Toets Wiskunde

Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 3 - Hoofdstuk 14 - Exponentiële en logaritmische functies oefentoetsen & antwoorden

12e editie

Deze oefentoets behandelt o.m. de volgende onderwerpen: Logaritmen, het getal e, de natuurlijke logaritme, differentiëren, primitiveren.

Examendomein: B,C

Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 3
Toets Wiskunde
Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 3
Online maken
Toets afdrukken
$e$$\ln(\sqrt{e})=\ln(e^\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$ We moeten de logaritme en herschrijven en van grondtal wisselen.$A=^3\log(52)-^3\log(d^2)$ (gebruik $\log(\frac{A}{B})=\log(A)-\log(B)$)$A=^3\log(52)-2\cdot ^3\log(d)$ (gebruik $\log(A^b)=b\cdot\log(A)$)$A=^3\log(52)-2\cdot \frac{\log(d)}{\log{3}}$ (gebruik $^g\log(A)=\frac{\log(A)}{\log{g}}$)$A=^3\log(52)-2\cdot \frac{1}{\log{3}}\cdot \log(d)$$A=3.597-4.192\cdot \log(d)$ ($^3\log(52)=3.597$ en $2\cdot \frac{1}{\log{3}}=4.192$ Haal $e^{3x}$ buiten haakjes.$e^{3x}(3x+1)=0$$e^{3x}=0$ (heeft geen oplossingen) $\vee 3x+1=0$$3x=-1$$x=-\frac{1}{3}$Schrijf naar de vorm $e^a=e^b$ zodat je kunt gebruikten $g^a=g^b$ geeft $a=b$.$\sqrt{e^x}=e^{\frac{1}{3}x+1}$$(e^x)^{\frac{1}{2}}=e^{\frac{1}{3}x+1}$$e^\frac{1}{2}x=e^{\frac{1}{3}x+1}$$\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}x+1$$\frac{1}{6}x=1$$x=6$Isoleer eerst de e-macht. Vervolgens kunnen we $e^x=y$ geeft $x=ln(y)$ gebruiken om de vergelijking op te lossen.$\frac{1}{2}e^{x-4}=10$$e^{x-4}=20$$x-4=\ln(20)$$x=\ln(20)+4$Schrijf beide leden naar één term $\ln()$ zodat je de regel $\ln(A)=\ln(B)$ geeft $A=B$ kunt gebruiken.$\ln((2x)^2)=\ln(\frac{2x^2-7}{x^2-9})$ (gebruik voor het linkerlid $b\cdot \ln(a)=\ln(a^b)$ en voor het rechterlid $\ln(a)-\ln(b)=\ln(\frac{a}{b})$)$4x^2=\frac{2x^2-7}{x^2-9}$$4x^2(x^2-9)=2x^2-7$$4x^4-36x^2-2x^2+7=0$$4x^4 - 38^{x^2}+7=0$Substitueer $p=x^2$:$4p^2-38p+7=0$ABC-formule:$p=\frac{38-\sqrt{(-38)^2-4\cdot 4 \cdot 7)}}{2\cdot 4} \vee p=\frac{38+\sqrt{(-38)^2-4\cdot 4 \cdot 7)}}{2\cdot 4}$$p=\frac{38-\sqrt{1444-112}}{8} \vee p=\frac{38+\sqrt{1444-112}}{8}$$p=\frac{38-\sqrt{1332}}{8} \vee p=\frac{38+\sqrt{1332}}{8}$$p=\frac{38-6\sqrt{37}}{8} \vee p=\frac{38+6\sqrt{37}}{8}$$p=4\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\sqrt{37} \vee p=4\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\sqrt{37}$Terug substitueren:$x^2=4\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\sqrt{37} \vee x^2=4\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\sqrt{37}$$x=\sqrt{4\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\sqrt{37}}$ (dit is geen oplossing want dan krijgen we in de originele formule vergelijking een negatief getal in de $\ln$ en die heeft geen oplossing) $\vee x=\sqrt{4\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\sqrt{37}}$Conclusie: $x=\sqrt{4\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\sqrt{37}}$ We gebruiken de kettingregel en de quotiëntregel.