Systematische Natuurkunde LRN-line 2022 - Hoofdstuk 6 - Cirkelbewegingen oefentoetsen & antwoorden

Deze resulterende kracht noemen we de middelpuntzoekende kracht. Zoals de naam al verklapt is deze kracht altijd naar het middelpunt van de cirkelbaan gericht.De baansnelheid kan berekend worden met behulp van de volgende formule: $v_{baan} = \frac{s}{t} = \frac{2 \times \pi \times r}{T}$Hierin is $v_{baan}$ de baansnelheid in m/s, $s$ de afgelegde afstand in m, $r$ de baanstraal in m en $T$ de omlooptijd in s. Het getal 2 en $\pi$ zijn constantes.De enige kracht die op een satelliet werkt die zonder stuwkracht om een planeet draait is de gravitatiekracht $F_g$.De waarde van de gravitatieconstante $G$ is gelijk aan $6,67 \cdot 10^{-11}$ $\rm N m^2 kg^{-2}$. Onjuist. Een geostationaire satelliet beschrijft een geostationaire baan, dat wil zeggen dat de satelliet stilstaat ten opzichte van het aardoppervlak en dus boven een vast punt blijft hangen. Een baan die over de noordpool en zuidpool gaat noemen we een polaire baan.Onjuist. Richtingen omhoog en naar rechts krijgen een positief teken. Richtingen omlaag en naar links krijgen een negatief teken. De uitspraak is dus niet volledig juist.Juist. Het toerental wordt in het Engels uitgedrukt in RPM, dit staat voor revolutions per minute.Onjuist. De middelpuntzoekende kracht wordt gegeven door de volgende formule: $F_{mpz} = \frac{m \times v^2}{r}$. Hierin is te zien dat als de baanstraal en de baansnelheid niet veranderen en de massa 2 keer zo groot wordt, dat de middelpuntzoekende kracht dan ook 2 keer zo groot wordt en niet 3 keer zo groot. Er zijn meerdere manieren om tot de juiste conclusie te komen.Manier 1: Beide punten bevinden zich op dezelfde frisbee, dus is de omlooptijd van beide punten gelijk, omdat het voor beide punten even lang duurt voordat ze een volledige rotatie ondergaan hebben. Het punt dichter bij het centrum van de frisbee legt in die tijd een kleinere afstand af dan het punt op de rand van de frisbee. Het punt op de rand moet immers een grotere cirkel beschrijven omdat de omtrek daar groter is dan nabij het centrum. Omdat in dezelfde tijd een grotere afstand moet worden afgelegd, moet de baansnelheid dus ook groter zijn op de rand van de frisbee. Een punt nabij het centrum van de frisbee heeft dus een lagere baansnelheid dan een punt op de rand van de frisbee.Manier 2:Beide punten bevinden zich op dezelfde frisbee, dus is de omlooptijd van beide punten gelijk, omdat het voor beide punten even lang duurt voordat ze een volledige rotatie ondergaan hebben. Met behulp van de formule $v_{baan} = \frac{2 \times \pi \times r}{T}$ zien we dat als $r$ groter wordt de baansnelheid $v_{baan}$ groter wordt. Een punt op de rand van de frisbee heeft een grotere $r$ dan een punt nabij het centrum. De baansnelheid op de rand van de frisbee is dus groter. En dus moet gelden dat een punt nabij het centrum van de frisbee een lagere baansnelheid heeft dan een punt op de rand van de frisbee. Gegeven: voor de diameter geldt $d = 260$ mm.Gevraagd: de omtrek van de frisbee in m.Formule: omtrek $= 2 \times \pi \times r$ en $r = \frac{d}{2}$.Berekening: eerst rekenen we de diameter van mm om naar m. De diameter is dan gelijk aan 0,260 m. De straal is dan gelijk aan $r = \frac{0,260}{2} = 0,130$ m. De omtrek wordt dan $2 \times \pi \times 0,130 = 0,817$ m.Conclusie: de omtrek van de frisbee is 0,817 m. Gegeven: $d = 260$ mm en $v_{baan} = 8,17$ m/s.Gevraagd: