Getal en Ruimte 13e ed/FLEX deel 2 - Hoofdstuk 7 [havo] - Kwadratische vergelijkingen oefentoetsen & antwoorden

Een priemgetal is een natuurlijk getal met precies twee delers.15 is naast deelbaar door 15 en 1 ook deelbaar door 5 en 3, dus dit is geen priemgetal.17 is alleen deelbaar door 17 en 1 en is dus een priemgetal.21 is deelbaar door 1, 3, 7 en 21 en is dus geen priemgetal.27 is deelbaar door 1, 3, 9 en 27 en is dus geen priemgetal.29 is alleen deelbaar door 29 en 1 en is dus een priemgetal. Ga alle getallen van klein naar groot langs. Deel eerst door 1, daar komt 24 uit, dat is een geheel getal dus dit is een deler. Deel daarna door 2, daar komt 12 uit, dat is een geheel getal dus dat is een deler. Deel vervolgens door 3, daar komt 8 uit, dus 3 is een deler. Enzovoort.1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 24. Kijk of er een factor is die alle termen gemeenschappelijk hebben.Er komt in elke term een $a$ voor, dit is dus een gemeenschappelijke factor.Elke term is deelbaar door $8$, dus dit is een gemeenschappelijke factor.We kunnen schrijven: $8\cdot a\cdot a+2\cdot 8\cdot a\cdot b$We halen $8$ en $a$ buiten haakjes.$8a(a+2b)$Werk de haakjes weer uit om te controleren of er weer $8a^2+16ab$, dan weet je zeker dat je het goed hebt.Antwoord: $8a(a+2b)$Begin bij de laatste/derde term, welk product levert 6 op?Kijk naar de tweede term. Welke som levert 5 op?Dus de juiste termen zijn 2 en 3.Antwoord: $(x+2)(x+3)$ (controleer eventueel door de haakjes weer uit te werken en te kijken of je weer terug komt bij de uitdrukking die in de vraag gegeven werd) Werk alle getallen naar links, totdat je rechts 0 hebt staan.$x^2+6x+9=0$ (beide kanten $+9$)Begin bij de laatste/derde term, welk product levert 9 op?Kijk naar de tweede term. Welke som levert 6 op?Dus de juiste termen zijn 3 en 3$(x+3)(x+3)=0$$x+3=0$ (als uit een keersom nul moet komen moet één van de twee factoren nul zijn)$x=-3$Dit is een vergelijking van een bijzondere vorm. Namelijk de vorm $x^2=c$ als we 36 naar rechts brengen.$x^2=36$Bij zo’n vergelijking mag je worteltrekken.$x=\sqrt{36} \vee x=-\sqrt{36}$$x=6 \vee x=-6$ Kijk of er een factor is die alle termen gemeenschappelijk hebben.Er komt in elke term een $r^2$ voor, dit is dus een gemeenschappelijke factor.Er komt in elke term een $t$ voor, dit is dus een gemeenschappelijke factor.Elke term is deelbaar door $3$, dus dit is een gemeenschappelijke factor.We kunnen schrijven: $3r^2\cdot rt^2\cdot t+3\cdot 3r^2t\cdot t+3r^2t$Hierboven zie je duidelijk dat de factoren $3, r^2$ en $t$ in elke term voorkomen.Ook zie je duidelijk wat overblijft als je deze factoren eruit haalt, wat overblijft zet je tussen de haakjes.We halen $3, r^2$ en $t$ buiten haakjes.$3r^2t(rt^2+3t+1)$Werk de haakjes weer uit om te controleren of er weer uitkomt waar je mee startte, dan weet je zeker dat je het goed hebt.Antwoord: $3r^2t(rt^2+3t+1)$ Begin bij de laatste/derde term, welk product levert -24 op?Kijk naar de tweede term. Welke som levert 2 op?Dus de juiste termen zijn -4 en 6.Antwoord: $(x-4)(x+6)$ (controleer eventueel door de haakjes weer uit te werken en te kijken of je weer terug komt bij de uitdrukking die in de vraag gegeven werd) We ontbinden in factorenBegin bij de laatste/derde term, welk product levert 7 op?Kijk naar de tweede term. Welke som levert -8 op?Dus de juiste termen zijn -1 en -7.Antwoord: $(x-1)(x-7)$ Om een kwadratische vergelijking op te lossen moeten we altijd eerst aan de rechterkant van de = nul hebben staan. Nu staat daar 8, deze werken we dus eerst naar links$x(x+7)-18=0$Om de vergelijking nu op te lossen werken we eerst de haakjes uit.