Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 3 - Hoofdstuk 15 - Meetkunde: rekenen of redeneren oefentoetsen & antwoorden

Antwoord: Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal vanaf het middelpunt tot het raakpunt. $MD$ loodrecht op $l$. Werkwijze: Binnen driehoek $\triangle ABC$ weten we hoek $\angle B$ en een zijde. Het is geen rechthoekige driehoek, dus Pythagoras en $SOSCASTOA$ kunnen we niet gebruiken. We hebben een extra zijde of hoek nodig om de sinus- of cosinusregel te gebruiken binnen $\triangle ABC$. Er is gegeven dat $ABCD$ een trapezium is, als er informatie gegeven wordt kun je vaak de eigenschappen gebruiken, in dit geval de eigenschap dat zijde $AB$ en zijde $CD$ evenwijdig aan elkaar zijn (trapezium). Stap 1: $AB\parallel CD$ dus we hebben Z-hoeken. $\angle ABC=\angle BCD=26.57$Stap 2: We weten in driehoek $\triangle ABC$ nu nog steeds niks meer, maar in driehoek $\triangle BCD$ weten we nu wel twee zijden en een hoek, met de cosinusregel kunnen we de derde zijde van deze driehoek berekenen en daarmee kunnen we in driehoek $\triangle ABC$ verder rekenen. $BD^2=CD^2+BC^2-2\cdot CD\cdot BC\cos(\angle BCD)$$4.24^2=3^2+BC^2-2\cdot 3\cdot BC \cos(26.57)$$y_1=4.24^2$ en $y_2=9+x^2-6x\cos(26.57)$Optie intersect geeft $x=6.705…$ dus $BC=6.705…$Stap 3: Nu we in driehoek $\triangle ABC$ twee zijden en een hoek weten kunnen we met behulp van de cosinusregel ook zijde $AC$ in driehoek $\triangle ABC$ berekenen. $AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos(\angle ABC)$$AC^2=7^2+6.705…^2-2\cdot 7\cdot 6.705… \cos(26.57)$ (gebruik je onafgeronde antwoord)$AC^2=10$$AC=\sqrt{10}=3.16$ Stap 1: We schetsen de situatie. In de afbeelding hieronder zie je de situatie wanneer de bal uit is. $T$ is buiten het servicevak op de grond gekomen. De afstand vanaf de achterlijn tot het servicevak is ook getekend. Deze is $11.89-6.40=5.49$. De bal is dus uit als de afstand tussen de achterlijn en het servicevak kleiner is dan 5.49 meter. Nu de situatie van de vraag:De bal is uit als de afstand van de achterlijn tot $T<5.49$. We moeten dus eigenlijk de hoogte van deze driehoek berekenen. Stap 2: Bereken de hoogte. We moeten de hoogte berekenen van de driehoek. Oftewel de afstand van zijde $AB$ tot $T$. Deze hoogtelijn snijdt de zijde $AB$ niet precies in het midden (dit zie je aan de grootte van de hoeken $A$ en $B$ deze zijn niet precies $45\circ$). We moeten dus één van zijden van de driehoek gaan berekenen. Van driehoeken $\triangle ACT$ en $\triangle BCT$ weten we alleen de hoeken, we moeten één van de zijden hebben voor de lengte van $CT$, hiervoor kijken we weer naar de grote driehoek $\triangle ABT$Driehoek $\triangle ABT$ is niet rechthoekig, we kunnen dus geen $SOSCASTOA$ gebruiken en ook Pythagoras niet. De sinusregel en de cosinusregel blijven over. We kiezen de sinusregel. We kiezen de sinusregel als we de hoeken hebben en één zijde. We kiezen de cosinusregel als we meerdere zijden hebben en een hoek. Gebruik de hoekensom van een driehoek om ook hoek $\angle T$ te berekenen. $180-44.7-46.1=89.2\circ$De sinusregel geeft: $\frac{BT}{\sin(\angle A)}=\frac{AT}{\sin(\angle B)}=\frac{AB}{\sin(\angle T)}$$\frac{BT}{\sin(44.7)}=\frac{AT}{\sin(46.1)}=\frac{10.97}{\sin(89.2)}$$\frac{AT}{\sin(46.1)}=\frac{10.97}{\sin(89.2)}$ geeft$AT=10.97\cdot \sin(46.1):\sin(89.2)=7.905…$ (kruislings vermenigvuldigen)Nu kunnen we in driehoek $\triangle ACT$ met behulp van $SOSCASTOA$ zijde $CT$ berekenen. $CT$ is de overstaande zijde t.o.v. de hoek die we weten, $\angle A=44.7$, we weten $AT$ dit is de schuine zijde, we gebruiken dus $SOS$.