het toerental (aantal omwentelingen per minuut) van de frisbee.Formule: $v_{baan} = \frac{2 \times \pi \times r}{T}$ en $f = \frac{1}{T}$.Berekening: eerst rekenen we de diameter van mm om naar m. De diameter is dan gelijk aan 0,260 m. De straal is dan gelijk aan $r = \frac{0,260}{2} = 0,130$ m. Vervolgens herschrijven we de formule voor de baansnelheid zodat we de omlooptijd $T$ kunnen berekenen. De formule wordt dan $T = \frac{2 \times \pi \times r}{v_{baan}}$. Nu vullen we de gegevens in: $T = \frac{2 \times \pi \times 0,130}{8,17} = 0,100$ s. We gebruiken nu $f = \frac{1}{T}$ om het aantal omwentelingen per seconde te berekenen: $f = \frac{1}{0,100} = 10,0$ Hz. We weten nu dat er 10 omwentelingen per seconde zijn. We moeten het aantal omwentelingen per minuut (toerental) berekenen, dus moeten we de uitkomst vermenigvuldigen met 60, omdat er 60 seconden in een minuut zitten. Het toerental is dan gelijk aan $10,0 \times 60 = 600$ omwentelingen per minuut.Conclusie: het toerental van de frisbee is 600 omwentelingen per minuut.Wanneer de vlieg loslaat van de frisbee beweegt de vlieg in een rechte lijn die samenvalt met de raaklijn aan de frisbee. Deze raaklijn staat loodrecht op de baanstraal. De vlieg beweegt dus in een rechte lijn en beschrijft geen cirkelbeweging meer. Deze uitwerking bestaat uit twee onderdelen.Onderdeel 1:Op het aardoppervlak moet dan gelden dat zowel de formule voor de zwaartekracht als de formule voor de gravitatiekracht gebruikt kan worden. Deze moeten hetzelfde resultaat opleveren. De formules kunnen dus aan elkaar gelijkgesteld worden. Er moet dus gelden $F_z = F_g$. Hieruit volgt $m \times g = G \times \frac{m \times M_{aarde}}{r^2}$. Omdat beide formules de massa $m$ bevatten, kan deze weg gedeeld worden. Er blijft dan over $g = G \times \frac{M_{aarde}}{r^2}$. Onderdeel 2:Gegeven: $G = 6,67 \cdot 10^{-11}$ $\rm N \times m^2 \times kg^{-2}$, $M_{aarde} = 5,972 \cdot 10^{24}$ kg en $r = 6,371 \cdot 10^6$ m. Let op: voor de $r$ maken we gebruik van de straal van de aarde omdat we kijken op het aardoppervlak.Gevraagd: de grootte van $g$ op het aardoppervlak.Formule: $g = G \times \frac{M_{aarde}}{r^2}$.Berekening: $g = 6,67 \cdot 10^{-11} \times \frac{5,972 \cdot 10^{24}}{(6,371 \cdot 10^6)^2} = 9,81$ $\rm m \times s^{-2}$.Conclusie: op het aardoppervlak geldt $g = 9,81$ $\rm m \times s^{-2}$. Gegeven: $m = 750$ kg, $F_g = 5,50 \cdot 10^3$ N, $G = 6,67 \cdot 10^{-11}$ $\rm N \times m^2 \times kg^{-2}$, $M_{aarde} = 5,972 \cdot 10^{24}$ kg en $r_{aarde} = 6,371 \cdot 10^6$ m.Gevraagd: laat zien dat de satelliet zich op een hoogte van ongeveer 1000 km boven het aardoppervlak bevindt.Formule: $F_g = G \times \frac{m \times M_{aarde}}{r^2}$ en we moeten beseffen dat de satelliet zich boven het aardoppervlak bevindt, dus geldt $r = r_{aarde} + h$. Hierin is $r_{aarde}$ de straal van de aarde en $h$ de hoogte van de satelliet boven het aardoppervlak.Berekening: we herschrijven de formule zodat we $r$ kunnen uitrekenen. We krijgen dan $r^2 = G \times \frac{m \times M_{aarde}}{F_g}$. Dit resulteert in $r = \sqrt{G \times \frac{m \times M_{aarde}}{F_g}}$. Nu kunnen we de gegevens invullen. $r = \sqrt{6,67 \cdot 10^{-11} \times \frac{750 \times 5,972 \cdot 10^{24}}{5,50 \cdot 10^3}} = 7,37 \cdot 10^6$ m. De $r$ die we nu gevonden hebben is de afstand van de satelliet tot het middelpunt van de aarde. We moeten hier dus nog de straal van de aarde af halen. We vinden dan $h = r - r_{aarde} = 7,37 \cdot 10^6 - 6,371 \cdot 10^6 = 9,99 \cdot 10^5$ m. Omgerekend naar kilometer is dit 999 km.Conclusie: de satelliet bevindt zich dus op een hoogte van ongeveer 1000 km boven het aardoppervlak.De satelliet bevindt zich op ongeveer 1000 km boven het aardoppervlak. Een geostationaire satelliet bevindt zich ongeveer op een hoogte van $3,6 \cdot 10^4$ km boven het aardoppervlak terwijl een polaire satelliet zich op een afstand tussen 300 en 1000 km boven het aardoppervlak bevindt. De satelliet is dus een polaire satelliet. Gegeven: $G = 6,67 \cdot 10^{-11}$ $\rm N \times m^2 \times kg^{-2}$, $M_{zon} = 1,9884 \cdot 10^{30}$ kg en $r = 0,7883 \cdot 10^{12}$ m. Let op: we gebruiken voor $r$ de baanstraal van Jupiter om de zon.Gevraagd: de omlooptijd $T$ van Jupiter om de zon.Formule: $\frac{T^2}{r^3} = \frac{4 \times \pi^2}{G \times M_{zon}}$.Berekening: we moeten eerst de formule herschrijven zodat we links van het =-teken $T$ over houden. Dit gebeurt als volgt: $T^2 = \frac{4 \times \pi^2 \times r^3}{G \times M_{zon}}$. Vervolgens krijgen we $T = \sqrt{\frac{4 \times \pi^2 \times r^3}{G \times M_{zon}}}$. Na het invullen van de gegevens krijg je $T = \sqrt{\frac{4 \times \pi^2 \times (0,7883 \cdot 10^{12})^3}{6,67 \cdot 10^{-11} \times 1,9884 \cdot 10^{30}}} = 3,82 \cdot 10^8$ s.Conclusie: de omlooptijd van Jupiter om de zon is $T = 3,82 \cdot 10^8$ s. In dit geval levert de spankracht in de kabel de middelpuntzoekende kracht. De middelpuntzoekende kracht is altijd naar het midden van de cirkel gericht. In het geval van de kogel die aan de stalen kabel vastzit houdt dit in dat de kracht langs deze stalen kabel gericht is. Als deze stalen kabel er niet zou zijn, zou de kogelslingeraar de kogel niet in een cirkel kunnen rondslingeren zonder de kogel zelf in de hand vast te houden. De kabel zorgt er dus voor dat de kogel een cirkelbaan blijft beschrijven. De spankracht in de kabel levert dus de middelpuntzoekende kracht.Bij deze vraag is er niet om een berekening gevraagd, maar er moet wel een formule gebruikt worden. Hierdoor gaan we op dezelfde wijze als een rekenvraag het antwoord opbouwen.Gegeven: in de opdracht zijn geen gegevens gegeven, maar deze gegevens kunnen in de Binas of een ander tabellenboek opgezocht worden. De eenheid van $m$ is kg, de eenheid van $v$ is m/s en de eenheid van $r$ is m.Gevraagd: laat zien dat de eenheid van $F_{mpz}$ gelijk is aan newton.Formule: $F_{mpz} = \frac{m \times v^2}{r}$Berekening: we vullen de grootheden in vierkante haken in zodat we vervolgens de eenheden mogen noteren. Hierbij geldt $[m] = \rm kg$, $[v] = \rm m/s$ en $[r] = \rm m$. Hieruit volgt dan $[F_{mpz}] = \frac{[m] \times [v^2]}{[r]} = \frac{\rm kg \times m^2/s^2}{m}$. Dit kan herschreven worden naar $[F_{mpz}] = \frac{\rm kg \times m}{s^2}$. Met behulp van de Binas kan gevonden worden dat geldt dat $\rm N = \frac{kg \times m}{s^2}$.Let op dat v gekwadrateerd moet worden in de formule voor de middelpuntzoekende kracht en dus de eenheid m/s ook. Hieruit komt dan $\frac{m^2}{s^2}$.Conclusie: de eenheid van de middelpuntzoekende kracht is gelijk aan newton. Gegeven: $v = 19,5$ km/h, $m = 1,8$ kg en $r = 1,1$ m.Gevraagd: de grootte van de spankracht $F_{span}$ in de kabel.Formule: $F_{mpz} = \frac{m \times v^2}{r}$. In dit geval geldt dat de spankracht gelijk is aan de middelpuntzoekende kracht, dus kunnen we schrijven $F_{span} = \frac{m \times v^2}{r}$.Berekening: we moeten de snelheid $v$ eerst omrekenen naar m/s. Dit doen we door te delen door 3,6. $v = \frac{19,5}{3,6} = 5,42$ m/s. Nu kunnen we de formule invullen: $F_{span} = \frac{1,8 \times 5,42^2}{1,1} = 48$ NConclusie: de grootte van de spankracht in de kabel tijdens het ronddraaien is gelijk aan 48 N.Deze opgave kan op twee manieren uitgewerkt worden. Beide manieren komen hier aan bod.Manier 1: we gebruiken de bekende gegevens en vullen deze waarden in.Gegeven: de nieuwe snelheid is 2 keer zo groot als de oude snelheid en de andere gegevens veranderen niet, dus $v = 2 \times 19,5 = 39,0$ km/h, $m = 1,8$ kg en $r = 1,1$ m.Gevraagd: hoeveel keer groter de spankracht wordt en wie van de twee dus gelijk heeft.Formule: $F_{span} = \frac{m \times v^2}{r}$.Berekening: we moeten de snelheid $v$ eerst omrekenen naar m/s. Dit doen we door te delen door 3,6. $v = \frac{39,0}{3,6} = 5,42$ m/s. Nu kunnen we de formule invullen: $F_{span} = \frac{1,8 \times 10,8^2}{1,1} = 1,9 \cdot 10^2$ N. Deze waarde moeten we delen door de oude om te achterhalen hoeveel keer groter de nieuwe spankracht is. We krijgen dan $\frac{1,9 \cdot 10^2}{48} = 4,0$.Conclusie: de nieuwe spankracht is 4 keer zo groot. Sjoerd heeft dus gelijk. Manier 2: we vullen geen gegevens in, alleen symbolen.Gegeven: de nieuwe snelheid is 2 keer zo groot als de oude snelheid. De oude snelheid noemen we $v_{oud}$ en de nieuwe snelheid $v_{nieuw}$. Het volgende geldt dan: $v_{nieuw} = 2 \times v_{oud}$.Gevraagd: hoeveel keer groter de spankracht wordt en wie van de twee dus gelijk heeft.Formule: $F_{span} = \frac{m \times v^2}{r}$.Berekening: we vullen nu niet de getallen in, maar de symbolen. Voor de berekening met de oude snelheid zou de formule dan als volgt eruit zien: $F_{span \, oud} = \frac{m \times v_{oud}^2}{r}$. Voor de berekening met de nieuwe snelheid ziet de formule er zo uit: $F_{span \, nieuw} = \frac{m \times v_{nieuw}^2}{r}$. Omdat we een verband hebben tussen de oude en de nieuwe snelheid kunnen we dit gaan invullen. We vullen dan in de formule voor de nieuwe snelheid het volgende in: $v_{nieuw} = 2 \times v_{oud}$. We vervangen dus de nieuwe snelheid door 2 keer de oude snelheid. Dit ziet er als volgt uit: $F_{span \, nieuw} = \frac{m \times (2 \times v_{oud})^2}{r} = \frac{m \times 2^2 \times v_{oud}^2}{r} = \frac{m \times 4 \times v_{oud}^2}{r} = 4 \times \frac{m \times v_{oud}^2}{r} = 4 \times F_{span \, oud}$.Conclusie: de nieuwe spankracht is 4 keer zo groot als de oude spankracht. Sjoerd heeft dus gelijk. In ons zonnestelsel heeft de zon verreweg de grootste massa. De aantrekkingskracht die overwonnen moet worden is de aantrekkingskracht van de zon, omdat deze de grootste massa heeft in ons zonnestelsel. Toelichting: de massa van de zon is ongeveer 1000 keer zo groot als de massa van Jupiter, het volgende zwaarste hemellichaam in ons zonnestelsel. $M = 1,900 \cdot 10^{27}$ of $M = 1900 \cdot 10^{24}$. De waarde die voor $M$ ingevuld moet worden is de massa van Jupiter. Deze is te vinden in de Binas of een ander tabellenboek.$xj = xj + vj \times dt$. Om de nieuwe positie van Jupiter $xj$ te berekenen wordt de oude positie van Jupiter $xj$ gebruikt en wordt daarbij opgeteld de snelheid van Jupiter $vj$ vermenigvuldigd met de tijdsduur dat die snelheid duurt $dt$. Toelichting: snelheid vermenigvuldigd met tijd geeft een afstand. Dus $vj \times dt$ geeft een afstand. Als deze afgelegde afstand bij de beginpositie wordt opgeteld, krijg je de nieuwe positie.