$x^2+7x-18=0$We kunnen nu ontbinden in factoren.Begin bij de laatste/derde term, welk product levert -18 op?Kijk naar de tweede term. Welke som levert 7 op?Dus de juiste termen zijn -2 en 9$(x-2)(x+9)=0$$x-2=0 \vee x+9=0$ (als uit een keersom nul moet komen moet één van de twee factoren nul zijn)$x=2 \vee x=-9$ Werk eerst alle haakjes uit.$x^2+13x+(x-3)(x-3)=(x+5)(x+5)$$x^2+13x+x^2-3x-3x+9=x^2+5x+5x+25$$2x^2+7x+9=x^2+10x+25$Om een kwadratische vergelijking op te lossen moeten we altijd eerst aan de rechterkant van de = nul hebben staan. Nu staat daar $x^2+10x+25$, deze termen werken we dus eerst naar links.$x^2+7x-10x+9-25=0$$x^2-3x-16=0$We kunnen nu ontbinden in factoren.Begin bij de laatste/derde term, welk product levert -16 op?Kijk naar de tweede term. Welke som levert -3 op?Dus de juiste termen zijn 3 en -6$(x+3)(x-6)=0$$x+3=0 \vee x-6=0$ (als uit een keersom nul moet komen moet één van de twee factoren nul zijn)$x=-3 \vee x=6$ Om een kwadratische vergelijking op te lossen moeten we altijd eerst aan de rechterkant van de = nul hebben staan. Nu staat daar $-5x+36$, deze werken we dus eerst naar links$x^2+5x-36=0$We kunnen nu ontbinden in factoren.Begin bij de laatste/derde term, welk product levert -36 op?Kijk naar de tweede term. Welke som levert 5 op?Dus de juiste termen zijn -4 en 9$(x-4)(x+9)=0$$x-4=0 \vee x+9=0$ (als uit een keersom nul moet komen moet één van de drie factoren nul zijn)$x=4 \vee x=-9$ Stap 1: Maak een schets van de situatie.Verdeel het nieuwe stuk grond in vormen waarvan je de oppervlakte van kan berekenen (rechthoeken en vierkanten).Zet de oppervlakte van elk gedeelte in het vlak. (gebruik steeds lengte keer breedte)Stap 2: Stel een vergelijking op.De oppervlakte van alle stukken grond samen moet gelijk zijn aan $120 m^2$$80+8x+10x+x^2=120$Stap 3: Los de vergelijking op.Werk alle termen naar links.$x^2+18x-40=0$We kunnen nu ontbinden in factoren.Begin bij de laatste/derde term, welk product levert -40 op?Kijk naar de tweede term. Welke som levert 18 op?Dus de juiste termen zijn -2 en 20$(x-2)(x+20)=0$$x-2=0 \vee x+20=0$ (als uit een keersom nul moet komen moet één van de twee factoren nul zijn)$x=2 \vee x=-20$Lengte is altijd een positief getal dus $x=2$ is het juiste antwoord.Antwoord: Het stuk grond dat de familie erbij koopt is 2 meter breed. Stap 1: De coördinaten van $A$ en $B$ zijn de snijpunten van de lijn $y=3x+4$ en $y=x^2+7x-8$. We stellen daarom de functies aan elkaar gelijk.$x^2+7x-8=3x+4$Stap 2: Los de vergelijking op.Dit is een kwadratische vergelijking, werk eerst alle termen naar links.$x^2+7x-8=3x+4$$x^2+7x-3x-8-4=0$$x^2+4x-12=0$ We kunnen nu ontbinden in factoren.Begin bij de laatste/derde term, welk product levert -12 op?Kijk naar de tweede term. Welke som levert 4 op?Dus de juiste termen zijn -2 en 6$(x-2)(x+6)=0$$x-2=0 \vee x+6=0$ (als uit een keersom nul moet komen moet één van de twee factoren nul zijn)$x=2 \vee x=-6$Stap 3: De x-coördinaten van de punten $A$ en $B$ zijn $x=2 \vee x=-6$, we berekenen de y-coördinaten door deze x-coördinaten in te vullen in één van de twee formules.$y=3x+4$ is de makkelijkste formule, daarin vullen we de x-coördinaten in.$3\cdot 2+4=10$3\cdot -6+4=-14$Antwoord: De y-coördinaat van $A$ is $y_A=-14$, de y-coördinaat van $B$ is $y_B=10$.$A$ is het laagste punt, dus de laagste y-coördinaat.