$f’(x)=\frac{(e^{2x}+3)e^{x+1}-e^{x+1}\cdot 2e^{2x}}{(e^{2x}+3)^2}$$f’(x)=\frac{e^{3x+1}+3e^{x+1}-2e^{3x+1}}{(e^{2x}+3)^2}$$f’(x)=\frac{-e^{3x+1}+3e^{x+1}}{(e^{2x}+3)^2}$We gebruiken de kettingregel:$g’(x)=5\cdot 4^{8x-2}\cdot \ln(4)\cdot 8$$g’(x)=40\cdot 4^{8x-2}\cdot \ln(4)$ Werkwijze: De extreme waarden zijn de toppen van de grafiek. Hiervoor moeten we $h’(x)=0$ oplossen. In de opgave staat dat het met behulp van differentiëren moet, er staat niet dat het algebraïsch moet. Na het nemen van de afgeleide mogen we dus de GR gebruiken.Stap 1: Neem de afgeleide.Voor de afgeleide hebben we zowel de productregel als de kettingregel(voor het rechterdeel) nodig.$h’(x)=14 x \ln(\sqrt{x+3}) + 7x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x+3}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}}$$h’(x)=14x\ln(\sqrt{x+3})+\frac{7x^2}{2(x+3)}$.Stap 2: Gebruik de GR om de vergelijking $h’(x)=0$ op te lossen. $14x\ln(\sqrt{x+3})+\frac{7x^2}{2(x+3)}=0$.$y_1=14x\ln(\sqrt{x+3})+\frac{7x^2}{2(x+3)}$Optie nulpunt geeft $x=-1.426…$ en $x=0$.Stap 3: Vul beide punten in in $h$ om de y-coördinaten van de toppen te berekenen.$h(0)=0$ en $h(-1.426…)=3.228…$Stap 4: Plot de grafiek om te kijken of we te maken met een minimum of een maximum. Conclusie: min: $h(0)=0$ en max: $h(-1.43)=3.23$ Stap 1: Bereken de afgeleide van $T$. Herschrijf eerst $T$.$T=1000\cdot (1+\frac{1}{n}-0.8^n)$$T=1000+\frac{1000}{n}-1000\cdot 0.8^n$$T=1000+1000n^{-1}-1000\cdot 0.8^n$$T’=-1000n^{-2}-1000\cdot 0.8^n\ln(0.8)$$T’=-\frac{1000}{n^2}-223.14\cdot 0.8^n$Stap 2: Vul $n=4$ in. $T’(4)=-\frac{1000}{4^2}-223.14\cdot 0.8^4=28.8…$Conclusie: $T’(4)$ is positief, dus de grafiek is aan het stijgen in $n=4$. In de figuur zien we dat de grafiek eerst daalt, dan vind de extreme waarde plaats en daarna stijgt de grafiek. In het stijgende gedeelte, waar $n=4$ dus ligt, is de extreme waarde al geweest, het laagste punt ligt dus links van $n=4$. Werkwijze: Om het raakpunt te vinden moeten we de vergelijking $f’(x)= \frac{1}{2}$ oplossen. Stap 1: Neem de afgeleide.$f$ is een product van twee functies, namelijk $y=5x$ en $y= e^{-3x^3}$. We hebben dus de productregel nodig. $y= e^{-3x^3}$. Is een samengestelde functie, voor dit deel hebben we dus ook nog de kettingregel nodig. $f’(x)=5\cdot e^{-3x^3}+5x\cdot -9x^2\cdot e^{-3x^3}+\frac{1}{2}$$f’(x)=5e^{-3x^3}-45x^3e^{-3x^3}+\frac{1}{2}$Stap 2: Los op $f’(x)=\frac{1}{2}$$5e^{-3x^3}-45x^3e^{-3x^3}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$5e^{-3x^3}-45x^3e^{-3x^3}=0$$5e^{-3x^3}(1-9x^3)=0$$5e^{-3x^3}=0$ (heeft geen oplossingen) $\vee 1-9x^3=0$$9x^3=1$$x^3=\frac{1}{9}$$x=(\frac{1}{9})^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$Conclusie: $x=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ Stap 1: Zoek eerst de grenzen van vlakdeel $V$. We zien in het plaatje dat $V$ loopt vanaf $x=0$ tot het snijpunt van $f$ en $g$. We berekenen dit snijpunt.