Getal en Ruimte 13e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 2 - Oppervlakte en afstand oefentoetsen & antwoorden

A is onjuist, 20 is de lengte van $BC$, deze staat niet loodrecht op de daarvoor gekozen zijde, zijde $AB=30$. We kunnen $BC$ dus niet als hoogte nemenB is onjuist, er is geen zijde van 42 lang, dus kunnen we 42 niet als zijde gebruiken.C is juist. De formule luidt: $opp\triangle =0.5\cdot zijde\cdot hoogte$. De hoogte staat altijd loodrecht op een zijde. Als we dus als zijde 30. oftewel $AB$, kiezen moeten we daarbij een hoogte kiezen. De zijde met 20 erbij staat niet loodrecht op $AB$, dus dit is niet de hoogte. $DC$ met lengte 16 staat wel loodrecht op $AB$. Dus dit is de bijbehorende hoogte.  De figuur is een parallellogram. Dus, $opp=zijde\cdot bijbehorende\ hoogte$We hebben hoogte $EC$ deze hoort bij zijde $AB$, geeft: $opp=AB\cdot EC$$opp=5.4\cdot 3.5=18.9$ Stap 1: We tekenen bij deze opdracht de volgende figuur.Stap 2: Voordat we kunnen rekenen binnen de driehoek moeten de maten van beide zijden in dezelfde eenheid staan.We zetten zijde $AB$ ook naar cm. $0.8 \, m=80 \, cm$Stap 3: Zijde $AB$ en $BC$ staan loodrecht op elkaar. We kunnen dus één van de twee als hoogte en één als zijde gebruiken. $opp \, \triangle ABC=0.5 \cdot AB \cdot BC=0.5 \cdot 80 \cdot 95=3800 \, cm^2$Stap 4: We moeten de dakkapel aan beide kanten verven.$3800+3800=7600 \, cm^2$Antwoord: John moet $7600 \, cm^2$ verven. We kunnen dit figuur niet makkelijk verdelen in bekende vlakke figuren, dus we gebruiken de methode inlijsten. Stap 1: We tekenen een rechthoek (in dit geval vierkant) strak om de figuur.We zien nu dat de oppervlakte van het blauwe figuur gelijk is aan de oppervlakte van het vierkant min de volgende drie driehoeken.De oppervlakte van het vierkant is gelijk aan $opp\ vierkant=lengte\cdot breedte$ oftewel $5\cdot 5=25$Stap 2: Bereken de oppervlakte van de driehoeken.Gebruik altijd zijden en hoogten waarvan je de lengte kunt aflezen door hokjes te tellen.De linkerzijde van driehoek I is 1 lang. De andere zijde is 2 lang, deze twee zijden staan loodrecht op elkaar, daarom kunnen we deze als zijde en hoogte gebruiken. $opp\ I=0.5\cdot 1\cdot 2=1$De twee afleesbare zijden van de tweede driehoek staan ook loodrecht op elkaar. Ze hebben beide lengte 3. We gebruiken één van de twee als zijde en één als hoogte. $opp\ II=0.5\cdot 3\cdot 3=4.5$Van de derde driehoek kunnen we één zijde aflezen, deze is 4 lang. Voor de hoogte tekenen we vanuit de hoek tegenover de zijde een lijn loodrecht op de zijde die we konden aflezen. De hoogte kunnen we nu tellen, 1. $opp\ III=0.5\cdot 4 \cdot 1=2$Stap 3: Trek de oppervlakte van de driehoeken van de totale oppervlakte van het vierkant af. $opp\ blauw=25-1-4.5-2=17.5$Antwoord: 17.5 We berekenen de oppervlakte van elk zijvlak afzonderlijk.Stap 1: Het voor- en achtervlakHet voorvlak is 16 cm lang en 8 cm breed. Het achtervlak heeft precies dezelfde grootte.De oppervlakte van een rechthoek is $opp=lengte \cdot breedte$$opp=16\cdot 8=128 \, cm^2$Voor- en achtervlak samen: $128+128=256 \, cm^2$Stap 2: Het linker- en rechterzijvlakHet zijvlak is 16 cm lang en 8 cm breed. Het linkerzijvlak heeft precies dezelfde grootte.$opp=16\cdot 8=128 \,  cm^2$Linker- en rechterzijvlak samen: $128+128=256 \, cm^2$Stap 3: Het ondervlak. Het ondervlak is 16 cm breed en lang. $opp=16\cdot 16=256 \, cm^2$Stap 4: Het bovenvlak.Het bovenvlak heeft dezelfde vorm en grootte als het ondervlak, oftewel de oppervlakte is $256 \, cm^2$.Er zijn nog vier cirkels met diameter 4 die niet bedekt worden met folie, dit moeten we van de totale oppervlakte van het bovenvlak aftrekken. De oppervlakte van een cirkel is gelijk aan $opp\ cirkel=\pi\cdot straal^2$De straal is de helft van de diameter dus in dit geval is de $straal=4:2=2$$opp\ cirkel=\pi\cdot 2^2=12.566…$De puntjes betekenen dat we nog niet afronden, we rekenen met de uitkomst op de rekenmachine door met behulp van ‘ans’ op de rekenmachine.We hebben 4 cirkels, dus $12.566…\cdot 4=50.265$De oppervlakte van het bovenblak zonder de cirkels is dus $256-50.265=205.73 \, cm^2$Stap 5: Tel de oppervlakten van de verschillende vlakken op.