Getal en Ruimte 12e ed deel 2 - Hoofdstuk 6 - Vlakke figuren oefentoetsen & antwoorden

We gebruiken de formule: $hellingspercentage=\tan{hellingshoek}\cdot 100\%$$\tan(hellingshoek)= \frac{verticale\ afstand}{horizontale\ afstand}$De verticale afstand is 8, de horizontale afstand is 9, we vullen dit in.$hellingspercentage=\frac{8}{9}\cdot 100\%=88,9\%$Antwoord: 88,9% $\angle A_4=\angle A_2$ omdat het overstaande hoeken zijn.$\angle A_4=\angle B_4$ wegens schuifsymmetrie.$\angle B_4=\angle B_2$ omdat het overstaande hoeken zijn.Antwoord: $\angle A_4=\angle A_2=\angle B_4=\angle B_2$  Arie kan niet door de deur heen kijken. Teken de eerste kijklijn dus langs de deur.Arie kan niet door de struik heen kijken, teken de andere kijklijn dus langs de struik. Antwoord: Arie ziet Christel. Leg de liniaal van de geodriehoek langs één van de twee benen met de 0 op punt $A$.Volg vervolgens het andere been van de hoek en lees de hoek af.De hoek is kleiner dan $90^\circ$, dus we moeten de graden op de binnenrand hebben, deze zijn kleiner dan $90^\circ$.Antwoord: De kijkhoek is $25^\circ$ Een echte mier is kleiner dan 7 dm. We moeten dus delen.1 centimeter in het echt is 140 centimeter op schaal. $7\ dm=70\ cm$ (alle waarden moeten in dezelfde eenheid staan voor je kunt delen, de schaal gaat over centimeters dus zetten we de grootte van het model van de mier ook naar centimeters)$70:140=0,5\ cm$Een mier is dus in het echt 0,5 cm groot. Dit is gelijk aan 5 millimeter.Antwoord: 5 millimeter. Stap 1: Benoem de zijden.De schuine zijden benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. Vervolgens kijken we vanuit hoek $A$, want deze weten we.Welke zijde ligt vast aan hoek $A$? Deze noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover hoek $A$? Dit noemen we de overstaande zijde.Stap 2: We gebruiken SOSCASTOA.We willen de schuine zijde weten, en weten de aanliggende zijde. $SOS\red{CAS}TOA$$CAS$ staat voor $\cos(hoek)=\frac{a}{s}$$\cos(\angle A)=\frac{AB}{AC}$$\cos(40)=\frac{12}{AC}$Stap 3: We maken $AC$ vrij.$\cos(40)\cdot AC=12$ (vermenigvuldig beide kanten met $AC$)$AC=\frac{12}{\cos(40)}$ (deel beide kanten door $\cos(40)$)$AC=15,66$Antwoord: $AC=15,66$ We willen de lengte van $AB$ berekenen.Stap 1: We tonen gelijkvormigheid aan.$\angle A$ in driehoek $ADE$ en $\angle A$ in driehoek $ABC$ zijn logischerwijs gelijk.$\angle E$ en $\angle B$ zijn beide rechte hoeken, (een zendmast staat loodrecht) deze hoeken zijn dus ook gelijk.Uit bovenstaande concluderen we dat $\triangle ABC \sim \triangle AED\ (hh)$Stap 2: Bereken zijde $AB$. $DE$ en $BC$ zijn overeenkomende zijden. Zijde $AE$ en zijde $AB$ zijn ook overeenkomende zijden.$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AE}$ (let op, in de eerste breuk zetten we de zijde van driehoek $ABC$ boven, dan moeten we dat bij de tweede breuk ook doen)Vul in wat je weet.$\frac{300}{0,04}=\frac{AB}{0,5}$Maak $AB$ vrij.Reken de linkerbreuk uit.$7500=\frac{AB}{0,5}$Vermenigvuldig beide kanten met 0,5.$7500\cdot 0,5=\frac{AB}{0,5}\cdot 0,5$$3750=AB$Antwoord: 3750 meter. Na 4 uur is de breedte van de olievlek 25 keer zo groot. De vergrotingsfactor is dus 25 voor de breedtevergroting. Voor een oppervlakte vergroting gebruiken we de formule: $oppervlakte\ vergroting=vergrotingsfactor^2\times oppervlakte origineel$.$oppervlakte\ vergroting=25^2\times 2=1250 km^2$.De inhoud is $inhoud=opp\ grondvlak \times hoogte$De hoogte is in dit geval 2 mm. Om er mee te kunnen rekenen moeten de oppervlakte en de hoogte in dezelfde eenheid staan. We werken ze beide om naar $dm$ en $dm^2$$1250\ km^2=125000000000 dm^2$.