac{7}{10}$De $\lim_{x\rightarrow 1} f_p(x)$ bestaat als $\lim_{x\uparrow 1} f_p(x)= \lim_{x\downarrow 1} f_p(x)$De limiet van $\lim_{x\downarrow 1} f_p(x)$ kunnen we berekenen.van $\lim_{x\downarrow 1} x^2-4x+4=1$Als de limiet bestaat moet ook $\lim_{x\uparrow 1} f_p(x)=1$ gelden.$\lim_{x\uparrow 1} \sqrt{-x+p} =1$$\sqrt{-1+p}=1$$-1+p=1$$p=2$Dus voor $p=2$ bestaat $\lim_{x\rightarrow 1} f_p(x)$.$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\ln(x^2)}{2-\ln(x^4)}$ $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{2\ln|x|}{2-2\ln|x|}$ (gebruik $\ln(x^b)=b\cdot \ln(x)$, besef wel dat door de even macht (2 en 4) het getal in de $\ln$ altijd positief gaat zijn, gebruik absolute waarden om dit te verzekeren)$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{2}{\frac{2}{\ln|x|}-2}$ (deel door $\ln|x|$)$=\frac{2}{0-2}=-1$ Stap 1: Ontbind de teller in factoren.$f_a(x)=\frac{(e^x-2)(e^x-1)}{e^x+a}$Stap 2: Kijk voor welke waarde van $a$ de grafiek een perforatie zou hebben.$a=-2$ en $a=-1$Stap 3: Bereken de coördinaten van de perforaties. Als $a=-2$ is $f_{-2}(x)=\frac{(e^x-2)(e^x-1)}{e^x-2}$ De noemer wordt 0 als $e^x-2=0$$e^x=2$$x=\ln(2)$De perforatie vindt dus plaats in $x=\ln(2)$, met de limiet kijken we wat de bijbehorende y-waarde is.$\lim_{x\rightarrow \ln(2)} \frac{(e^x-2)(e^x-1)}{e^x-2}=lim_{x\rightarrow \ln(2)} e^x-1=2-1=1$De perforatie bij $a=-2$ is $(\ln(2), 1)$Als $a=-1$ is $f_{-1}(x)=\frac{(e^x-2)(e^x-1)}{e^x-1}$ De noemer wordt 0 als $e^x-1=0$$e^x=1$$x=0$De perforatie vindt dus plaats in $x=0$, met de limiet kijken we wat de bijbehorende y-waarde is.$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{(e^x-2)(e^x-1)}{e^x-1}=lim_{x\rightarrow 0} e^x-2=1-2=-1$De perforatie bij $a=-1$ is $(0, -1)$ Analyseer het gedrag van de functie als de uitdrukking tussen de absolute waarde strepen kleiner wordt dan 0. Daar zal een knik plaatsvinden. We zoeken deze knikken.Stap 1: Bereken wanneer de uitdrukking tussen de absolute waarde strepen kleiner wordt dan 0.$\frac{1}{4}x^2-4<0$$\frac{1}{4}x^2<4$$x^2<16$$-4<x<4$Stap 2: Als de uitdrukking tussen de absolute waarde strepen kleiner wordt dan 0 (negatief wordt) moeten we de uitdrukkig tussen de absolute waarde vermenigvuldigen met -1. De functie van $f$ voor $-4<x<4$ is dus:$f(x)=x- -1(\frac{1}{4}x^2-4)+5$$f(x)=x-(-\frac{1}{4}x^2+4)+5$$f(x)=x+\frac{1}{4}x^2-4+5$$f(x)=\frac{1}{4}x^2+x+1$Stap 3: Als de uitdrukking tussen de absolute waarde strepen positief is kunnen we van de absolute waarde strepen gewoon haakjes maken. De functie van $f$ voor $x\leq 4 \vee x\geq 4$ is dus:$f(x)=x-(\frac{1}{4}x^2-4)+5$$f(x)=x-\frac{1}{4}x^2+4+5$$f(x)=-\frac{1}{4}x^2+x+9$Voor $-4<x<4$ is $f(x)=\frac{1}{4}x^2+x+1$, voor $x\leq 4 \vee x\geq 4$ is $f(x)=-\frac{1}{4}x^2+x+9$$x=-4$ en $x=4$, $x_A>x_B$ dus $x_A=4$. $f(4)=-\frac{1}{4}\cdot 4^2+4+9=9$, geeft $A(4,9)$. Stap 4: Bereken de afgeleiden voor beide delen van de grafiek van $f$. $-4<x<4$: $f(x)=\frac{1}{4}x^2+x+1$ geeft $f’(x)=\frac{1}{2}x+1$$x\leq 4 \vee x\geq 4$: $f(x)=-\frac{1}{4}x^2+x+9$ geeft $f’(x)=-\frac{1}{2}x+1$Stap 5: Bereken met behulp van de limiet de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen. $\lim_{x \uparrow 4}f’(x)=3$ en $\lim_{x \downarrow 4}f’(x)=-1$Dus de raaklijnen zijn $l: y=3x+b$ en $m: y=-x+b$Stap 6: Vul het raakpunt in om de raaklijnen af te maken.$9=3\cdot 4+b$ geeft $b=-3$.$9=-4+b$ geeft $b=13$Conclusie: De raaklijnen aan $A$ zijn $l: y=3x-3$ en $m: y=-x+13$ Werkwijze: We berekenen eerst de coördinaten van de perforatie. Vervolgens stellen we de formules van de asymptoten op. Daarna kunnen we de lijn $k$ en de lijn loodrecht op $k$ opstellen.Stap 1: De coördinaten van de perforatie.