Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 3 - Hoofdstuk 14 - Exponentiële en logaritmische functies oefentoetsen & antwoorden

$e$$\ln(\sqrt{e})=\ln(e^\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$ We moeten de logaritme en herschrijven en van grondtal wisselen.$A=^3\log(52)-^3\log(d^2)$ (gebruik $\log(\frac{A}{B})=\log(A)-\log(B)$)$A=^3\log(52)-2\cdot ^3\log(d)$ (gebruik $\log(A^b)=b\cdot\log(A)$)$A=^3\log(52)-2\cdot \frac{\log(d)}{\log{3}}$ (gebruik $^g\log(A)=\frac{\log(A)}{\log{g}}$)$A=^3\log(52)-2\cdot \frac{1}{\log{3}}\cdot \log(d)$$A=3.597-4.192\cdot \log(d)$ ($^3\log(52)=3.597$ en $2\cdot \frac{1}{\log{3}}=4.192$ Haal $e^{3x}$ buiten haakjes.$e^{3x}(3x+1)=0$$e^{3x}=0$ (heeft geen oplossingen) $\vee 3x+1=0$$3x=-1$$x=-\frac{1}{3}$Schrijf naar de vorm $e^a=e^b$ zodat je kunt gebruikten $g^a=g^b$ geeft $a=b$.$\sqrt{e^x}=e^{\frac{1}{3}x+1}$$(e^x)^{\frac{1}{2}}=e^{\frac{1}{3}x+1}$$e^\frac{1}{2}x=e^{\frac{1}{3}x+1}$$\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}x+1$$\frac{1}{6}x=1$$x=6$Isoleer eerst de e-macht. Vervolgens kunnen we $e^x=y$ geeft $x=ln(y)$ gebruiken om de vergelijking op te lossen.$\frac{1}{2}e^{x-4}=10$$e^{x-4}=20$$x-4=\ln(20)$$x=\ln(20)+4$Schrijf beide leden naar één term $\ln()$ zodat je de regel $\ln(A)=\ln(B)$ geeft $A=B$ kunt gebruiken.$\ln((2x)^2)=\ln(\frac{2x^2-7}{x^2-9})$ (gebruik voor het linkerlid $b\cdot \ln(a)=\ln(a^b)$ en voor het rechterlid $\ln(a)-\ln(b)=\ln(\frac{a}{b})$)$4x^2=\frac{2x^2-7}{x^2-9}$$4x^2(x^2-9)=2x^2-7$$4x^4-36x^2-2x^2+7=0$$4x^4 - 38^{x^2}+7=0$Substitueer $p=x^2$:$4p^2-38p+7=0$ABC-formule:$p=\frac{38-\sqrt{(-38)^2-4\cdot 4 \cdot 7)}}{2\cdot 4} \vee p=\frac{38+\sqrt{(-38)^2-4\cdot 4 \cdot 7)}}{2\cdot 4}$$p=\frac{38-\sqrt{1444-112}}{8} \vee p=\frac{38+\sqrt{1444-112}}{8}$$p=\frac{38-\sqrt{1332}}{8} \vee p=\frac{38+\sqrt{1332}}{8}$$p=\frac{38-6\sqrt{37}}{8} \vee p=\frac{38+6\sqrt{37}}{8}$$p=4\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\sqrt{37} \vee p=4\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\sqrt{37}$Terug substitueren:$x^2=4\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\sqrt{37} \vee x^2=4\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\sqrt{37}$$x=\sqrt{4\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\sqrt{37}}$ (dit is geen oplossing want dan krijgen we in de originele formule vergelijking een negatief getal in de $\ln$ en die heeft geen oplossing) $\vee x=\sqrt{4\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\sqrt{37}}$Conclusie: $x=\sqrt{4\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\sqrt{37}}$ We gebruiken de kettingregel en de quotiëntregel.