$\sin(\angle A)=\frac{CT}{AT}$$\sin(44.7)=\frac{CT}{7.905…}$$CT=\sin(44.7)\cdot 7.905…=5.56$Conclusie: $5.56>5.49$, de bal komt dus in het servicevak.  Stap 1: Bewijs dat $\angle E, \angle D$ en $\angle F$ rechte hoeken zijn.Wegens de stelling van Thales zijn $\angle E, \angle D$ en $\angle F$ rechte hoeken. $AC$, $AB$ en $BC$ zijn namelijk de middellijnen van de cirkels waarop de punten liggen. Stap 2: Bewijs dat de driehoeken $ACE$ en $CBF$ gelijkvormig zijn.$\angle DAB=\angle EAC$$\angle ADB=\angle AEC$Dus geldt $\triangle ABD\sim\triangle ACE (hh)$$\angle DBA=\angle FBC$$\angle ADB=\angle CFB$Dus geldt $\triangle ABD\sim\triangle CBF (hh)$Dan moet ook wel gelden $\triangle ACE \sim\triangle CBF$Driehoek $CBF$ is drie keer zo groot dan driehoek $ACE$.Stap 3: Gebruik Pythagoras in driehoek $CBF$.Driehoek $CBF$ is drie keer zo groot dan driehoek $ACE$ dus $BF=3x$Pythagoras geeft: $CF^2+BF^2=BC^2$$CF^2+(3x)^2=3^2$$CF^2=9-9x^2$$CF=\sqrt{9-9x^2}$$CF=\sqrt{9(1-x^2)}$$CF=\sqrt{9}\cdot \sqrt{1-x^2}$$CF=3\sqrt{1-x^2}$ $AC=SC$ (raaklijnstukken)$SC=BC$ (raaklijnstukken)Dus $AC=SC=BC$Dus we kunnen een cirkel door $A$, $B$ en $S$ tekenen met middelpunt $C$ en straal $AC=SC=BC$.$A$ en $B$ liggen op lijn $l$, als ze op één lijn liggen die tevens door het middelpunt $C$ gaat moet $AB$ ook wel de middellijn van de cirkel zijn.Teken de driehoeken $DBS$ en $ABS$. Omdat $DB$ de middellijn is van de cirkel met middelpunt $N$ is $\angle DSB$ wegens Thales een rechte hoek. Omdat $AB$ de middellijn is van de cirkel met middelpunt $C$ is $\angle ASB$ wegens Thales een rechte hoek.Omdat $\angle DSB=\angle ASB=90^\circ$ moet $\angle DSA$ wel een gestrekte hoek zijn. $\angle DSA=\angle DSB+\angle ASB=90+90=180^\circ$. Dus een gestrekte hoek. Conclusie: $D$, $S$ en $A$ liggen op één lijn.In paragraaf 5 heb je geleerd om dit soort problemen zowel algebraïsch als meetkundig op te lossen. We laten zowel de algebraïsche als de meetkundige uitwerking zien. Probeer beide varianten te doorgronden!Algebraïsch:We stellen lijn $k$ door $A$ en $B$ op en kijken of geldt $rc_k\cdot rc_l=-1$Stap 1: Bereken de coördinaten van $A$ en $B$.$A$ is het snijpunt van de cirkel met de $y$-as. $0^2+y^2=9$$y^2=9$$y=\sqrt{9} \vee y=-\sqrt{9}$$y=3 \vee y=-3$$A$ is het snijpunt met de negatieve $y$-as dus $y=-3$$A(0.-3)$$B$ is het snijpunt van $l$ met de $x$-as.$0=-\frac{4}{3}x+5$\frac{4}{3}x=5$$x=3\frac{3}{4}$$B(3\frac{3}{4},0)$Stap 2: Stel lijn $k$ op.$y=ax+b$$y=ax-3$ ($b$ is het snijpunt met de $y$-as)Door punt $B(3\frac{3}{4},0)$ geeft $0=a\cdot 3\frac{3}{4}-3$$3\frac{3}{4}a=3$$a=\frac{4}{5}$$k: y=\frac{4}{5}x-3$Stap 3: Kijk of geldt $rc_l\cdot rc_k=-1$$-\frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}=-\frac{16}{15}\neq -1$Dus de lijnen snijden elkaar niet loodrecht. Meetkundig:Teken driehoek $ABC$ met als zijden lijnstuk $CB$ op $l$ en $AB$ op $k$ en kijk of het een rechthoekige driehoek is.