$f(x)=g(x)$$2^{x-1}=2^{2x-2}$$x-1=2x-2$ (gebruik $g^a=g^b$ geeft $a=b$)$x=1$De grenzen van het vlakdeel zijn dus $x=0$ en $x=1$Stap 2: Bereken de oppervlakte met behulp van de integraal. $f$ ligt boven $g$ dus we trekken voor de oppervlakte van $V$ de functie $g$ van $f$ af. $O(V)=\int_{0}^{1} 2^{x-1}-2^{2x-2}$$dx=\bigg[\frac{2^{x-1}}{\ln(2)}-\frac{2^{2x-2}}{\ln(2)}\cdot \frac{1}{2}\bigg]_{0}^{1}$ (bij $g$ gebruiken we de kettingregel)$=\bigg[\frac{2^{x-1}}{\ln(2)}-\frac{2^{2x-2}}{2\ln(2)}\bigg]_{0}^{1}=\frac{2^{1-1}}{\ln(2)}-\frac{2^{2\cdot 1-2}}{2\ln(2)}-(\frac{2^{0-1}}{\ln(2)}-\frac{2^{2\cdot 0-2}}{2\ln(2)})$ (vul de grenzen in)$=\frac{1}{\ln(2)} - \frac{1}{2\ln(2)} - (\frac{2^{-1}}{\ln(2)} - \frac{2^{-2}}{2\ln(2)}) = \frac{1}{\ln(2)} - \frac{1}{2\ln(2)} - (\frac{1}{2\ln(2)} - \frac{1}{8\ln(2)})$ (gebruik dat $2^{-a}=\frac{1}{2^a}$)$=\frac{8}{8\ln(2)}-\frac{4}{8\ln(2)}-\frac{4}{8\ln(2)}+\frac{1}{8\ln(2)}$ (maak de breuken gelijknamig en werk de haakjes uit)$=\frac{1}{8\ln(2)}$Conclusie: $O(V)= \frac{1}{8\ln(2)}$ Werkwijze: Bereken eerst de oppervlakte $V$ met de y-as, $f$, x-as en de lijn $x=\ln(32)$ als grenzen. Om de verhouding 2:1 te verkrijgen moet de oppervlakte van $W \frac{3}{2}$ de oppervlakte van vlakdeel $V$ zijn. Oftewel $O(W)=\frac{3}{2}O(V)$.Stap 1: Bereken de oppervlakte van $V$.$O(v)=\int_{0}^{\ln(32)} \frac{2}{5}e^{-\frac{1}{5}x+3} dx=\bigg[-5\cdot \frac{2}{5}e^{-\frac{1}{5}x+3}\bigg]_{0}^{\ln(32)}=\bigg[-2e^{-\frac{1}{5}x+3}\bigg]_{0}^{\ln(32)}$ (gebruik de kettingregel)$=-2e^{-\frac{1}{5}\cdot\ln(32)+3}--2e^{-\frac{1}{5}\cdot 0+3}$ (vul de boven- en ondergrens in)$=-2e^{\ln(32^{-\frac{1}{5}})+\ln(e^3)}+2e^{0+3}$ (gebruik de regels $a\cdot \ln(x)=\ln(x^a)$ en $a=\ln(e^a)$ om alles in de exponent van $e$ binnen één logaritme te krijgen)$=-2e^{\ln(\frac{1}{2})+\ln(e^3)}+2e^{3}$$=-2e^{\ln(\frac{1}{2}e^3)}+2e^3$ (gebruik $\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab)$)$=-2\cdot \frac{1}{2}e^3+2e^3$ (gebruik $e^{\ln(a)}=a$)$=-e^3+2e^3=e^3$$O(V)=e^3$Stap 2: De oppervlakte van $W$ is $O(W)=\frac{3}{2}O(V)=\frac{3}{2}e^3$. We zoeken nu een grens $p$ waarvoor $O(W)=\frac{3}{2}e^3$.Druk eerst de oppervlakte van $W$ uit in $p$.$O(W)=\int_{0}^{p} \frac{2}{5}e^{-\frac{1}{5}x+3} dx=\bigg[-2e^{-\frac{1}{5}x+3}\bigg]_{0}^{p}=-2e^{-\frac{1}{5}\cdot p+3}--2e^{-\frac{1}{5}\cdot 0+3}=-2e^{-\frac{1}{5}p+3}+2e^{3}$De oppervlakte van $W$ moet $\frac{3}{2}e^3$ zijn, dus los de vergelijking $O(W)=\frac{3}{2}e^3$ op.$-2e^{-\frac{1}{5}p+3}+2e^{3}=\frac{3}{2}e^3$$-2e^{-\frac{1}{5}p+3}=-\frac{1}{2}e^3$$e^{-\frac{1}{5}p+3}=\frac{1}{4}e^3$$-\frac{1}{5}p+3=\ln(\frac{1}{4}e^3)$ (gebruik $e^x=y$ geeft $x=\ln(y)$)$-\frac{1}{5}p+3=\ln(\frac{1}{4})+\ln(e^3)$$-\frac{1}{5}p+3=\ln(\frac{1}{4})+3$$-\frac{1}{5}p=\ln(\frac{1}{4})$$p=-5\ln(\frac{1}{4})$Conclusie: Voor $p=-5\ln(\frac{1}{4})$ deelt de lijn $x=\ln(32)$ het vlakdeel $W$ in twee stukken waarbij de oppervlakten zich verhouden met $2:1$.