$f’(x)=\frac{(e^{2x}+3)e^{x+1}-e^{x+1}\cdot 2e^{2x}}{(e^{2x}+3)^2}$$f’(x)=\frac{e^{3x+1}+3e^{x+1}-2e^{3x+1}}{(e^{2x}+3)^2}$$f’(x)=\frac{-e^{3x+1}+3e^{x+1}}{(e^{2x}+3)^2}$We gebruiken de kettingregel:$g’(x)=5\cdot 4^{8x-2}\cdot \ln(4)\cdot 8$$g’(x)=40\cdot 4^{8x-2}\cdot \ln(4)$ Werkwijze: De extreme waarden zijn de toppen van de grafiek. Hiervoor moeten we $h’(x)=0$ oplossen. In de opgave staat dat het met behulp van differentiëren moet, er staat niet dat het algebraïsch moet. Na het nemen van de afgeleide mogen we dus de GR gebruiken.Stap 1: Neem de afgeleide.Voor de afgeleide hebben we zowel de productregel als de kettingregel(voor het rechterdeel) nodig.$h’(x)=14 x \ln(\sqrt{x+3}) + 7x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x+3}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}}$$h’(x)=14x\ln(\sqrt{x+3})+\frac{7x^2}{2(x+3)}$.Stap 2: Gebruik de GR om de vergelijking $h’(x)=0$ op te lossen. $14x\ln(\sqrt{x+3})+\frac{7x^2}{2(x+3)}=0$.$y_1=14x\ln(\sqrt{x+3})+\frac{7x^2}{2(x+3)}$Optie nulpunt geeft $x=-1.426…$ en $x=0$.Stap 3: Vul beide punten in in $h$ om de y-coördinaten van de toppen te berekenen.$h(0)=0$ en $h(-1.426…)=3.228…$Stap 4: Plot de grafiek om te kijken of we te maken met een minimum of een maximum. Conclusie: min: $h(0)=0$ en max: $h(-1.43)=3.23$ Stap 1: Bereken de afgeleide van $T$. Herschrijf eerst $T$.$T=1000\cdot (1+\frac{1}{n}-0.8^n)$$T=1000+\frac{1000}{n}-1000\cdot 0.8^n$$T=1000+1000n^{-1}-1000\cdot 0.8^n$$T’=-1000n^{-2}-1000\cdot 0.8^n\ln(0.8)$$T’=-\frac{1000}{n^2}-223.14\cdot 0.8^n$Stap 2: Vul $n=4$ in. $T’(4)=-\frac{1000}{4^2}-223.14\cdot 0.8^4=28.8…$Conclusie: $T’(4)$ is positief, dus de grafiek is aan het stijgen in $n=4$. In de figuur zien we dat de grafiek eerst daalt, dan vind de extreme waarde plaats en daarna stijgt de grafiek. In het stijgende gedeelte, waar $n=4$ dus ligt, is de extreme waarde al geweest, het laagste punt ligt dus links van $n=4$. Werkwijze: Om het raakpunt te vinden moeten we de vergelijking $f’(x)= \frac{1}{2}$ oplossen. Stap 1: Neem de afgeleide.$f$ is een product van twee functies, namelijk $y=5x$ en $y= e^{-3x^3}$. We hebben dus de productregel nodig. $y= e^{-3x^3}$. Is een samengestelde functie, voor dit deel hebben we dus ook nog de kettingregel nodig. $f’(x)=5\cdot e^{-3x^3}+5x\cdot -9x^2\cdot e^{-3x^3}+\frac{1}{2}$$f’(x)=5e^{-3x^3}-45x^3e^{-3x^3}+\frac{1}{2}$Stap 2: Los op $f’(x)=\frac{1}{2}$$5e^{-3x^3}-45x^3e^{-3x^3}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$5e^{-3x^3}-45x^3e^{-3x^3}=0$$5e^{-3x^3}(1-9x^3)=0$$5e^{-3x^3}=0$ (heeft geen oplossingen) $\vee 1-9x^3=0$$9x^3=1$$x^3=\frac{1}{9}$$x=(\frac{1}{9})^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$Conclusie: $x=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ Stap 1: Zoek eerst de grenzen van vlakdeel $V$. We zien in het plaatje dat $V$ loopt vanaf $x=0$ tot het snijpunt van $f$ en $g$. We berekenen dit snijpunt.