$2\ mm=0,02 dm$$inhoud=125000000000\times 0,02=2500000000 \ dm^3$$dm^3=liter$ dus $2500000000\ liter$Antwoord: 2500000000 liter Stap 1: Maak een schets van driehoek $SBD$.Stap 2: We moeten hoek $B$ weten, we kijken vanuit hoek $B$ en benoemen de zijden.De schuine zijden benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. Vervolgens kijken we vanuit hoek $B$, want deze willen we weten. Welke zijde ligt vast aan hoek $B$? Deze noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover hoek $B$? Dit noemen we de overstaande zijde.Stap 2: We gebruiken SOSCASTOA.We willen hoek $B$ weten, en weten de overstaande zijde en de schuine zijde. $\red{SOS}CASTOA$$SOS$ staat voor $\sin(hoek)=\frac{o}{s}$$\sin(\angle B)=\frac{19}{28}$$\angle B=\sin^{-1}(\frac{19}{28})=42,7^\circ$Antwoord: $\angle SBD=42,7^\circ$ Stap 1: We tekenen een rechthoek (in dit geval vierkant) strak om de figuur.We zien nu dat de oppervlakte van het blauwe figuur gelijk is aan de oppervlakte van het vierkant min de volgende drie driehoeken.De oppervlakte van het vierkant is gelijk aan $opp\ vierkant=zijde\times zijde$ oftewel $5\times 5=25 cm^2$Stap 2: Bereken de oppervlakte van de driehoeken.De linkerzijde van driehoek I is 1 lang. De andere zijde is 2 lang.$opp\ I=1\times 2:2=1 cm^2$$opp\ II=3\times 3:2=4,5 cm^2$$opp\ III=4 \times 1:2=2 cm^2$Stap 3: Trek de oppervlakte van de driehoeken van de totale oppervlakte van het vierkant af. $opp\ blauw=25-1-4,5-2=17,5 cm^2$Antwoord: $17,5 cm^2$ De vouwlijnen waarbij de twee helften als we de figuur dubbelvouwen precies op elkaar passen zijn symmetrieassen.Antwoord: 2 symmetrie assen.Een figuur is draaisymmetrisch als een figuur na ronddraaien over minder dan $360^\circ$ precies op zichzelf past. Deze figuur past precies op zichzelf als we de figuur op zijn kop zetten.De kleinste draaihoek bereken je als volgt: De figuur past dus twee keer op zichzelf, rechtop, en na hem op zijn kop te zetten.De kleinste draaihoek$=360:2=180^\circ$ Antwoord: De kleinste draaihoek$=180^\circ$  $\triangle ABC$ is gelijkbenig, dus $\angle C=\angle B_1=56^\circ$$\angle B_1$ en $\angle B_2$ zijn overstaande hoeken. Dus ook deze twee hoeken zijn gelijk. $\angle B_1=\angle B_2=56^\circ$In $\triangle BDE$ weten we dat $\angle B_2=56^\circ$. Ook weten door het vierkantje in de hoek dat $\angle D$ een rechte hoek is, dus $\angle D=90^\circ$.We gebruiken de hoekensom. $\angle E=180-\angle D-\angle B_2$$\angle E=180-90-56=34^\circ$Antwoord: $\angle E=34^\circ$ Stap 1: Maak een schets van de situatie. We weten de hoogte van de mast tot de kabel en de afstand van de mast tot het punt waar de kabel vastgezet is. Stap 2: Teken de Pythagorastabel. Je weet zijden $110$ en $270$, de zijden zitten vast aan de rechte hoek, het zijn rechthoekszijden (rhz). Stap 3: Kwadrateer de zijden die je weet en vul ze in. $110^2=12100$$270^2=72900$ Stap 4: Tel de rechthoekszijden op, dit is $sz^2$. $12100+72900=85000$Stap 5: We weten nu de $sz^2$. Het kwadraat werken we weg met de wortel. $sz=\sqrt{85000}=292$Antwoord: De kabel is 292 meter lang. Stap 1: Maak een schets en vul in wat je weet. We bekijken eerst driehoek $AMC$. Als we in deze driehoek $AC$ weten gebruiken we $AB=2\cdot AC$.We weten dat de straal 1,30 m is, $MD$ is de straal van de cirkel, $MD=1,30$. $MC=MD-CD$, dus $MC=1,30-30=1$ m.Stap 2: Teken de Pythagorastabel.Je weet zijde $AM=1,30$ en $CM=1$, zijde $CM$ zit vast aan de rechte hoek, het is een rechthoekszijde (rhz). Zijde $AM$ ligt tegenover de rechte hoek, dit is een schuine zijde (sz).  Stap 3: Kwadrateer de zijden die je weet en vul ze in. $1^2=1$$1,30^2=1,69$Stap 4: We zoeken het ontbrekende getal. Deze vinden we door $1,69-1=0,69$Stap 5: We weten nu de $rhz^2$, oftewel $AC^2$. Het kwadraat werken we weg met de wortel. $rhz=\sqrt{0,69}=0,830…$ (rond niet tussendoor af!)Stap 6: $AB=2\cdot 0,830…=1,66$ (gebruik je antwoord van net in de rekenmachine)Antwoord: $AB$ is 1,66 meter lang. De formule voor de oppervlakte van een cirkel is: $opp\ cirkel=\pi\times straal\times straal$We hebben de diameter inclusief zitrand, terwijl we de oppervlakte zonder zitrand willen berekenen. We trekken dus de zitrand van de diameter af.Let op, de zitrand is in centimeters gegeven, dit rekenen we eerst op naar meters. $20\ cm=0,2 \ m$Aan beide kanten van de diameter zit de zitrand, dus we halen twee keer de zitrand van de diameter af.$3-0,2-0,2=2,6\ m$We hebben nu de straal niet maar de diameter, de straal is de helft van de diameter.$straal=2,6:2=1,3$$opp\ cirkel=\pi\times straal\times straal$$opp\ cirkel=\pi\times 1,3\times 1,3= 5,3 m^2$Antwoord: De oppervlakte van de cirkelvormige plaat moet $5,3 m^2$ zijn.