Deze toets bestellen?

Voordeligst
Lidmaatschap ToetsMij
€ 12,99/mnd
  • Snel nog even wat toetsen oefenen? Kies dan onze meest flexibele optie.
  • Je kunt maandelijks opzeggen.
  • Toegang tot alle vakken bij ToetsMij.
Kies dit abonnement

Wat krijg je bij een abonnement?

  • Toegang tot alle vakken
  • 20 kwalitatieve oefentoetsen per maand
  • Antwoorden, uitwerkingen en toelichtingen
  • Geen stress voor het maken van toetsen
Eenvoudig en veilig betalen met iDEAL of creditcard
3 maanden ToetsMij
€ 12,99
€ 10,99/mnd
  • Voordelig en flexibel. Ideaal als je maar een paar maanden toetsen hoeft te gebruiken.
  • Betaal per kwartaal en bespaar hiermee 2 euro per maand.
  • Toegang tot alle vakken bij ToetsMij.
Kies dit abonnement

Wat krijg je bij een abonnement?

  • Toegang tot alle vakken
  • 20 kwalitatieve oefentoetsen per maand
  • Antwoorden, uitwerkingen en toelichtingen
  • Geen stress voor het maken van toetsen
Eenvoudig en veilig betalen met iDEAL of creditcard
1 jaar ToetsMij
€ 12,99
€ 7,50/mnd
  • Favoriete keuze van meer dan 70% van de gebruikers.
  • Betaal slechts 90 euro per jaar en bespaar hiermee 65 euro.
  • Geniet van een volledig jaar toegang tot alle vakken bij ToetsMij.
Kies dit abonnement

Wat krijg je bij een abonnement?

  • Toegang tot alle vakken
  • 20 kwalitatieve oefentoetsen per maand
  • Antwoorden, uitwerkingen en toelichtingen
  • Geen stress voor het maken van toetsen
Eenvoudig en veilig betalen met iDEAL of creditcard

Dit zeggen leerlingen en ouders

10

Cijfers omhoog

Onze zoon had in februari zeker 12 minpunten. Hij is gestart met oefenen via Toets mij en heeft een geweldige eindsprint getrokken en afgelopen week bijna het onmogelijke waargemaakt. Er zijn nog maar 2 minpunten over en nog niet alle toetsen zijn terug. Het heeft onze zoon enorm geholpen, omdat er breed getoetst wordt en de vraagstelling, zoals van hem begrepen, overeenkomt met de toets. Als je de oefentoetsen goed kunt maken, beheers je de stof echt goed!

AP
9.0

Fijn dat leerlingen alvast een keer een toets kunnen oefenen die eruit ziet zoals op school.

Wij hebben sinds kort Toetsmij, omdat onze dochter het erg lastig heeft met Wiskunde. Op deze manier kan ze het hoofdstuk oefenen met een toets die qua vraagstelling overeenkomt met de toetsen op school. Nu kan ze dit dus eerst oefenen voordat ze de echte toets moet doen. Als docent Engels die werkt met Of Course en All Right kan ik bevestigen dat de toetsen grotendeels overeenkomen met de vraagwijze van de methode zelf. Dat is dus heel fijn voor leerlingen om te oefenen. We hadden heel even een dingetje met het nakijken, want de uitwerkingen werden niet goed weergegeven. Even een mailtje en binnen een dag reactie en ICT ging meteen aan de slag met het herstellen van de uitwerkingen. Super contact, goede dienstverlening! Aanrader!

Lelani van den Berg
10

Zéér tevreden!!

Lid geworden voor mijn zoon in leerjaar 1 van (toen 13) inmiddels 15. Hij zit nu in leerjaar 3 HAVO. Elk boek is makkelijk te vinden en alsmede mailt met een probleem omdat hij Duits krijgt uit een boek van leerjaar 2 word dit zelfs op zondag binnen een half uur opgelost en toegevoegd aan ons account! Zo’n toffe service zie je niet vaak meer! Dus wij zijn zéér tevreden. Sinds we het nu weer gebruiken (tijdje niet gebruikt) scoort hij weer voldoendes en zelf voor wiskunde een 8.8!

Linda Ockers

Zoek in meer dan 10.000 toetsen

Echte toetsvragen, precies aansluitend op jouw lesmethode en leerjaar. Voor klas 1 t/m 6 van vmbo-t t/m gymnasium.

Ik zit in het
en doe
ik wil beter worden in