$f(x)=g(x)$$2^{x-1}=2^{2x-2}$$x-1=2x-2$ (gebruik $g^a=g^b$ geeft $a=b$)$x=1$De grenzen van het vlakdeel zijn dus $x=0$ en $x=1$Stap 2: Bereken de oppervlakte met behulp van de integraal. $f$ ligt boven $g$ dus we trekken voor de oppervlakte van $V$ de functie $g$ van $f$ af. $O(V)=\int_{0}^{1} 2^{x-1}-2^{2x-2}$$dx=\bigg[\frac{2^{x-1}}{\ln(2)}-\frac{2^{2x-2}}{\ln(2)}\cdot \frac{1}{2}\bigg]_{0}^{1}$ (bij $g$ gebruiken we de kettingregel)$=\bigg[\frac{2^{x-1}}{\ln(2)}-\frac{2^{2x-2}}{2\ln(2)}\bigg]_{0}^{1}=\frac{2^{1-1}}{\ln(2)}-\frac{2^{2\cdot 1-2}}{2\ln(2)}-(\frac{2^{0-1}}{\ln(2)}-\frac{2^{2\cdot 0-2}}{2\ln(2)})$ (vul de grenzen in)$=\frac{1}{\ln(2)} - \frac{1}{2\ln(2)} - (\frac{2^{-1}}{\ln(2)} - \frac{2^{-2}}{2\ln(2)}) = \frac{1}{\ln(2)} - \frac{1}{2\ln(2)} - (\frac{1}{2\ln(2)} - \frac{1}{8\ln(2)})$ (gebruik dat $2^{-a}=\frac{1}{2^a}$)$=\frac{8}{8\ln(2)}-\frac{4}{8\ln(2)}-\frac{4}{8\ln(2)}+\frac{1}{8\ln(2)}$ (maak de breuken gelijknamig en werk de haakjes uit)$=\frac{1}{8\ln(2)}$Conclusie: $O(V)= \frac{1}{8\ln(2)}$ Werkwijze: Bereken eerst de oppervlakte $V$ met de y-as, $f$, x-as en de lijn $x=\ln(32)$ als grenzen. Om de verhouding 2:1 te verkrijgen moet de oppervlakte van $W \frac{3}{2}$ de oppervlakte van vlakdeel $V$ zijn. Oftewel $O(W)=\frac{3}{2}O(V)$.Stap 1: Bereken de oppervlakte van $V$.$O(v)=\int_{0}^{\ln(32)} \frac{2}{5}e^{-\frac{1}{5}x+3} dx=\bigg[-5\cdot \frac{2}{5}e^{-\frac{1}{5}x+3}\bigg]_{0}^{\ln(32)}=\bigg[-2e^{-\frac{1}{5}x+3}\bigg]_{0}^{\ln(32)}$ (gebruik de kettingregel)$=-2e^{-\frac{1}{5}\cdot\ln(32)+3}--2e^{-\frac{1}{5}\cdot 0+3}$ (vul de boven- en ondergrens in)$=-2e^{\ln(32^{-\frac{1}{5}})+\ln(e^3)}+2e^{0+3}$ (gebruik de regels $a\cdot \ln(x)=\ln(x^a)$ en $a=\ln(e^a)$ om alles in de exponent van $e$ binnen één logaritme te krijgen)$=-2e^{\ln(\frac{1}{2})+\ln(e^3)}+2e^{3}$$=-2e^{\ln(\frac{1}{2}e^3)}+2e^3$ (gebruik $\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab)$)$=-2\cdot \frac{1}{2}e^3+2e^3$ (gebruik $e^{\ln(a)}=a$)$=-e^3+2e^3=e^3$$O(V)=e^3$Stap 2: De oppervlakte van $W$ is $O(W)=\frac{3}{2}O(V)=\frac{3}{2}e^3$. We zoeken nu een grens $p$ waarvoor $O(W)=\frac{3}{2}e^3$.Druk eerst de oppervlakte van $W$ uit in $p$.$O(W)=\int_{0}^{p} \frac{2}{5}e^{-\frac{1}{5}x+3} dx=\bigg[-2e^{-\frac{1}{5}x+3}\bigg]_{0}^{p}=-2e^{-\frac{1}{5}\cdot p+3}--2e^{-\frac{1}{5}\cdot 0+3}=-2e^{-\frac{1}{5}p+3}+2e^{3}$De oppervlakte van $W$ moet $\frac{3}{2}e^3$ zijn, dus los de vergelijking $O(W)=\frac{3}{2}e^3$ op.$-2e^{-\frac{1}{5}p+3}+2e^{3}=\frac{3}{2}e^3$$-2e^{-\frac{1}{5}p+3}=-\frac{1}{2}e^3$$e^{-\frac{1}{5}p+3}=\frac{1}{4}e^3$$-\frac{1}{5}p+3=\ln(\frac{1}{4}e^3)$ (gebruik $e^x=y$ geeft $x=\ln(y)$)$-\frac{1}{5}p+3=\ln(\frac{1}{4})+\ln(e^3)$$-\frac{1}{5}p+3=\ln(\frac{1}{4})+3$$-\frac{1}{5}p=\ln(\frac{1}{4})$$p=-5\ln(\frac{1}{4})$Conclusie: Voor $p=-5\ln(\frac{1}{4})$ deelt de lijn $x=\ln(32)$ het vlakdeel $W$ in twee stukken waarbij de oppervlakten zich verhouden met $2:1$.