$256+256+256+205.73=973.73 \, cm^2$Antwoord: We moeten ons antwoord in $dm^2$ geven, dus we delen ons antwoord door 100. $973.73:100=9.73 \,dm^2$ Stap 1: Teken de straal waarin Teuge de klanten bezoekt.120 km is twee keer de lengte van 50 km plus nog twee blokjes. Meet dit totaal.Zet nu de pin van je passer op Teuge en zet het potlood net zo veel centimeter als twee keer 50 en 2 blokjes van de pin af. Teken een cirkel.Stap 2: Teken de straal waarin Groningen de klanten bezoekt.Drie blokjes van de schaallijn is 30 km. Meet deze lengte en zet de pootjes van de passer zo ver uit elkaar. Zet de pin op Groningen en teken een cirkel. Stap 3: Kleur het gedeelte dat zowel in de cirkel van Groningen als in de cirkel van Teuge valt rood.Stap 4: Teken de straal waarin Amsterdam de klanten bezoekt. Vier blokjes van de schaallijn is 40 km. Meet deze lengte en zet de pootjes van de passer zo ver uit elkaar. Zet de pin op Groningen en teken een cirkel. Stap 5: Kleur het gedeelte dat zowel in de cirkel van Teuge als in de cirkel van Amsterdam valt groen.Antwoord:  Stap 1: Teken $\triangle ABC$.Teken een assenstelsel en de punten $A, B$ en $C$.Verbind de punten met elkaar.Stap 2: Teken de middelloodlijnen van de zijden van de driehoek.We beginnen bij de middelloodlijn van $AB$. Een middelloodlijn tekenen kan op twee manieren. Gebruik de manier die jouw docent jou heeft aangeleerd.Manier 1: Met de passer.Zet de pin op punt $A$ en het potlood van de passer op punt $B$. Teken een cirkel.Zet nu de pin op punt $B$ en het potlood van de passer op punt $A$. Teken nog een cirkel.Teken een lijn door de snijpunten van de twee cirkels, dit is je middelloodlijn. Doordat je de passer hebt gebruikt vanuit beide punten is de afstand van de snijpunten van de cirkels tot de punten $A$ en $B$ gelijk.Gum de cirkels weg en zet de gelijkheidstekens en het rechte hoek teken in je tekening.Manier 2: Met je geodriehoek. Meet je zijde en zoek het midden, zet een streepje bij het midden. Leg nu de $90^\circ$ lijn van je geodriehoek op de zijde $BC$ en zorg dat de liniaal langs het getekende streepje ligt. Teken langs de liniaal van je geodriehoek, door het getekende streepje, de middelloodlijn.Zet de gelijkheidstekens en het rechte hoeksteken in je tekening.Stap 2: Teken ook de andere twee middelloodlijnen.Stap 3: Het snijpunt van de drie middelloodlijnen is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Zet de pin van je passer in dit middelpunt en het potlood van je passer op één van de hoekpunten van de driehoek.Antwoord:  Met behulp van een bissectrice tussen $A$ en $B$ kunnen we de moestuin delen in twee stukken. Het gedeelte vanaf de zijde bij huis $B$ tot de bissectrice is het gedeelte dat het dichtst bij Floor haar erf ligt. Stap 1: Zet de pin van de passer op de hoek tussen zijde $A$ en $B$ en teken tussen de twee zijden een gedeelte van een cirkel die volledig binnen de driehoek valt. Stap 2: Zet nu de pin van de passer op het snijpunt van de cirkel met zijde $A$ en teken een cirkel. Teken precies een even grote cirkel vanuit het snijpunt van de eerste cirkel met zijde $B$. Stap 3: Door de snijpunten van de twee cirkels die je als laatste hebt getekend teken je de bissectrice. Antwoord: Het blauw gearceerde gedeelte is het gedeelte waar Floor haar aardappels kan planten. Werkwijze: We tekenen eerst met behulp van onze passer driehoek $ABC$. Vervolgens tekenen we met behulp van hoogtelijnen het hoogtepunt. Stap 1: Teken zijde $AB$ van 4 cm lang. Stap 2: Gebruik je passer om punt $C$ te vinden.Zet de pin van de passer op $A$.Zet door met je geodriehoek te meten of door 4 hokjes op je papier te tellen de pootjes van de passer 4 cm uit elkaar.Teken de cirkel.Zet de pin van de passer nu op de $B$. Zet de pootjes weer 4 cm uit elkaar en teken een cirkel. Het snijpunt van de twee cirkels is punt $C$.Stap 3: Maak de driehoek af. Laat de passerlijnen staan zodat je docent ziet hoe je de cirkel hebt getekend.  Stap 4: Teken met behulp van je geodriehoek de hoogtelijnen van de driehoek.Leg je geodriehoek met de $90^\circ$ lijn op de zijde en teken vanuit de overstaande hoek een lijn. Vergeet het rechte hoek teken niet. Teken op dezelfde manier de andere twee hoogtelijnen.Stap 5: Het snijpunt van de hoogtelijnen is het hoogtepunt.Antwoord: Het snijpunt hierboven in rood.