$f(x)=\frac{x(x+6)(x-3)}{(x+4)(x+6)}$. (ontbind teller en noemer in factoren)Omdat we $x+6$ boven en onder zouden kunnen wegdelen vind er in $x=-6$ een perforatie plaats. Met de limiet kijken we wat de bijbehorende y-waarde is.$\lim_{x\rightarrow -6} \frac{x(x+6)(x-3)}{(x+4)(x+6)}$$\lim_{x\rightarrow -6} \frac{x(x-3)}{(x+4)}=\frac{-6\cdot -9}{-2}=27$De coördinaten van de perforatie zijn $A(-6, 27)$Stap 2: De asymptoten.Voor de verticale asymptoot lossen we teller$\neq 0$ en noemer$=0$ op.$x(x+6)(x-3)\neq 0 \wedge (x+4)(x+6)=0$$x\neq 0 \vee x\neq 3 \vee x=-4$ (we hadden al gezien dat bij $x=-6$ een perforatie zit)De verticale asymptoot is $x=-4$Voor de horizontale asymptoot lossen we op $\lim_{x\rightarrow \infty}$ maar als we delen door de hoogste macht van $x$ krijgen we geen oplossing voor een horizontale asymptoot omdat de hele noemer richting 0 gaat. Voor de scheve asymptoot herschrijf je $f(x)$ tot de vorm $f(x)=ax+b+h(x)$$f(x)=\frac{x(x-3)}{x+4}=\frac{x^2-3x}{x+4}$ probeer nu de breuk uit te delen. $=\frac{x(x+4)-4x-3x}{x+4}$ (als we voor de eerste term in de teller $x+4$ buiten haakjes halen tellen we $4x$ teveel, dit trekken we er weer af)$=x-\frac{7x}{x+4}$ (we kunnen nu $x$ buiten de breuk halen)$=x-\frac{7(x+4)-28}{x+4}$ (als we voor de eerste term in de teller $x+4$ buiten haakjes halen tellen we $28$ teveel, dit trekken we er weer af)$=x-7+\frac{28}{x+4}$ nu we niet meer buiten haakjes kunnen halen kijken we of de laatste term naar 0 gaat als $x$ naar oneindig gaat. $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{28}{x+4}$$=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{28}{x}}{1+\frac{4}{x}}$ (delen door de hoogste macht van $x$)$=\frac{0}{0+1}=0$De scheve asymptoot is $y=x-7$Stap 3: Het snijpunt van de asymptoten.$y=x-7$ en $x=-4$ substitutie geeft $y=-4-7=-11$Snijpunt is $B(-4,-11)$Stap 4: De richtingscoëfficiënt van de lijn $k$ door $A$ en $B$ en $l$ loodrecht op $k$.$rc_k=\frac{-4- -6}{-11-27}=\frac{1}{19}$Voor twee loodrecht snijdende lijnen geldt $rc_k\cdot rc_l=-1$$\frac{1}{19}\cdot rc_l=-1$$rc_l=-19$Conclusie: $rc_l=-19$ De verticale asymptoten zijn $x=-2$ en $x=2$. De verticale asymptoot ontstaat bij de x-waarde waar de noemer nadert naar 0 en de teller niet gelijk is aan 0. De x-waarde van de asymptoot weten we al dus deze vullen we in. In $x=-2$ is $a(-2)^2+6\neq 0$ en $(-2)^2-b=0$$a\neq -1\frac{1}{2}$ en $b=4$In $x=2$ is $a(2)^2+6\neq 0$ en $(2)^2-b=0$$a\neq -1\frac{1}{2}$ en $b=4$De horizontale asymptoot wordt bereikt als $x$ naar oneindig gaat. We weten $b$ al en vullen deze in.$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{ax^2+6}{x^2-4}$$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{a+\frac{6}{x^2}}{1-\frac{4}{x^2}}$ (delen door de hoogste macht van $x$ in dit geval $x^2$)$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{a}{1}=a$ ($\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{a}{x^n}=0$)$y=4$ dus $\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=a=4$$a=4$ en $b=4$ Stap 1: Herschrijf $g(x)$ tot de vorm $g(x)=ax+b+h(x)$ We gaan kijken of we de noemer kunnen wegdelen. Haal term voor term de noemer buiten haakjes in de teller, in dit geval rekenen we dan $4x$ te veel, trek dit er weer af:$g(x)=\frac{4x(e^x+1)-4x+4x+2e^{-x}+2}{e^x+1}$ Voor de eerste term kunnen we nu de noemer wegdelen. $g(x)=4x+\frac{2e^{-x}+2}{e^x+1}$Haal voor de term die nu vooraan staat in de breuk ook weer de noemer buiten haakjes en deel weg.$g(x)=4x+\frac{2e^{-x}(e^x+1)-2+2}{e^x+1}$$g(x)=4x+2e^{-x}$Stap 2: Als $x$ heel groot wordt gaat $2e^{-x}$ naar 0. Gebruik de limiet om dit aan te tonen.$\lim_{x \rightarrow \infty} 2e^{-x}=0$ dus $g(x)$ gaat naar $4x$. Conclusie: De scheve asymptoot is $y=4x$.